日常生活の「モンモール」 ２時間目
先生：「それでは、２時間目の授業を始めるぞ！前回の課題は何だった。」
生徒：「先生！テストの穴埋め問題でした。ある先生が、５つの空欄のある文章で、５つの
選択肢の中から異なる選択肢を選んで答える問題を出すと言われましたが、僕、自信
がないので、直感で答えを書くしかったんです。
次の２つの方法で答えるなら、どちらが得でしたか。
Ａの方法：５つの空欄に全て同じ選択肢を書く。
Ｂの方法：５つの空欄に全て異なる選択肢を書く。
「もう、テスト終わったけれど、どちらが得だったんですか。教えてください。」
「前回ヒントとして、期待値で考えてきなさいで、終わっていまーす。」
先生：じゃー、Ａの方法から考えるぞ。５つの空欄に全て同じ選択肢を書くのだから、必ず
１個は正解するね。よって、この正解数の期待値をＥ(Ａ)とすると、Ｅ(Ａ)＝１。
次に、Ｂの方法はまず、５問だから、異なる５個の選択肢を並べる方法は全部で、
５！＝７２０通りあることは分かるね。
そこで、正解数をＸとすると、Ｘ＝０，１，２，３，４，５の場合を調べることはいいね。
生徒：「先生！４問正解ということはないです。」
先生：「そうだったね。悪い悪い」
Ｘ＝５のとき、これは正答の１通りしかないね。
Ｘ＝３のとき、「先生！モンモールの三角形みていいー」「当然 いいよ」
Ｘ＝３のときは、表より１０通り。Ｘ＝２のときは２０通り。Ｘ＝１のときは４５通り。
「Ｘ＝０のとき、あれ！これは大変不幸な回答方法だけど、完全順列と呼ぶんでしたね。」
Ｘ＝０のときは、表より、４４通りです。
次に、正解数をＸとする期待値を計算しよう。
生徒：「先生！期待値の計算方法なんて、もう忘れた」「じゃー。ここで、復習するよ」
| 一般に、ある試行で起こる事象に対して、その値が定まる変量Ｘが、 Ｘ(1)、Ｘ(2)、Ｘ(3)、・・・、Ｘ(n) のいずれかの値をとり、これらの値を とる確率がそれぞれ、Ｐ(1)、Ｐ(2)、Ｐ(3)、・・・、Ｐ(n) であるとき、 Ｘ(1)Ｐ(1)＋Ｘ(2)Ｐ(2)＋Ｘ(3)Ｐ(3)＋・・・＋Ｘ(n)Ｐ(n) を変量Ｘの期待値 または 平均 という。 ただし、Ｐ(1)＋Ｐ(2)＋Ｐ(3)＋・・・＋Ｐ(n)＝１ である。 |
生徒：「先生！計算、間違っていない。私、よく間違えるの。」
「先生！僕のも見に来て。」「あらー。同じになったよ。これは、何を意味するの。」
「よし、Ａの方法とＢの方法が同じになったことは。分かった人手を挙げて。」
先生：「要するに、得する方法はないということ。しっかり勉強しないとこれから困ることに
もなるぞ。」
「あぁ ー、それから、ｎ＝５のとき調べたのだが、一般に、モンモールの三角形の数
では、期待値も標準偏差もともに１となる分布です。詳しくは下記のここをクリック
してください。
【Weekend Matematics】のコロキウム室に、一般の場合について証明し
てあるから。」
「さて、日常いくらでも、このような出来事があるからね。他にも考えてみてください
なんていう宿題もあったぞ。」「ここで、日常の生活の中で、このモンモール問題の
ような現象は、まだまだ、他にもあるから考えてきたー。」
今までの現象をまとめると、
［教室の席替え問題］
［トランプの番号の不一致問題］
［ｎ通の手紙の宛名の書き問題］
［テストの異なる５個の選択肢入れ問題］
ここで、生徒の発見した現象を書きます。
ただし、７月１０日の研究授業までお待ちください。
岐阜県立海津北高等学校 数学科教諭 水野 隆生
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