平成１０年１０月１日
数の不思議 「春休みの宿題 」の答え
『１』 １から９までの数字をこの順に書き並べ、数字の前後に、＋、−の計算
記号を入れて、１００になる式を作ろう。この答えは１２通りしかありません。
２通り示しますので、残りの１０通りを考えてください。

@ １２３−４５−６７＋８９＝１００
A １２３＋４−５＋６７−８９＝１００
ここから、生徒が見つけた作品です。
B １２３−４−５−６−７＋８−９＝１００
C １２３＋４５−６７＋８−９＝１００
D １２＋３−４＋５＋６７＋８＋９＝１００
E １２−３−４＋５−６＋７＋８９＝１００
F １２＋３＋４＋５−６−７＋８９＝１００
G １＋２＋３−４＋５＋６＋７８＋９＝１００
H １＋２３−４＋５＋６＋７８−９＝１００
I １＋２３−４＋５６＋７＋８＋９＝１００ J
J １＋２＋３４−５＋６７−８＋９＝１００
K −１＋２−３＋４＋５＋６＋７８＋９＝１００
以上の１２通りですが、９から１へと逆順も作られています。この場合＋、−
の２つだけの計算記号では１８題があります。ここに、そのいくつかを書きます。
@ ９−８＋７６−５＋４＋３＋２１＝１００
A ９−８＋７＋６５−４＋３２−１＝１００
B ９−８＋７６＋５４−３２＋１＝１００
C −９−８＋７６−５＋４３＋２＋１＝１００
D ９８−７−６−５−４＋３＋２１＝１００
E ９８＋７−６−５＋４＋３−２＋１＝１００
F ９８−７＋６−５＋４＋３＋２−１＝１００
等があります。後は自分で考えましょう。
＜研究＞ 小町算 １，２，３，４，・・・、９の間に＋、−、×、÷等の計算記号 を入れて、その計算をした答えが100とかあるいは99などのある特定の数にす る計算の遊びを小町算（こまちざん）と呼びます。
例えば、１＋２×３＋４×５−６＋７＋８×９＝１００
小町算という呼び名は寛保３年（1743）に出版された中根彦循（1701〜1761)
の著「勘者御伽双紙」にあります。この本には多くの数学遊戯が解説されていま す。
＜参考文献＞ 大阪書籍 「新数学事典」
日本実業出版社 「数の世界雑学事典」
２』１から９までの数字をこの順に書き並べ、数字の前後に、＋、−、×、
の計算記号を入れて、１００になる式を作ろう。この場合は今までに１４１
通り発見されています。皆さんも例にならって考えてみましょう。
例） １＋２３−４＋５６÷７＋８×９＝１００ ＜可能な限り＞
他に、１２＋３×４＋５＋６＋７×８＋９＝１００
１２÷３＋４×５×６−７−８−９＝１００
１＋２×３−４＋５６÷７＋８９＝１００
１×２×３×４＋５＋６−７＋８×９＝１００
・・・ 後は生徒ともに考えていきます。
３』４個の４と計算記号を使って、０から順に数を表す式を作ってみましょう
（例） ０＝４４−４４、 １＝４４÷４４、 ２＝（４÷４）＋（４÷４）
３＝（４＋４＋４）÷４ 後は挑戦してください。＜可能な限り＞
＜できる限り簡単な計算記号ですが、平方根√、階乗！、累乗、小数点．
これは０．４＝．４ ，０．０４＝．．４ と使います。
さらに、循環小数０．４４４４・・・＝．４＝４÷９ としても使います 。
ガウス記号［ ］も当然いいです。 ＞

＊ 参考 この問題は、Ｗ．Ｗ．Ｒ．ボール氏が１９１３年に提案した。
実は、学生時代に１５３位までチャレンジしました。
『４』４個の９と＋、−、×、÷、√ などの計算記号を使って、０から順に
数を表す式を作ってみましょう。 ＜できる限りで良い＞
（例） ０＝９９−９９、 １＝９９÷９９、 ２＝９９÷９−９
ここから、生徒の作品例です。
３＝（９＋９＋９）÷９ 、 ４＝９÷９＋９÷√９
５＝（９＋９）÷９＋√９、 ６＝９−９＋９−√９
７＝９−（９＋９）÷９ 、 ８＝（９×９−９）÷９
９＝９＋（９−９）×９、 １０＝（９×９＋９）÷９
・・・
『５』一般に、aを１から９までの任意の数字としたとき、「４個のa」の問題
として考えられます。
Four ones, Four twos, Four threes, Four fives, Four sixs,
Four sevens, Four eights, と同じ数字を４回使って、＋、−、×、÷、
（ ）、平方根√、階乗！、累乗、ガウス記号［ ］、小数点．循環小数等
の数学的記号を用いて可能な限りの自然数を作りましょう。

作品例 （後は生徒と一緒に考えます）
１＝（１＋１）÷（１＋１）、 ２＝１÷１＋１÷１
３＝（１＋１＋１）÷１ 、 ４＝１＋１＋１＋１
５＝（１＋１＋１）！−１ 、 ６＝（１＋１＋１）！×１
７＝（１＋１＋１）！＋１ 、 ８＝１÷（．１）−１−１
９＝１÷（．１）×１−１ 、 １０＝１÷（．１）×１×１
６』下の○のところに１から９までの数字を一つ入れて、式が成り立つように
しましょう。 答えは例も入れて６通りあります。考えてください。
○○○○○ （例）１５９８７
− ○○○○ − ３６４２
１２３４５ １２３４５

他に、生徒が見つけた作品です。
１６９２５ １６９３２ １７６３４ １７６４３ １８５７９
−４５７８ −４５８７ −５２８９ −５２９８ −６２３４
１２３４５ １２３４５ １２３４５ １２３４５ １２３４５
『７の１』したの○の中に１から１０までの数字を入れましょう。（３は除く）
ただし、上段の左上と右上との差を下段の中央の○のなかに入れること。
たとえば、
生徒が見つけた作品です。

『７の２』うえの○の中に１から１０までの数字を入れましょう。（４は除く）
ただし、上段の左上と右上との差を下段の中央の○のなかに入れること。
一番下の○には４を入れて完成しなさい。
生徒が見つけた作品です。

『８』１桁の整数１，５，６を平方すると、１，２５，３６となって下１桁
は変わりません。 そこで、問題です。
(１)２桁の整数Ｎを平方しても下２桁が同じＮとなる数字Ｎを見つけましょう
(２)３桁の整数Ｎを平方しても下３桁が同じＮとなる数字Ｎを見つけましょう
(３)４桁の整数Ｎを平方しても下４桁が同じＮとなる数字Ｎを見つけましょう

解（１）２桁の整数Ｎで、ＮとＮ２ とで下２桁が変わらないとは、Ｎ２−Ｎが
100で割り切れること、すなわちＮ(Ｎ−１)が２２・５２ の倍数となる。
ところが、Ｎ、Ｎ−１とは１以外に公約数をもたないから、
@) Ｎ、Ｎ−１のどちらか一方は25の奇数倍
A) 他方は４の倍数
でなければならない。Ｎは２桁であるから、@)によって
Ｎ＝25、75 または Ｎ−１＝25、75 であるが、A)を満たすのは
Ｎ＝25 または Ｎ−１＝75 よって、Ｎ＝25 、76 （答）

注：25×25=625 , 76×76=5776

（２）（１）と同様にして、Ｎ(Ｎ−１)が1000=２３・５３の倍数 となる。

Ｎ＝8p、Ｎ−１＝125q ∴ 8p=125q＋1
または、Ｎ−１＝8p , Ｎ＝125q ∴ 8p=125q−1
ところが、Ｎは３桁であるから １≦ｑ≦７、
したがって、8p=125q＋１ ∴8(p−15q)=5q＋1 のとき、ｑ＝３
8p=125q−１ ∴8(p−15q)=5q−1 のとき、ｑ＝５
∴ Ｎ＝３７６ または ６２５ （答）

注： 376×376=141376 ，625×625=390625

（３）同様に計算して、解いてもいいですが、規則性に気がついた人は
Ｎが４桁より、 □376 ,◇625の□、◇の中に１から９までの数字を
入れて、題意を満たす数字を探してもよいのです。
∴ Ｎ＝９３７６ の１つだけ （答） ＜生徒が発見＞

注： 9376×9376=87909376

次ぎに、整数Ｎの桁数を５桁、６桁、・・・ とした場合、このような整数は 果たしてあるのでしょうか？ 誰か考えて、教えてください。
注：私はまだ、発見していません。
＜これは作図問題です＞
『９』 三角形の頂点Ａ，Ｂ．Ｃを通る最短道路を作図しましょう。
A ・
B ・ ・ C
発展 長方形の頂点A,B,C,Dのときはどうでしょうか？
正五角形の頂点A,B,C,D,Eのときはどうでしょうか？

＜研究＞ この問題は、秋山仁先生がアメリカのベル研究所に研究に行って
いたとき、そこのグラハム博士に教えてもらった問題です。
このように平面上に与えられたいくつかの点を連結する最短
（線分の長さの和が最短という意味）のネットワークを限定す
る問題を、この問題の発案者シュタイナー（スイスの数学者）の
名にちなんで最短シュタイナー問題といいます。
実は、この答えはしゃぼん液の表面張力を利用して鮮やかに
解決することができます。（新鮮な感動そのものです。素晴らしい）

注：現在、実験を計画中です。（アクリル板と釘と洗剤溶液が必要）
　　　　　　　 　　　　　　　自宅：mizuryu@aqua.ocn.ne.jp


Ｂａｃｋ