平成１１年６月５日
＜高貴な未解決問題＞
＜未だ見ぬ偉大な数学者たち＞へ、
これから、数の不思議（神秘）を研究するために、
あなたは青春をかけてみてください。現在までに、先代の数学者が青春をかけて、没頭した美しい未解決な
問題を順に紹介します。
第１話：「素数の数列の一般項」と「メルセンヌ素数」
２，３，５，７，１１，１３，１７，・・・
1.
第ｎ番目の素数をｎで表せたら、どんなに素晴らしいことでしょう？
2.
与えられた素数の、次の素数を求める式を発見できたら？
また、１７世紀になって、フランスの数学者で物理学者でもあるメルセンヌ（1588〜
1648)はＭ（ｎ）＝２＾ｎ−１が素数であるとき、
それはメルセンヌ素数と言い関心をもって研究しました。。メルセンヌによれば、
ｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１，６７，１２７，２５７に対して、
Ｍ（ｎ）は素数であると予想しました。
メルセンヌの仲間達には、彼がこれらの数をすべてテストしえなかったことは明らかで
あった。しかし、彼らもテストできなかった。
その後、100年後の1750年に、オイラーはメルセンヌの表のＭ（３１）は素数であることを
証明した。その後、1876年にフランスの数学者リュカは、Ｍ（127）もやはり素数であることを
立証しました。その７年後には、ペボシーネがＭ（６１）は素数であることを示しました。
メルセンヌはこれを落としていたのです。
1960年代に、パワーズは、メルセンヌは、やはり、Ｍ（８９）、Ｍ（１０７）を落としているこ
とを示した。
今では、Ｍ（ｐ）＝２＾ｐ−１
ｐ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１，６１，８９，１０７，１２７，５２１，
６０７，１２７９，２２０３，２２８１，３２１７，４２５３，４４２３，９６８９，
９９４１，１１２１３，１９９３７，２１７０１ の２５個が特に知られています。
ところが、コンピュターの発達で、１９９８年には３７番目のメルセンヌ数
Ｍ（３０２１３７７）が発見されています。
逆に、３７番目以前のメルセンヌ数のｐの値は、
ｐ＝２９７６２２１，１３９８２６９，１２５７７８７，８５９４３３，７５６８３９，
２１６０９１，１３２０４９，１１０５０３，８６２４３、…
皆さんは、２１世紀には（今世紀中かも）３８番目以降のメルセンヌ数を見ることができるでしょ
う。
是非、チャレンジください。最大素数は話題がつきません。
そこで、問題です。
定理１：もし、２＾ｎ―１が素数なら、ｎも素数である。
定理２：ｐとｑを素数とする。もし、ｑが、Ｍ（ｐ）＝２＾ｐ−１を割るなら、そのとき任意の
整数ｋに対して、ｑ＝２ｋｐ＋１であり、ｑは８で割ると余りが１か７である。
定理３：ｐが４で割って３余る素数とする。もし、２ｐ＋１が Ｍ（ｐ）＝２＾ｐ−１を割るとき
に限り、２ｐ＋１もやはり素数である。
＜参考文献：１．新数学辞典（大阪書店）＞
＜参考文献：２．素数の不思議：好田順治著（現代数学社）＞
皆さん、証明ができたら、ペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
