平成１２年２月１１日
＜母関数から、フィボナッチ数列の一般項を求めよう＞Ｎｏ２
＜未だ見ぬ偉大な数学者たち＞へ、
数列の一般項を求めるのに、その数列の母関数を用いると有効なことがあるので、考えてみよう。では、母関数とは何んであるか調べてみます。数列を ａ０，ａ１，ａ２，ａ３，・・・，ａｎ，・・・ と表します。
この数列に対して、無限級数：Ｆ(ｘ)＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋・・・＋ａｎｘｎ＋・・・
を考え、この関数を母関数といいます。
ここまでは、昨日までの復習です。有名なフィボナッチ数列｛ａｎ｝の一般項を導きます。
さて、漸化式は何でしたか？そうですね。 ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ−１ （ａ０＝１、ａ１＝１とする）
この数列の母関数をｙ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋・・・＋ａｎｘｎ＋・・・ とおくと、
今までと、同じで、ｙにｘをかけます。覚えているかな。
ｘｙ＝ａ０ｘ＋ａ１ｘ２＋ａ２ｘ３＋・・・＋ａｒ−１ｘｒ＋・・・
ここで、上の２つの式を加えます。
ｙ＋ｘｙ＝ａ０＋（ａ１＋ａ０）ｘ＋（ａ２＋ａ１）ｘ２＋（ａ３＋ａ２）ｘ３＋・・・＋（ａｒ＋ａｒ−１）ｘｒ＋・・・
(１＋ｘ)ｙ＝ａ０＋ａ２ｘ＋ａ３ｘ２＋ａ４ｘ３＋・・・＋ａｒ＋１ｘｒ＋・・・
(１＋ｘ)ｙ＝ａ０＋（ｙ−ａ０―ａ１ｘ）／ｘ
ここで、ａ０＝１、ａ１＝１を代入します。そして、ｙについて解いてください。
ｙ＝１／(１−ｘ−ｘ２) になったかな。さて、前回、この次に何をしたか、覚えているでしょう。
そうです。これを無限級数に展開するのです。しかし、このままの形ではできません。
そのために、ｙ＝１／(１−ｘ−ｘ２)を積分しなさいと言われたら何をしたか、考えてください。
「そうです。よく、覚えていましたね。この関数を部分分数に分解したいのです。」
１−ｘ−ｘ２＝０はｘの方程式とみるより、(１/ｘ)２−(１/ｘ)−１＝０ と変形します。
１/ｘ＝ｔ といて、ｔ２−ｔ−１＝０ の2つの解をα＝（１＋√５）/２，β＝（１−√５）/２ とおく。
そして、ｙの分母をα、βで表し、部分分数に分解しましょう。分解とは、下のようにＡ，Ｂの値を決定することです。
ｙ＝１／｛(１−αｘ)(１−βｘ)｝＝Ａ／(１−αｘ)＋Ｂ／(１−βｘ)
この恒等式を満たす、Ａ，Ｂを求めてください。さぁー、分母を払って計算してみよう。
Ａ(１−βｘ)＋Ｂ(１−αｘ)＝１ ここで、両辺の係数を比較して、Ａ，Ｂの方程式を作って、解いてください。
Ａ＝α÷(α−β)＝α／√５ ，Ｂ＝β÷(β−α)＝−β／√５ になったかね。
したがって、ｙにＡ，Ｂの値を代入します。
ｙ＝(α／√５)×１／(１−αｘ) −(β／√５)×１／(１−βｘ)
さて、
１／(１−αｘ)＝１＋αｘ＋α２ｘ２＋・・・＋αｒｘｒ＋・・・
１／(１−βｘ)＝１＋βｘ＋β２ｘ２＋・・・＋βｒｘｒ＋・・・
だから、これを展開したときのｘｒ の係数はａｒより、これで、求まったぞ。
故に、ａｒ＝(α／√５) αｒ −(β／√５) βｒ ＝(αｒ＋１ ―βｒ＋１)／√５
皆さん！実際に、念のために、ｒ＝１，２，３，・・・と初めの項を実際に計算してください。
太郎さんは、α、βが無理数なのに、どうして、きれいな自然数が出てくるのか、不思議でなりませんでした。
こうして、隣接３項間の漸化式からも、母関数を利用していくと、一般項を求められます。
理解してしまえば、簡単だから、覚えておいてくださいね。
今日は、これで終わりにします。次の時間は、あの有名な「カタラン数」の一般項を関数を用いて、導くことにしまーす。
本日はお疲れさま！
＜参考文献：「数学ひとり旅」石谷茂著：現代数学社＞