| 問 題１ ３角形ＡＢＣにおいて，∠Ａ，∠Ｂの２等分線が対辺と交わる点を，それぞれ、Ｄ，Ｅとし、 ２等分線どうしの交点をＰとする。 （１）∠Ａ＝∠Ｂのとき、ＰＤ＝ＰＥとなることを証明せよ。 （２）逆は正しいか？つまり、ＰＤ＝ＰＥとすると∠Ａ＝∠Ｂとなるか。 |
コメント 逆が常に正しいとは限らない例です。知っていないと気がつきにくい。 |
証明 ∠Ａ＝２α、∠Ｂ＝２βとする。 
（１）∠Ａ＝∠Ｂ とすると、α＝βだから、△ＡＢＰは２等辺三角形となり、ＡＰ＝ＢＰ また、α＝βだから、△ＡＢＤ≡ＢＡＥとなり、ＡＤ＝ＢＥもでる。 よって、ＰＤ＝ＡＤ−ＡＰ＝ＢＥ−ＢＰ＝ＰＥ ∴ ＰＤ＝ＰＥ 証明終 （２） ＰＤ＝ＰＥ かつ２等辺三角形でないような△ＡＢＣがあることを確かめよう。 つまり、逆が成立しないことを示しそう。 
ＰからＢＣ、ＡＣに下した垂線の足を、それぞれ、Ｍ、Ｎとする。 Ｐは△ＡＢＣの角の２等分線の交点（内心）だから、ＰＭ＝ＰＮ。 これと、仮定のＰＤ＝ＰＥから、２つの直角三角形ＰＭＤとＰＮＥは合同となり、 ∠ＰＤＭ＝∠ＰＥＮ ・・・@ が得られる。 ここで、ＭとＮの位置関係について、次の場合が考えられる。 場合T：Ｍ、Ｎとも四角形ＣＥＰＤの辺上にないとき。 場合U：Ｍ、Ｎとも四角形ＣＥＰＤの辺上にあるとき。 場合V：Ｍ、Ｎの一方のみが四角形ＣＥＰＤの辺上にあるとき。 場合Tのとき、∠ＰＤＭ＝180゜−（α＋２β）かつ∠ＰＥＮ＝180゜−（２α＋β）。 ここで、@ より、α＝β、つまり、∠Ａ＝∠Ｂ となる。 場合Uのとき、 ∠ＰＤＭ＝α＋２β かつ ∠ＰＥＮ＝２α＋β ここで、@ より、α＝β、つまり、∠Ａ＝∠Ｂ となる。 場合Vのとき、Ｍが四角形ＣＥＰＤの辺上になく、Ｎが四角形ＣＥＰＤの辺上にあるとする ∠ＰＤＭ＝180゜−（α＋２β）かつ ∠ＰＥＮ＝２α＋β ここで、@ より、α＋β＝60゜ したがって、∠ＡＣＢ＝180゜−（２α＋２β）＝60゜ また、∠ＡＣＢ＝60゜であれば、△ＰＭＤ≡△ＰＮＥ となり、 ＰＤ＝ＰＥとなっていることもわかる。つまり、∠Ａ＝∠Ｂとは限らない例が無数にある。 次に、場合Vで、Ｍが四角形ＣＥＰＤの辺上にあり、Ｎが四角形ＣＥＰＤの辺上にないと するときもまったくの同様である。 以上によって、ＰＤ＝ＰＥとすると、 ∠Ａ＝∠Ｂとなるか、あるいは、∠Ｃ＝60゜となる場合がある。 証明終 |
