平成１０年９月２９日
「水の流れ」夏休み課題研究編
- ＜πの身近な測定方法＞
１．動機
- 日常生活の中にあるものを使って、円周率πを測る方法をいろいろ考えて、πの近い
値を求めてみたいと思った。
２．円について
- 円とは１つの点から等しい距離にある点をたどったときにできる図形である。
コンパスを使うと、きれいな円が描けます。
『身近な例』１円玉、５円玉、１０円玉、５００円玉、ＣＤ、皿、ボタン、
- 水の輪（池に小石を投げたときの波紋）
３．円周率 π について
- いろいろな大きさの円について、円周と直径を測ってみると、（円周）÷（直径）の値が一定であることが分かります。個の値を π または 円周率 と言います。
πはギリシャ語で「周」という言葉の頭文字です。
- π＝円周÷直径
- また、上の式を書き換えると、次のようになります。
円周＝直径×π、円周＝２×半径×π と変形できます。
πの値は、３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６・・・・・・、
と無限に続きます。今では、コンピュータによって正確に１００億桁近くまで計算されています。πは繰り返すことはありません。πのように、無限に続いて繰り返さない数のことを「無理数」と言います。
- 数の中には、分数で表せるもの「有理数」と分数で表せないもの「無理数」があります。分数で表される数は小数に直したとき、どこかで割り切れる「有限小数」か、小数点以下のあるところから無限に繰り返す「循環小数」に別れます。
- だから、πは分数の形で表すことができません。
◎ 数の分類
| 数 |
有理数 |
有限小数 |
０，１，３．１４，・・・ |
| 無限小数 |
１／３，２２／７，２２３／７１，
３３５／１１３，・・・ |
| 無理数 |
√２，√ １０ ，π，・・・ |
- ＊（注）下線の数字は、πの近い値として、その時代やその国によって今でも使われている数字です。
４．円の面積について
- （１）おうぎ形で円の面積を求めてみよう。
- 上のようにおうぎ形に切って、下のようにおうぎ形を並べてみます。
- 底辺＝円周÷ ２
- 円の面積＝ 底辺×高さ＝（円周÷ ２）×半径＝（半径×π）×半径
- ＝（半径）＾２×π
- ＝ｒ＾２×π （半径をｒとして）
「ｃｂｃ」さんの指摘により円の面積＝ 底辺×高さ＝（円周÷ ２）×半径＝（半径×π）×半径と修正した（平成１７年６月２７日記述）
（２）バウムクーヘンで円の面積を求めてみよう。
- 円周＝２πｒ
- 円を何重もの輪が重なっているバウムクーヘンのように考えます。
（ただし、穴は開いていません）
半径で切り込みを入れて、輪を延ばしていきます。
- すると、高さが半径の長さｒ、底辺が円周の長さ２πｒとなる三角形ができます。
この三角形の面積が円の面積です。
- 円の面積＝三角形の面積＝底辺×高さ÷２＝半径×円周÷２
- ＝ｒ×２πｒ÷２ ＝πｒ＾２
- ５．球の体積と表面積について
- 半径をｒとしたときの球の体積Ｖと表面積Ｓを計算する式は
- 球の体積 Ｖ＝（４／３）×π×半径×半径×半径
- ＝（４／３）πｒ＾３
- 球の表面積 Ｓ＝４×π×半径×半径 ＝４πｒ＾２
＊（注）証明は現段階では、難しいので省略します。
『身近な球の例』野球ボール、ビーチボール、パチンコ玉、地球儀、ビー玉、・・・、
６．π を測ろう
- ＜準備するもの＞ ☆直線定規 、 ☆三角定規２個 、☆糸 、☆茶筒
- ＜求め方の手順＞
（１）写真のようにして、三角定規を使って、直径を測ります。
（２）茶筒の周りに糸を巻き、円周を測ります。
（３）（円周）÷（直径）でπを求めます。
＜結果＞
| 茶筒 |
直 径 |
円 周 |
円周率 π |
| Ａ |
６．８ｃｍ |
２１．３ｃｍ |
３．１３２４・・・ |
| Ｂ |
８．８ｃｍ |
２８．０ｃｍ |
３．１８１８・・・ |
| Ｃ |
１０．２５ｃｍ |
３２．５ｃｍ |
３．１７０７・・・ |
- ＜準備するもの＞ ☆直線定規 、 ☆三角定規２個 、☆糸 、☆百円玉
- ＜求め方の手順＞
（１）写真のようにして、百円玉を１０個並べて、直径を測ります。
（２）百円玉の周りに糸を巻き、円周を測ります。
（３）（円周）÷（直径）でπを求めます。
＜結果＞
| 百円玉 |
直 径 |
円 周 |
円周率 π |
| 測定値 |
２．２５ｃｍ |
７．１５ｃｍ |
３．１７７７・・・ |
- ＜準備するもの＞ ☆２台の自転車 、 ☆メジャーと巻き尺 、☆チョーク
- ＜求め方の手順＞
（１）写真のようにして、車輪の直径をメジャーで測ります。
（２） 地面にまっすぐな線を引き、タイヤと地面にしるしを付けます。
（３） 車輪が１回転したところにしるしを付けます。
（４）しるしからしるしまでの距離を巻き尺で測ります。
（５）（車輪が１回転する間に動いた距離）÷（車輪の直径）でπを求めます。
＜結果＞
| 自転車 |
直 径 |
動いた距離 |
円周率 π |
| Ａ |
６５．０ｃｍ |
２０２ｃｍ |
３．１０７７・・・ |
| Ｂ |
６９．５ｃｍ |
２１６ｃｍ |
３．１０７９・・・ |
＜準備するもの＞ ☆同じ大きさの厚紙２枚 、 ☆コンパス 、☆定規 、
☆はさみ 、☆上皿自動ばかり器 、☆ 天秤
＜求め方の手順＞
〔１〕円と正方形の重さから（上皿自動ばかり器）
（１）厚紙に半径１０ｃｍの円と、１辺が１０ｃｍの正方形を切り取ります。
（２）切り取った円と正方形の重さをそれぞれ、上皿自動ばかり器で測ります。
（３）（円の重さ）÷（正方形の重さ）でπを求めます。
＜結果＞
|
重さ（ｇ） |
面積（ｃu ） |
円周率 π |
| 円 |
１１．８ｇ |
１００π ｃu |
３．１８９・・・ |
| 正方形 |
３．７ｇ |
１００π |
〔２〕円と正方形や長方形の重さから （天秤）
（１）厚紙に半径１０ｃｍの円と、１辺が１０ｃｍの正方形を４つと、
- １ｃｍ×１０ｃｍの長方形を２つと、１辺が１ｃｍの正方形を５つ切り取ります。
（２）写真のように、半径１０ｃｍの円と、１０ｃｍの正方形を３枚天秤にのせます。
- ＜結果＞ （円の重さ）＞（１０ｃｍの正方形を３枚の重さ）
（３） 半径１０ｃｍの円と、１０ｃｍの正方形を４枚天秤にのせます。
- ＜結果＞ （円の重さ）＜（１０ｃｍの正方形を４枚の重さ）
（４） 半径１０ｃｍの円と、１０ｃｍの正方形を３枚、１ｃｍ×１０ｃｍの長方形枚を １枚天秤にのせます。
＜結果＞ （円の重さ）＞（ １０ｃｍの正方形を３枚、長方形枚１枚の重さ）
（５）半径１０ｃｍの円と、１０ｃｍの正方形を３枚、１ｃｍ×１０ｃｍの長方形枚を ２枚天秤にのせます。
＜結果＞ （円の重さ）＜（ １０ｃｍの正方形を３枚、長方形枚２枚の重さ）
（６）半径１０ｃｍの円と、１０ｃｍの正方形を３枚、１ｃｍ×１０ｃｍの長方形枚を １枚、１ｃｍの正方形を４枚天秤にのせます。
＜結果＞ （円の重さ）＞（ １０ｃｍの正方形を３枚、長方形枚１枚、１ｃｍの正方形 ４枚の重さ）
（７）半径１０ｃｍの円と、１０ｃｍの正方形を３枚、１ｃｍ×１０ｃｍの長方形枚を １枚、１ｃｍの正方形を５枚天秤にのせます。
＜結果＞ （円の重さ）＝（ １０ｃｍの正方形を３枚、長方形を１枚、１ｃｍの正方形 を５枚の重さ）
- ＜準備するもの＞ ☆直線定規 、 ☆三角定規２個 、☆パチンコ玉 、☆ビー玉
- ☆１００ｃｃメスシリンダー
- ＜求め方の手順＞
（１）写真のようにして、ビー玉とパチンコ玉の直径を測ります。
（２）メスシンダーに水を６０ｃｃ入れます。
（３）メスシンダーにビー玉を１０個入れ、水の増えた量を量ります。
（４） 半径をｒとしたときの球の体積Ｖと表面積Ｓを計算する式は
- 球の体積 Ｖ＝（４／３）×π×半径×半径×半径
- ＝（４／３）πｒ＾３
- だから、 π＝（３／４）×（Ｖ／ｒ＾３）に代入して、計算します。
＜結果＞
| １０個 |
直 径 |
増えた体積 |
１個の半径 |
1個の体積 |
円周率 π |
| ビー玉 |
１６．８cm |
２５ｃｃ |
０．８４cm |
２．５ｃｃ |
３．１６３５ |
| パチンコ玉 |
１１．０cm |
７ｃｃ |
０．５５cm |
０．７ｃｃ |
３．１５５６ |
- ７．実験結果
| πを測った物 |
円周率πの値 |
πを測った物 |
円周率πの値 |
| 茶 筒 Ａ |
３．１３２４・・・ |
茶 筒 Ｂ |
３．１８１８・・・ |
| 茶 筒 Ｃ |
３．１７０７・・・ |
百 円 玉 |
３．１７７７・・・ |
| 自転車 Ａ |
３．１０７７・・・ |
自転車 Ｂ |
３．１０７９・・・ |
| 重さ ［１］ |
３．１８９・・・ |
重さ ［２］ |
３．１５ |
| ビ ー 玉 |
３．１６３５・・・ |
パチンコ玉 |
３．１５５６・・・ |
- ８．まとめ
- 私たちの身近にある生活用品から、かなり正確な円周率（π）を測ることができて、
驚きました。今回の実験で π について詳しく知ることができて、大変良かったです。
- 今後の課題として、
（１）直径・円周は正確に定規で測る。
（２）重量計をデジタルにして、”ｍｇ”まで測る。
（３）何度か同じ実験をして、平均をとる。
（４）ミスシリンダーの目盛りが０．５ｃｃの物を用意する。
（５）厚紙は線に沿って、正確に切る。
- この５つに気をつけたいです。そうすれば、もっと正確な π の値を求めることが
出来ると思います。
- さらに、もっと別のやり方で π の値を求める実験をしてみたいです。
- 以上、平成１０年夏休み課題研究発表でした。
- ＊（注）これだけのことを、よく考えられたね。＜水の流れより＞
よろしくお願いいたします。
自宅：mizuryu@aqua.ocn.ne.jp
Ｂａｃｋ