14:39:32

      図形・数の不思議  「連休問題」 No.1  平成10年 4月14日


『1』 <4匹の犬の追いかけっこ>


1辺の長さが50mの正方形の4つの頂点に、A,B,C,Dの4匹の犬が
います。いま、AがBを追いかけ、BがCを追いかけ、CがDを追いかけ、
DがAを追いかけるというようにして、同時に同じ速度で走り始めました。
4匹が正方形の中心で同時に追いつくまでに、それぞれの犬は何mずつ走る
でしょうか。




A犬

 

B犬

 

     

  


D犬

 

C犬

   「プー太」さんの解答 受信 平成11年4月21日

数の不思議Part3

問題「1」<4匹の犬のおいかけっこ>

の解答をおおくりします。

 

解答

 

まず、AがBを追いかけ、BがCを追いかけ、CがDを追いかけ、

DがAを追いかけるということから、4匹の犬は全く対称的な動きをします。

すると、ある時点の犬のいる場所を結ぶと、正方形になります。

つまり、例えばAにとってBを眺めると、Aの進む向きとは垂直に、

Bは動いていくことになります。Bは、Aから逃げも近づきもしないのです。

したがって、例えばAはBにおいつくまでに、50mはしることになります。

 

<コメント:水の流れ>(H11年4月21日)

正解です。私が初めてこの問題に出会ったのは、テレビの平成教育委員会で

ピーターフランクルが出題ときです。もう何年経っているでしょう

<感想:「プー太」さん>

昔、この問題をみたことがあります。

犬の動く曲線を求めましたが、今は忘れました。

確か、何とからせんだったような。

また、局座標表示のほうが簡単に表示できたような?

しかし、同じ事を三角形(基本図形という意味)でやらせてみると

面白いでしょうね。

途中で、まずは、2匹がくっつき、最後に3匹がくっつくと。

シミュレーションしてもおもしろいし、動く経路の研究、

最後に追いつく点の研究してもおもしろいし。

ああ、ぼくはプログラムは苦手なので、だれかシミュレーションプログラム

をつくってくれないかなー?

 

<コメント:水の流れ>(H11年4月21日)

実は、この問題は私のHPで石川県金沢市立高岡中学校の「数学の部屋」

を見て下さい。昨年「ミサイルの問題?」として、投稿しておきました。

そこで、解答を頂いています。立ち寄ってみてください。

 また、シミュレーションもできています。


<やぎ>さんからの解答 H12年11月23日 受信 同日更新

<水の流れ> 読者の方は実にありがたいです。これからもよろしくお願いします。

4匹の犬の追いかけっこの問題の解答

 

 最初に□A1B1C1D1いた4匹の犬が□A2B2C2D2,□A3B3C3D3------------と移動していく。

 それぞれの四角形の辺をL1,L2,L3--------0、とする。

 また、犬の移動距離をX1,X2,X3-------0、とする。

 

    i=1,2,3----として

 Xi<<Li とすれば

   L1−L2=X1

   L2−L3=X2

   L3−L4=X3

    ----------

Ln−L(n+1)=Xn   が成立する。

 

∴X1+X2+X3+--------+Xn=L1−L(n+1)

n=―――>無限 とすれば 左辺は犬の移動した距離の合計

右辺はL1となる。

∴   各犬の移動距離は50メートルとなる。

 <やぎ>さんからの解答追加 H12年11月25日 受信 同日更新

    犬の追いかけっこの問題

 解答の追加

 犬の追いかけっこの問題で4匹の犬がどのような軌跡をたどるか気になるところです。

 犬が正方形の中心に対して左にまわる角度をA,,中心からの距離をr(a)とすると

 

   −dr(a)/da=r(a) という微分方程式が成立します。

  この式の解は k=sqr(2)とおくと

 r(a)=(L/k)exp(−a)   となります。

  ただし a:ラジアン  L: 正方形の辺の長さ

 


規則性の発見問題<同じループ>

『2』 自分の好きな自然数を1つ選んでください。

そして、その数が偶数なら・・・その数を半分にする

奇数なら・・・3倍して1を加える

という操作を繰り返してください。何か規則性が見つかりませんか?


「浜田 明巳」さんの解答 受信 平成11年4月30日

規則性の発見問題解答

 去年の問題ですが,QBASICのプログラム421.qbを作成し求めました.内容は次の通りです.

 数jを1から1000000(max)まで発生させ,偶数なら半分に,奇数なら3倍して1を加え,

さらに同様な操作を繰り返します.すると必ず4,2,1のループに入り込むことが分かります.

プログラムでは1になった時点で計算を終わりにして,1秒後に次のjに進むようにしています.

時間がかかりますので,飽きたときには何かキーを押せば終わりになるようにしました.

 ちなみに,私はこの問題(COLLATZの問題)のプログラムを数年前ある雑誌に投稿し,同じ結論を出しています.

そのときのプログラムはN88日本語BASICでつくりました。

             浜田 明巳

 

'421.qb

CLS

DEFDBL J, M-N

max = 1000000

iro1 = 2

iro2 = 6

j = 1

WHILE j <= max AND INKEY$ = ""

n = j

IF n < 3 OR n = 4 THEN

COLOR iro2

ELSE

COLOR iro1

END IF

PRINT n;

COLOR 7

WHILE n > 1

IF 2 * INT(n * .5) = n THEN

n = n * .5

ELSE

n = 3 * n + 1

END IF

IF n < 3 OR n = 4 THEN

COLOR iro2

END IF

PRINT n;

COLOR 7

WEND

PRINT

PRINT

t$ = TIME$

WHILE t$ = TIME$

WEND

j = j + 1

WEND

WHILE INKEY$ <> ""

WEND

END


<コメント:水の流れ>(H11年5月3日)

 
ご指摘のようにCOLLATZの問題、日本では角谷予想問題といいます。

1つの未解決問題だそうです。詳しくは、後で知ったのですが、このサイトに載っていました。

三島 久典 さん のHP です。

http://www.asahi-net.or.jp/KC2H-MSM/mathland/math07/index.html

<COLLATZの予想>

よろしければ、立ち寄ってみてください。

『3』 全部が同じ数字ではない4桁の整数を好きなように選びなさい。

この4つの数字を並び替えてできる最大の数から最小の数を引き、
その答えで同じ操作を繰り返す。3桁の数になったら1000の位に
0をつける。どんな整数を選ぼうと最後はある4桁の数になる。
その数はいくつでしょうか?
じゃ、3桁の場合はどんな数字になるかも考えてください。

 

「浜田 明巳」さんの解答 受信 平成11年4月30日

 

規則性の発見問題(7641)解答

 去年の問題ですが,QBASICのプログラム7641.QB,7641_2.QBを作成し求めました.

内容は次の通りです.

 まず第一段階として,9998から1000までの数字(各桁は最高位から大きい順に並べてある)の中で,

この操作を1回施しても値の変わらない数字を求めます.プログラム7641.QBによって,

その数字とは7641ただ一つだということが分かります.

 

第二段階として,プログラム7641_2.QBによって,9998から1000までのすべての数が,

この操作を何回か施すと7641になることを示します.

 ちなみにこの話題は,数学セミナー87年1月号にて神奈川大学広瀬貞樹先生が記事「7641の不思議」にて

指摘されています.

 そこでは,

 「4桁の整数(ただし,各桁の数がすべて同じ数,3333,9999等は除く)の各桁の数を大きい順に

並べかえてできる数から,小さい順に並べかえてできる数をひく.

その結果得られた数に,さらに同様な操作を繰り返して適用する.すると,いつかは7641になる.

同様な事が2桁,3桁,5〜9桁の数について,成立する.

ただし3桁の場合も,1つの数字954に行き着くが,他の桁の場合は,いくつかのループに分かれる.

例えば2桁の場合,

  54→90→81→63→72→54 のループに入る.

5桁の場合,3個のループに分かれる.」

となっていました.広瀬先生は,計算機を使ってこの結果を得られた,としていました.

           浜田 明巳

 

'7641.QB

CLS : DIM A(4), B(4)

FOR J1 = 9 TO 1 STEP -1: A(1) = J1

FOR J2 = J1 TO 0 STEP -1: A(2) = J2

FOR J3 = J2 TO 0 STEP -1: A(3) = J3

FOR J4 = J3 TO 0 STEP -1

IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 OR J3 <> J4 THEN

A(4) = J4: AA = 0: AAA = 1: BB = 0

FOR J5 = 1 TO 4

AA = AA + AAA * A(5 - J5): BB = BB + AAA * A(J5): AAA = 10 * AAA

NEXT

SA = AA - BB: BB = 0: BBB = 1

FOR J5 = 1 TO 4: B(5 - J5) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB

NEXT

FOR J5 = 1 TO 3: FOR J6 = J5 + 1 TO 4

IF B(J5) < B(J6) THEN SWAP B(J5), B(J6)

NEXT: NEXT

BB = 0: BBB = 1

FOR J5 = 1 TO 4: BB = BB + BBB * B(5 - J5): BBB = 10 * BBB: NEXT

IF AA = BB THEN PRINT AA

END IF

NEXT: NEXT: NEXT: NEXT: END

 

'7641_2.QB

CLS : DIM A(4), B(4): KOTAE = 7641: IRO1 = 2: IRO2 = 6: I$ = ""

J1 = 9

WHILE J1 >= 1 AND I$ = "": A(1) = J1: J2 = J1

WHILE J2 >= 0 AND I$ = "": A(2) = J2: J3 = J2

WHILE J3 >= 0 AND I$ = "": A(3) = J3: J4 = J3

WHILE J4 >= 0 AND I$ = "": I$ = INKEY$

IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 OR J3 <> J4 THEN

A(4) = J4: AA = 0: AAA = 1

FOR J5 = 1 TO 4

AA = AA + AAA * A(5 - J5): AAA = 10 * AAA: B(J5) = A(J5)

NEXT

COLOR IRO1: PRINT AA; : COLOR 7

BB = AA

WHILE BB <> KOTAE

BB = 0: BBB = 1

FOR J5 = 1 TO 4: BB = BB + BBB * B(J5): BBB = 10 * BBB: NEXT

SA = AA - BB

BB = 0: BBB = 1

FOR J5 = 1 TO 4: B(5 - J5) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB

NEXT

FOR J5 = 1 TO 3: FOR J6 = J5 + 1 TO 4

IF B(J5) < B(J6) THEN SWAP B(J5), B(J6)

NEXT: NEXT

BB = 0: BBB = 1

FOR J5 = 1 TO 4: BB = BB + BBB * B(5 - J5): BBB = 10 * BBB: NEXT

IF BB = KOTAE THEN COLOR IRO2

PRINT BB; : COLOR 7

AA = BB

WEND: PRINT

T$ = TIME$: WHILE T$ = TIME$: WEND

END IF

J4 = J4 - 1

WEND

J3 = J3 - 1

WEND

J2 = J2 - 1

WEND

J1 = J1 - 1

WEND: WHILE INKEY$ <> "": WEND: END

 

'954.QB

CLS : DIM A(3), B(3)

FOR J1 = 9 TO 1 STEP -1: A(1) = J1

FOR J2 = J1 TO 0 STEP -1: A(2) = J2

FOR J3 = J2 TO 0 STEP -1

IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 THEN

A(3) = J3: AA = 0: AAA = 1: BB = 0

FOR J4 = 1 TO 3

AA = AA + AAA * A(4 - J4): BB = BB + AAA * A(J4): AAA = 10 * AAA

NEXT

SA = AA - BB: BB = 0: BBB = 1

FOR J4 = 1 TO 3: B(4 - J4) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB

NEXT

FOR J4 = 1 TO 2: FOR J5 = J4 + 1 TO 3

IF B(J4) < B(J5) THEN SWAP B(J4), B(J5)

NEXT: NEXT

BB = 0: BBB = 1

FOR J4 = 1 TO 3: BB = BB + BBB * B(4 - J4): BBB = 10 * BBB

NEXT

IF AA = BB THEN PRINT AA

END IF

NEXT: NEXT: NEXT: END

 

'954_2.QB

CLS : DIM A(3), B(3): KOTAE = 954: IRO1 = 2: IRO2 = 6: I$ = ""

J1 = 9

WHILE J1 >= 1 AND I$ = "": A(1) = J1: J2 = J1

WHILE J2 >= 0 AND I$ = "": A(2) = J2: J3 = J2

WHILE J3 >= 0 AND I$ = "": I$ = INKEY$

IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 THEN

A(3) = J3: AA = 0: AAA = 1

FOR J4 = 1 TO 3

AA = AA + AAA * A(4 - J4): AAA = 10 * AAA: B(J4) = A(J4)

NEXT

COLOR IRO1: PRINT AA; : COLOR 7

BB = AA

WHILE BB <> KOTAE

BB = 0: BBB = 1

FOR J4 = 1 TO 3: BB = BB + BBB * B(J4): BBB = 10 * BBB: NEXT

SA = AA - BB

BB = 0: BBB = 1

FOR J4 = 1 TO 3: B(4 - J4) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB

NEXT

FOR J4 = 1 TO 2: FOR J5 = J4 + 1 TO 3

IF B(J4) < B(J5) THEN SWAP B(J4), B(J5)

NEXT: NEXT

BB = 0: BBB = 1

FOR J4 = 1 TO 3: BB = BB + BBB * B(4 - J4): BBB = 10 * BBB: NEXT

IF BB = KOTAE THEN COLOR IRO2

PRINT BB; : COLOR 7

AA = BB

WEND: PRINT

T$ = TIME$: WHILE T$ = TIME$: WEND

END IF

J3 = J3 - 1

WEND

J2 = J2 - 1

WEND

J1 = J1 - 1

WEND: WHILE INKEY$ <> "": WEND: END


<水の流れ:コメント>(H11年5月3日)
規則性の発見問題(7641)解答

 この数字ですが、6174と言いまして、カプリカ数<インドの数学者カプリカが発見> と言います
また、ご指摘のように、

「1」2桁の場合、54→90→81→63→72→54 のループに入る
「2」3桁の場合、495 になります。最大6回で到着します。<証明は可能です>

「3」4桁の場合、6174(7641)になります。

「4」5桁の場合、次の3つのどれかの巡回になります。

  1. 97731→98532→97443→96642→97731
  2. 97533→96543→97641→98622→97533
  3. 99954→95553→99954

   <参考文献:秋山仁の数学渡世(朝日新聞社)>

 上の本の中にある問題を参考にして作りました。 

皆さん!!  どしどし解答を送ってください。
自宅:mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

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