平成１４年８月１０日
[流れ星]
第10２回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：７月２１日～８月１０日＞
［定積分］
太郎さんは、この夏補習で「数学Ⅲの入試問題」を解説する予定です。次の２問を考えてください。
Ｎｏ１「Ｈ７Ｋ」さん 7/21：14時51分受信 更新8/10
問題１
以後，int^a_b 1/sqrt{k}dk=s(a,b)とおく．
1/sqrt(x)は単調減少なので，
s(0,100)>1+s(1,100)>S>s(1,101) (s(0,1)=2なので)
s(1,100)=20-2=18,s(1,101)=2sqrt{101}-2,10.5>sqrt{101}>10より
19=1+s(1,100)>S>s(1,101)>18
よって，S=18.//
問題２
ＮＯ２「kashiwagi」さん 7/21：21時57分受信 更新8/10
第102解答
問1.
求めるものは(1/√１)＋(1/√2)＋(1/√3)＋―――――――――――＋(1/√100)の整数部分であるが、この値はＹ＝1/√Ｘという関数のＸ＝1～100までの区間を1の幅で区切った区分求積に他ならない。即ち、Ｙ＝1/√Ｘ、Ｘ＝1、Ｘ＝100及びＹ＝0で囲まれる面積である。因って積分すると、
∫1001(1/√Ｘ)ｄＸ＝18となる。これより求める整数の値は18である。
問2.
まず1＋eｘ＝Xと置換するとｘ＝log(X－1)、ｄｘ＝ｄX/(X－1)、X＝(e+1)/e～e+1であるから、求めるものをIと置くと
I=∫e+1(e+1)/e(log(X－1))２/X(X－1)ｄＸ
部分分数に直し計算すると、
＝2/3－∫e+1(e+1)/e(log(X－1))２/XｄＸ
ここで再度置換する、t＝log(X－1)、eｔdt＝ｄｘ、ｔ＝－1～1
＝2/3－I－∫1－1 (eｔ－1)/(eｔ＋1)dt
ところで 関数(eｔ－1)/(eｔ＋1)は奇関数であるから－1～1まで積分するとゼロとなる。因って求める値は2I=2/3より、I＝1/3である。
ＮＯ３「中川」さん
7/22：01時11分受信 更新8/10
ＮＯ４「BossF」さん 7/24：18時30分受信 更新8/10
お久しぶりです.
こちらは夏本番ですが、いかがお過ごしですか？
[解]
区間[a,b]における定積分を∫(a,b)f(x)dx とし
F(b)-F(a)を、[F(x)](a,b) と表すことにします。
(1)
T=∫(0,100)1/√(x+1)dx (=∫(1,101)1/√xdx)
U=1+∫(1,100)1/√xdx
とおくと、グラフより明らかに T<S<U です。
ところが
T=[2√x](1,101)=20.…-2=18.…
U=1+[2√x](0,100)=1+20-2=19
ですから、Sの整数部分は 18 ■
(2)
まず、一般に 1/(1+x)+1/{1+(1/x)}=1 …①であることに注意します。
与式=∫(-1,0) ｘ２/(1+ex )dx+∫(0,1)
ｘ２/(1+ex )dx
=∫(1,0) (-t)２/(1+e(-t) )d(-t)+∫(0,1) ｘ２/(1+ex
)dx
=∫(0,1) {x２/(1+e-x )+ ｘ２/(1+ex )}dx
=∫(0,1) x２dx （∵①）
=1/3 …答
Ｎｏ５「ｽﾓｰｸﾏﾝ」さん 7/28：10時29分受信 更新8/10
求める値をＳとすると、図形的には、
Ｓ-1＜∫2√ｘdx=18：(1～100までの積分）
18＜∫2√ｘｄx：（1～101までの積分）＜Ｓ
以上より、18＜Ｓ＜19 から、18であるとわかった！
