平成12年2月8日

             <母関数から、数列の一般項を求めよう>No1

           <未だ見ぬ偉大な数学者たち>へ、

数列の一般項を求めるのに、その数列の母関数を用いると有効なことがあるので、考えてみよう。では、母関数とは何んであるか調べてみます。数列を a(0),a(1),a(2),a(3),・・・,a(n),・・・  と表します。

この数列に対して、無限級数:F(x)=a(0)+a(1)x+a(2)x+a(3)x+・・・+a(n)x+・・・

を考え、この関数を母関数といいます。

無限級数をみれば収束するかどうかが気にかかるが、母関数では無関心であってよい。xは全く形式的に導入した変数に過ぎません。その名は関数せあるが、正体は代数学における単なる式と見てください。したがって、その計算も次のように形式的に考えてください。2つの無限級数を

(x)=a(0)+a(1)x+a(2)x+a(3)x+・・・+a(n)x+・・・

(x)=b(0)+b(1)x+b(2)x2+b(3)x+・・・+b(n)xn+・・・   としたとき、加法は

(x)+G(x)={a(0)+b(0)}+{a(1)+b(1)}x+{a(2)+b(2)}x+・・・+{a(n)+b(n)}x+・・・  と定める。

減法も同様。乗法は

(x)G(x)=a(0)b(0)+{a(0)b(1)+a(1)b(0)}x+・・・+{a(0)b(n)+a(1)b(n-1)+…+a(n)b(0)}x+・・・ と定める。

また、定数をかける場合は、 

kF(x)=ka(0)+ka(1)x+ka(2)x+ka(3)x+・・・+ka(n)x+・・・ となります。

 さて、準備として、無限数列:1,1,1,1,・・・, の母関数から始めましょう。

y=1+x+x+・・・+x+・・・=1/(1−x)  (等比級数の和の公式 |x|<1)

しかし、ここでは、収束は考えずに、形式的計算で考えます。yの両辺にxをかけて、

xy=x+x+・・・+x+・・・

次に、yからxyを引いて(1−x)y=1  ∴ 1/(1−x) =1+x+x+・・・+x・・・@

これで、2つの方法で出したけれど、わっかたね。これが分かったら、自然数の数列の母関数を考えますよ。

自然数の列:0,1,2,3,・・・,n,・・・  の母関数は

y=x+2x+・・・+(r-1)xr−1+・・・と予想できるでしょう。この両辺にxをかけて、

xy=x+2x+・・+(r-1)x+・・・  2式の差をとって、

(1―x)y=x+x+x+・・・+x+・・・=1/(1−x)―1  (@から)

∴y=x/(1−x)^2=x+2x+3x+・・・+rx+・・・=x/(1−x)・・・A

 さて、自然数の和の公式を求めてみます。Aの両辺に@の両辺をかけてみます。

x/(1−x)=x+(1+2)x+・・・+(1+2+3+・・・+r) x+・・・

この後は、左辺の分数式の無限級数を展開します。

(1−x)−3 の展開は2項定理を用いてみます。

(1+x)^n=C[n,0]+C[n,1]x+C[n,2]x+・・・+C[n,r]x+・・・+C[n,n]x

ここで、C[n,r]は2項係数を表すこととします。さらに、nは負の数や分数の場合へ形式的に拡張したものを用いる。

(1−x)−3 の展開式で、xの係数をB(r)で表すと、

B(r)=(−1)×(-3)(-4)……(−3―r+1)/r! 

分子の因数はr個であるから、その符号をかえれば(−1)は消える。

B(r)=(3)(4)……(r+2)/r!=(r+1)(r+2)/2

したがって、x(1−x)−3のxの係数は B(r―1)=r(r+1)/2 となって、

これは当然、、(1+2+3+・・・+r)に等しい。みんな、理解できたね。

次は、自然数の平方の和を求めるよ。

ここでも、自然数の平方の母関数が必要です。

y=x+2+・・・+r+・・・

さあー、ここで、前と同じようにxyを作って、y−xyの差を計算します。ここで、xの係数をみると、

―(r−1)=2r−1になるから、

(1−x)y=x+3x+・・・+(2r−1)x+・・・

さらに、右辺は次のように2つの級数を差に分解できる。

(1−x)y=2(x+2x+・・・+rx+・・・)―(x+x+・・・+x+・・・)

これは、すでに求めた @、Aで表されるから、

(1−x)y=2x/(1−x)−{1/(1−x)−1}

これをyについて解いてください。

y=(x+x) /(1−x)=x+2+・・・+r+・・・    になったかな。

この級数の和を求めたいから、両辺に@:1/(1−x) =1+x+x+・・・+x・・・@

かけて、右辺を計算してください。

(x+x) /(1−x)=A(1)x+A(2)x+・・・+A(r)x+・・・ とおくと、

ただし、A(r)=1+2+32 +・・・+r である。

さあー、(1−x)−4 に2項定理をもちいるぞー。ここで、xの係数だけをみます。

また、x^rの係数をB(r)で書くと、A(r)=B(r―1)+B(r―2) になること分かるかな。

B(r)=(−1)×(-4)(-5)……(−4―r+1)/r! 

分子の因数はr個であるから、その符号をかえれば(−1)は消える。

B(r)=(4)(5)……(r+3)/r!=(r+1)(r+2)(r+3)/3!

これをもとにして、B(r―1)、B(r―2)を計算します。

(r)=B(r―1)+B(r―2) 

   =r(r+1)(r+2)/6―(r―1)r(r+1)/6

もう!できたぞ。よって、求める自然数の平方の和は

+2+32 +・・・+r =r(r+1)(2r+1)/6  (答)

 どう、きれいにでてきたでしょう。

このことを、同様に繰り返せば、自然数の3乗の和、4乗の和を順に求められるが、計算は楽ではないぞー。

一度、時間があったら実行してみてください。

今日は、これで終わりにします。次の時間は、あの有名な「フィボナッチ数列」と「カタラン数」の一般項を

母関数を用いて、導くことにしまーす。本日はお疲れさま!

<参考文献:「数学ひとり旅」石谷茂著:現代数学社> 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    <自宅>  mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

 

 

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