＜導き方＞

このように等差数列を正方形に配置して、各正方形内の数の和をＳ(ｎ)とおく。

Ｓ(３)＝１＋２＋３＋２＋４＋６＋３＋６＋９＝３６，・・・，Ｓ(ｎ)＝？

次ぎに、２つの連続する正方形の作る逆Ｌ字形の部分の数の和をＴ(ｎ)とおく。

そこで、ｎ番目の正方形を考えてみると、第１行の数の和Ｒ(１)は

Ｒ(１)＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)/２

したがって、ｎ番目の正方形内の数の和Ｓ(ｎ)は

また、ｎ番目の逆Ｌ字形の部分の数の和をＴ(ｎ)は

＝｛ｎ(ｎ＋１)/２｝＾２−｛ｎ(ｎ−１)/２｝＾２

＝（１/４）ｎ＾２｛ (ｎ＋１)＾２ −(ｎ−１)＾２｝＝ｎ＾３

ところで、Ｔ(１)＋Ｔ(２)＋Ｔ(３)＋・・・＋Ｔ(ｎ)＝Ｓ(ｎ)

ゆえに、１＾３＋２＾３＋３＾３＋・・・＋ｎ＾３＝｛ｎ(ｎ＋１)/２｝＾２

＜別の考え方１＞

自然数の立方和を求めるために、下の図のように、ある規則に従って碁石を並べます。

上の図では、左下から順に正方形ができていて、その１辺にある碁石の数は、順に１個、
２個、３個、４個、・・・となっています。

このとき、順に大きくなっていく正方形に含まれる碁石の個数は、順に

１＾２＝１

（１＋２）＾２＝９

（１＋２＋３）＾２＝３６

（１＋２＋３＋４）＾２＝１００

（１＋２＋３＋４＋５）＾２＝２２５

・・・・・・

で、このとき、これらの数の間には、

９−１＝８＝２＾３

３６−９＝２７＝３＾３

１００−３６＝６４＝４＾３

２２５−１００＝１２５＝５＾３

・・・・・・

という関係が成り立っています。

これより、上の図で碁石の色が同じＬ字型の部分に含まれる碁石の数は、順に

１＾３個、２＾３個、３＾３個、４＾３個、５＾３個、・・・

で、この正方形全体に含まれる碁石の個数は、自然数の３乗の和になっています。

したがって、

１＾３＋２＾３＋３＾３＋４＾３＋５＾３＋・・・＋ｎ＾３

＜別の考え方２＞

自然数のそれぞれの立方が順次連続する奇数の和に分解できることを利用して、

１＾３＝１＝１・・・・・・・・・・・・・・・・・・奇数が１個

２＾３＝８＝３＋５・・・・・・・・・・・・・・・・奇数が２個

３＾３＝２７＝７＋９＋１１・・・・・・・・・・・・奇数が３個

４＾３＝６４＝１３＋１５＋１７＋１９・・・・・・・奇数が４個

５＾３＝１２５＝２１＋２３＋２５＋２７＋２９・・・奇数が５個

・・・・・・・・・

この両辺をそれぞれ別々に加えてみると、

１＾３＋２＾３＋３＾３＋４＾３＋５＾３＋・・・ｎ＾３

＝｛１＋３＋５＋７＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）−１｝

ここで、一般に、奇数の和はその個数の平方になるから、

よって、

１＾３＋２＾３＋３＾３＋４＾３＋５＾３＋・・・ｎ＾３

＝（１＋２＋３＋４＋５＋・・・＋ｎ）＾２

＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝＾２