平方数の和.jfw

平成１０年１１月３０日

平方数の和を別方法で求めてみました。

問　　　題

　　＜平方数の和Ｓ(ｎ)を求める方法＞

　　１＾２＋２＾２＋３＾２＋・・・＋ｎ＾２＝｛ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)｝／６

　　を自然数を正方形に配置して、証明します。

＜導き方＞

このように自然数を正方形に配置して、ｋ番目の逆Ｌ字形の部分の数の和をＬ(ｋ)はＬ(ｋ)＝１＋２＋３＋・・・＋(ｋ－１)＋ｋ・ｋ＝ｋ(ｋ－１)/２＋ｋ＾２

＝(３/２)ｋ＾２－(１/２)ｋ

次ぎに、ｎ番目の正方形内の数の和をＵ(ｎ)は、

Ｕ(ｎ)＝Ｌ(１)＋Ｌ(２)＋Ｌ(３)＋・・・＋Ｌ(ｎ)

＝(３/２)(１＾２＋２＾２＋・・・＋ｎ＾２ )－(１/２)(１＋２＋・・・＋ｎ)

＝(３/２)Ｓ(ｎ)－(１/２)ｎ(ｎ＋１)/２・・・①

一方、ｎ番目の正方形内の各行の数の和は一定で、

１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)/２

したがって、Ｕ(ｎ)＝ｎ・ｎ(ｎ＋１)/２・・・②

よって、①と②より ,

(３/２)Ｓ(ｎ)－(１/２)ｎ(ｎ＋１)/２＝ｎ・ｎ(ｎ＋１)/２

Ｓ(ｎ)=(２/３)ｎ(ｎ＋１)/２｛ｎ＋１/２｝

＝｛ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)｝／６

すなわち、自然数の平方数の和は｛ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)｝／６となる。

＜解説終わり＞

下線部です。

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