（１／２）ａｂｓｉｎ（α＋β）＝（１／２）ｃｅ＋（１／２）ｄｅ

ｓｉｎ（α＋β）＝（ｃｅ＋ｄｅ）／ａｂ

　　　＜証明２＞ Ａ

図イ

図イのように、

∠ ＡＣＢ＝∠ ＡＥＤ＝９０゜，∠ ＡＢＣ＝α，∠ ＢＡＤ＝β とおくと、

相似な２つの三角形を考えて、△ＢＤＥ∽△ＢＡＣより、

（ＤＥ／ＢＤ）＝（ＡＣ／ＢＡ） ∴ＡＣ＝（ＤＥ／ＢＤ）・ＢＡ ・・・�@

ここで、ｓｉｎ（α＋β）＝（ＡＣ／ＤＡ）に�@を代入して

＝（ＤＥ・ＢＡ）／（ＤＡ・ＢＤ）

＝ＤＥ（ＡＥ＋ＥＢ）／（ＤＡ・ＢＤ）

＝（ＤＥ／ＢＤ）・（ＡＥ／ＤＡ）＋（ＢＥ／ＢＤ）・（ＤＥ／ＤＡ）

＝ｓｉｎα ｃｏｓβ ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ＜証明終わり＞

【２】 ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓα ｃｏｓβ −ｓｉｎαｓｉｎβ

　　　　＜証明＞

図ア

図アを用いて、三平方の定理と余弦定理より

ａ＾２＝ｃ＾２＋ｅ＾２ ， ｂ＾２＝ｄ＾２＋ｅ＾２

ｃｏｓ（α＋β）＝｛ａ＾２＋ｂ＾２−（ｃ＋ｄ）＾２｝／２ａｂ

＝（ ｃ＾２＋ｅ＾２＋ｄ＾２＋ｅ＾２−ｃ＾２−２ｃｄ−ｄ＾２）／２ａｂ

＝（ｅ／ａ）・（ｅ／ｂ）−（ｃ／ａ）・（ｄ／ｂ）

＝ｃｏｓα ｃｏｓβ −ｓｉｎαｓｉｎβ ＜証明終わり＞

【３】ｓｉｎ（α−β）＝ｓｉｎα ｃｏｓβ −ｃｏｓαｓｉｎβ

　　　＜証明＞ Ａ

図ウ

図ウのように、

∠ ＡＣＢ＝∠ ＡＥＤ＝９０゜，∠ ＡＤＣ＝α，∠ ＢＡＤ＝β とおくと、

相似な２つの三角形を考えて、△ＢＤＥ∽△ＡＤＣより

（ＢＥ／ＤＢ）＝（ＡＣ／ＤＡ） ∴ＡＣ＝（ＢＥ／ＤＢ）・ＤＡ ・・・�A

ここで、ｓｉｎ（α−β）＝（ＡＣ／ＢＡ）に�Aを代入して

＝（ＢＥ・ＤＡ）／（ＢＡ・ＤＢ）

＝ＢＥ（ＡＥ−ＥＤ）／（ＢＡ・ＤＢ）

＝（ＢＥ／ＤＢ）・（ＡＥ／ＢＡ）−（ＤＥ／ＤＢ）・（ＢＥ／ＢＡ）

＝ｓｉｎα ｃｏｓβ −ｃｏｓαｓｉｎβ ＜証明終わり＞

【４】 ｔａｎ（α＋β）＝（ｔａｎα＋ｔａｎβ）／（１− ｔａｎα・ｔａｎβ）

　　　　＜証明＞ Ｂ

　　　　図エ

図エのように

∠ ＡＨＢ＝∠ ＡＭＢ＝９０゜，∠ ＢＡＭ＝α，∠ ＣＡＭ＝∠ ＣＢＨ＝βとおき、

さらに、ＡＭ＝１としておく。点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＭ、点Ｂから辺ＡＣ

に下ろした垂線の足をＨ、ＢＨとＡＭとの交点をＰとする。

すると、ＢＭ＝ＡＭｔａｎα＝ｔａｎα

ＣＭ＝ＡＭｔａｎβ＝ｔａｎβ

ＰＭ＝ＢＭｔａｎβ＝ｔａｎα ・ｔａｎβ

また、相似な２つの三角形は△ＡＨＰ∽△ＢＨＣなので、

ＢＨ／ＡＨ＝ＢＣ／ＡＰ＝（ＢＭ＋ＣＭ）／（ＡＭ−ＰＭ）

よって、

ｔａｎ（α＋β）＝ＢＨ／ＡＨ

＝（ｔａｎα＋ｔａｎβ）／（１− ｔａｎα・ｔａｎβ）

＜証明終わり＞

＊＜参考文献＞ 白坂 繁 著 ：ＥＮＪＯＹできＭＡＴＨ （金苑書房）

著者の白坂さんのご好意により、全引用させて頂きました。厚くお礼を申しあげます。
尚、ｅ−ｍａｉｌ：ｓｉｒａｓａｋａ＠ｋａｇｏｓｈｉｍａ−ｃｔ．ａｃ．ｊｐ

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　　　　　　　岐阜県立海津北高等学校　数学科教諭　水野　隆生
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