平成１４年９月３０日
[流れ星]
第10５回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：９月１６日～９月３０日＞
［等差数列］
＊ 太郎さんは、子供から、次のような問題をもらいました。
ｐ、ｑ（０＜ｐ＜ｑ）を互いに素である自然数とする。
有限個の正の数からなる等差数列で、その項として、１／ｐ、２／（ｐ＋ｑ）、１／ｑ を含むものを考える。
そのような数列の中で、和が最小となるものについて、その数列の公差を、ｐ、ｑで表せ。
そこで、太郎さんは、最初、P＝３，ｑ＝５として具体的な数字で考えました。次に、一般の場合を考えてください。
ただし、公差は負の数としておきます。
＜水の流れ：一部訂正をし、９月１６日午後７時に修正しました。＞
ＮＯ１「H7K」さん
9/16：20時16分 受信 更新9/30
和がもっとも小さくなるのは、a最小，d最大のときである．
等差数列に1/p,2/(p+q),1/qがあることから
xd=2/(p+q)-1/p={2pq-q(p+q)}/pq(p+q)=(pq-q^2)/pq(p+q)=q(p-q)/pq(p+q)
yd=1/q-2/(p+q)={p(p+q)-2pq}/pq(p+q)=(p^2-pq)/pq(p+q)=p(p-q)/pq(p+q)
とかけるので(x,y∈N+)
最大のdは-(q-p)/pq(p+q)*alphaと表せる．(alpha∈N+)
ここで，x*alpha=q,y*alpha=pが成立するが、
gcd(p,q)=1より，(alpha,x,y)=(1,q,p)しかありえない．
∴d_max=-(q-p)/pq(p+q)
ＮＯ2「Kashiwagi」さん 9/17：21時44分 受信 更新9/30
＜水の流れ：コメント＞「Kashiwagi」さんは、一部訂正の前の問題を読まれて解かれていました。
今回、問題の途中での変更は失礼しました。お許しください。
子供からもらったとき、条件がついていましたが、解いていく中でその必要性を忘れていまして、更新をしました。
夕食前に ことの重大性に気がつき 修正しましたし、順序よく、並べてた方がいいのではないかと 思い公差を負に変えてしまいました。
これが、私の心の動きでした。いち早く 見ておられた「Kashiwagi」様には 大変申し訳ありませんでした。
ＮＯ3「浜田」さん
9/18：10時43分 受信 更新9/30
１／ｐ－２／(ｐ＋ｑ)＝{(ｐ＋ｑ)－２ｐ}／{ｐ(ｐ＋ｑ)}
＝(ｑ－ｐ)／{ｐ(ｐ＋ｑ)}＞０（∵ｑ＞ｐ＞０）
２／(ｐ＋ｑ)－１／ｑ＝{２ｑ－(ｐ＋ｑ)}／{(ｐ＋ｑ)ｑ}
＝(ｑ－ｐ)／{(ｐ＋ｑ)ｑ}＞０（∵ｑ＞ｐ＞０）
∴１／ｐ＞２／(ｐ＋ｑ)＞１／ｑ………(1)
この３数がこの順で等差数列をなすとすると，公差は，
２／(ｐ＋ｑ)－１／ｐ＝１／ｑ－２／(ｐ＋ｑ)
∴１／ｐ＋１／ｑ＝４／(ｐ＋ｑ)
∴(ｐ＋ｑ)／(ｐｑ)＝４／(ｐ＋ｑ)
∴(ｐ＋ｑ)^2＝４ｐｑ
∴(ｐ－ｑ)^2＝０
これは，ｐ≠ｑであることに矛盾する．
∴１／ｐ－２／(ｐ＋ｑ)≠２／(ｐ＋ｑ)－１／ｑ………(2)
故に１／ｐと２／(ｐ＋ｑ)，２／(ｐ＋ｑ)と１／ｑの間には，異なる項数の項が入る．
１／ｐと２／(ｐ＋ｑ)の間に(ｍ－１)項，２／(ｐ＋ｑ)と１／ｑの間に(ｎ－１)項入るとする（ｍ≠ｎ，ｍ≧２，ｎ≧２）．公差をｄ（＜０）とすると，
ｍｄ＝２／(ｐ＋ｑ)－１／ｐ＝(ｐ－ｑ)／{ｐ(ｐ＋ｑ)}………(3)
ｎｄ＝１／ｑ－２／(ｐ＋ｑ)＝(ｐ－ｑ)／{ｑ(ｐ＋ｑ)}………(4)
∴ｍｄ：ｎｄ＝(ｐ－ｑ)／{ｐ(ｐ＋ｑ)}：(ｐ－ｑ)／{ｑ(ｐ＋ｑ)}
∴ｍ：ｎ＝ｑ：ｐ
ｐ≠ｑなので，ｍ≠ｎを満たしている．
和が最小となるのだから，ｍ，ｎが最小になればよい（※）．ｐ，ｑは互いに素なので，
ｍ＝ｑ，ｎ＝ｐ
(3)から，ｄ＝(ｐ－ｑ)／{ｍｐ(ｐ＋ｑ)}＝(ｐ－ｑ)／{ｐｑ(ｐ＋ｑ)}
これはｄ＜０を満たしているので，答である．
補題（※）の証明
ａ，ｂの間に(ｎ－２)個の数が入り，その順に等差数列をなすとする．ただしａ＞ｂ＞０．このときその和は，
Ｓ(ｎ)＝ｎ(ａ＋ｂ)／２
またａ，ｂの間に(ｎ－１)個の数が入り，その順に等差数列をなすとする．その和は， Ｓ(ｎ＋１)＝(ｎ＋１)(ａ＋ｂ)／２＞Ｓ(ｎ)（∵ａ＋ｂ＞０，ｎ＞０）
故に項数が少ない方が和が小さい．
ＮＯ4「BossF(^o^)」さん 9/18：19時46分 受信 更新9/30
[解]
まず、有理等差数列の公差は有理数である…①ことに注意します。
次に、1/p,2/(p+q),1/q の大小を考えます
1/p-2/(p+q)=(q-p)/{p(p+q)}＞0
同様にして容易に
2/(p+q)-1/q＞0
すなわち
1/p＞2/(p+q)＞1/q…②
すると、和が最小となるものを考えるのですから
初項=1/p 末項=1/q なる数列で、項数が最も少ないを考えれば十分です。…③
さて、②を通分しますと
{q(p+q)}/{pq(p+q)}＞(2pq)/{pq(p+q)}＞{p(p+q)}/{pq(p+q)} ですから
1/p,2/(p+q),1/q が(この順に)等差数列の項をなす
⇔q(p+q),2pq,p(p+q) が等差数列の項をなす…④
④の時、その公差d は①③より整数とできます。
さらに、
q(p+q)-2pq=q(q-p) 2pq-p(p+q)=p(q-p)
から、
ldl は、q(q-p)、p(q-p) の公約数であり
項数を最小にするためにはGCMであることが必要です
すなわち ldl=q-p
すると、項数は {q(p+q)-p(p+q)}/ldl=p+q より p+q+1項
以上より最小なる和は
(1/p+1/q)(p+q+1)/2 …答
ＮＯ5「VILL」さん 9/19：23時46分 受信 更新9/30
ｐ＝３，ｑ＝５のとき，考える３つの数は，
１／３，１／４，１／５
です。問題から，初項１／３，末項１／５の等差数列を考えます。
次に公差です。
１／４－１／３＝－１／１２＝－５／６０
１／５－１／４＝－１／２０＝－３／６０
ですから，分子が互いに素なので，公差は，
－１／６０ｎ (ｎは自然数)
とおけます。このときの等差数列の個数は，
(１／５－１／３)÷(－１／６０ｎ)＋１＝８ｎ＋１
ですから，和は，
(８ｎ＋１)／２×(１／３＋１／５)＝４／１５×(８ｎ＋１)
となります。これが最小となるのはｎ＝１のときですので，
求める公差は－１／６０です。
次に一般に考えます。まず，考える等差数列は，
１／ｐ－２／(ｐ＋ｑ)＝(ｑ－ｐ)／ｐ(ｐ＋ｑ)＝ｑ(ｑ－ｐ)／ｐｑ(ｐ＋ｑ)＞０
(∵ｐ＜ｑ)
２／(ｐ＋ｑ)－１／ｑ＝(ｑ－ｐ)／ｑ(ｐ＋ｑ)＝ｐ(ｑ－ｐ)／ｐｑ(ｐ＋ｑ)＞０
(同上)
より，初項は１／ｐ，末項は１／ｑです。
次に公差ですが，上の２つの式から，ｐとｑが互いに素なので，
－(ｑ－ｐ)／ｐｑ(ｐ＋ｑ)ｎ (ｎは自然数)
とおけます。このときの等差数列の個数は，
(１／ｑ－１／ｐ)÷(－(ｑ－ｐ)／ｐｑ(ｐ＋ｑ)ｎ )＋１＝(ｐ＋ｑ)ｎ＋１
ですので，和は，
((ｐ＋ｑ)ｎ＋１)／２×(１／ｑ＋１／ｐ)＝(ｐ＋ｑ)／２ｐｑ×((ｐ＋ｑ)ｎ＋１)
となります。これが最小となるのはｎ＝１のときですので，
求める公差は－(ｑ－ｐ)／ｐｑ(ｐ＋ｑ)です。
ＮＯ6「Kashiwagi」さん 9/20：08時14分 受信 更新9/30
ＮＯ7「ベクトル ハラ」さん
9/26：14時24分 受信 更新9/30
ベクトル ハラ
０＜ｐ＜ｑであり、公差が負の数なので、１／ｐ、2／(p＋q)、１／ｑの各項は、この順で現れる。
2／(ｐ＋q)が1／ｐのｍ個あとに、1／ｑが2／(ｐ＋ｑ)のn個あとに現れるとすると、
この等差数列の公差をｄとして
2／(p＋ｑ)＝1／p +md , 1／q＝2／(p＋q) +nd
という関係になる。
この２式を変形すると
md＝(p－q)／p(p＋q) , nd＝(p－q)／q(p＋q) より
ｍとｎの比は、
m／n＝ｑ／ｐと表される。
ｍ，nは自然数であり、p，qは互いに素な自然数なので，
ｋをある自然数として
m＝qk , n＝pkである。
このとき公差ｄは、
d＝(p－q)／pq(p＋q)k である。
よって、1／pがこの数列の第i項であるときに、この数列の第j項は、
1／p + (j－i)d である。
なお、このとき1／qは第(i+m+n)項である。
この数列の和を、i-1番目以前の項と、(i+ｍ+ｎ+1)番目以降の項の和Sと
第i項から第(i+m+n)項までの和で表すと、m＝qk , n＝pkを代入して、
S+ (p+q){1+k(p+q)}／2pq となる。
この数列の各項は正の数なので、i-1番目以前の項と(i+ｍ+ｎ+1)番目以降の項が存在する場合にはS＞0となり、
kは自然数であることから、この数列の和を最小にするのは、i＝1かつ、ｋ＝1の場合である。
よって、この数列の公差ｄは(p－q)／pq(p＋q)である。
