平成１０年１２月８日

＜解説＞このバスケットボ−ルも問題は、トリボナッチ数列になります。

１点＝１・・・・（１通り）

２点＝１＋１、２・・・（２通り）

３点＝１＋１＋１，１＋２、２＋１，３・・・（４通り）

４点の場合は１点からの３ポイント、２点からの２ポイント、３点からの１ポイント

の加算があります。これを順に考えて、この数列をＴ(ｎ)とおくと、

Ｔ(１)＝１，Ｔ(２)＝２，Ｔ(３)＝４，Ｔ(４)＝Ｔ(１)＝＋Ｔ(２)＋Ｔ(３)＝７

同様に、計算していくと、

｛Ｔ(ｎ)｝；１，２，４，７，１３，２４，４４，８１，１４９，２７４，５０４，

９２７，１７０５，３１３６、５７６８，・・・

したがって、

問１ Ｔ(１０)＝ ２７４

問２ Ｔ(１５)＝ ５７６８

問３ Ｔ（ｎ）＝Ｔ（ｎ−１）＋Ｔ（ｎ−２）＋Ｔ（ｎ−３）

（ただし、ｎ≧４の整数）

＜駒の動き方＞

下の図のような碁盤のますの中に、最初一番左下に駒があり、

その座標（０，０）です。この駒は右、上、斜め上と３通りの方法で１ますづつ

動くことができます。

図の一番右上のますの座標（ｍ、ｎ）までたどり着く経路は何とおりですか。

問１．一番右上のますの座標が（５、５）のときの経路は何通りですか。

０ １ ２ ３ ４ ５

問２．一番右上のますの座標が（６、４）のときの経路は何通りですか。

０ １ ２ ３ ４ ５ ６

問３．一番右上のますの座標が（ｍ、ｎ）のときの経路は何通りですか。

＜解説＞

座標（ｍ，ｎ）までたどり着く経路の総数をＳ（ｍ，ｎ）とすると、

Ｓ（０，０）＝１，Ｓ（−１，ｎ）＝Ｓ（ｎ，−１）＝０ で

漸化式Ｓ（ｍ，ｎ）＝Ｓ（ｍ，ｎ−１）＋Ｓ（ｍ−１，ｎ−１）＋Ｓ（ｍ−１，ｎ）

が成り立ちます。それに従って計算して、図の中に示します。

駒が斜め上（ ）にｒだけ移動して座標（ｍ，ｎ）に着いたとすると、右（ ）には（ｍ−ｒ）だけ、

上（ ）には（ｎ−ｒ）だけ移動していることに なる。したがって、

（ ）をｒ個、（ ）を（ｍ−ｒ）個、上（ ）を（ｎ−ｒ）個を並べる組み合わせの数がから、

（ｍ＋ｎ−ｒ）！÷ｒ！(ｍ−ｒ)！(ｎ−ｒ)！ になります。

次に、 を選ぶ方法は ０≦ｒ≦ Ｍｉｎ(ｍ，ｎ) ですから、総数Ｓ（ｍ，ｎ）は

Σ（ｒ＝０・・・ｒ＝ Ｍｉｎ(ｍ，ｎ)）（ｍ＋ｎ−ｒ）！÷ｒ！(ｍ−ｒ)！(ｎ−ｒ)！ （答）

（ただし、Ｍｉｎ(ｍ，ｎ)はｍ、ｎのうちで大きくない方を表すものとする）

問１で調べてみます。

よって、２５２＋６３０＋５６０＋２１０＋３０＋１＝１６８３ （答）

よって、２１０＋５０４＋４２０＋１４０＋１５＝１２８９ （答）

＜研究＞

座標（ｍ，ｎ）までたどり着く経路の総数Ｓ（ｍ，ｎ）の値を三角形状に並べてみます。、

図のように斜めに足していくと、トリボナッチ数列 Ｔ（ｎ）を得ることができます。

Ｔ（１）＝１

Ｔ（２）＝１＋１＝２

Ｔ（３）＝１＋３＝４

Ｔ（４）＝１＋５＋１＝７

Ｔ（５）＝１＋７＋５＝１３

Ｔ（６）＝１＋９＋１３＋１＝２４

Ｔ（７）＝１＋１１＋２５＋７＝４４

Ｔ（８）＝１＋１３＋４１＋２５＋１＝８１

・・・・・・・・

また、この数列は次のような大相撲の星取り表の中にもでてきます。

大相撲の本場所で、３連敗しない方法（２連敗まで許される）勝ち負けの起こり方は

１，２，３，４，・・・、１５日目ではどんな数列になるでしょう。皆さん、考えて ください。