平成１４年１０月２０日
[流れ星]
第10６回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１０月１日～１０月２０日＞
［ベキ乗の和］
＊ 太郎さんは、過去の入試問題を眺めていたところ、岐阜大学にでていた次の問題を発見しました。皆さん、チャレンジください。
ＮＯ１「中川」さん 9/30: 03時45分 受信 更新10/20
ＮＯ２「H7K」さん 9/30: 22時06分 受信 更新10/20
n^(k+下線)をn**kと書くことにします．
(1)delta(n**k)=(n+1)**k-n**k=(n+1)n(n-1)...(n-k+2)-n(n-1)...(n-k+1)
=k*n(n-1)...(n-k+2)=k*n**(k-1).//
(2)
S(delta f)(n)=f(n)-f(0)となるのは，ある意味明らか．
( S(delta f)(n)=sum(i=0 to n-1)(delta f)(i)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+...-f(1)+f(1)-f(0)=f(n)-f(0).
)
これを用いると，
S((k+1)n**k)=S(delta (n**(k+1)))=n**(k+1)-0**(k+1)=n**(k+1).
両辺をk+1で割り，題意の式が導かれる．//
(3)
n**3+3*n**2+n**1=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n=n(n-1)(n+1)+n=n(n^2-1)+n=n^3.
よって
sum(i=0 to n)i^3=sum(i=0 to
n)i**3+3*sum(i=0 to n)i**2+sum(i=0 to n)i**1
=S(n**3)+3S(n**2)+S(n**1)
=1/4*n**4+n**3+1/2*n**2
=1/4(n(n-1)(n-2)(n-3)+4n(n-1)(n-2)+2n(n-1) )
=1/4(n(n-1)(n^2-n-2)+2n(n-1))
=1/4(n(n-1)(n^2-n))
＜水の流れ：コメント＞=でも、=(n(n＋1)/2)^2. にならないかな。(n(n-1)/2)^2.//
(4) 同様に
sum(i=0 to n)i^4=S(n**4)+6S(n**3)+7S(n**2)+S(n**1)
=1/5*n**5+3/2*n**4+7/3*n**3+1/2*n**2
=1/30*(6n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+45n(n-1)(n-2)(n-3)+70n(n-1)(n-2)+15n(n-1))
=1/30*(3n(n-1)(n-2)(n-3)(2n+7)+70n(n-1)(n-2)+15n(n-1))
=1/30*(n(n-1)(n-2)(6n^2+3n+7)+15n(n-1))
=1/30*n(n-1)(6n^3-9n^2+n+1)
=1/30*n(n-1)(2n-1)(3n^2-3n-1).//
第二種スターリング数とかがおもいっきり使えますよね....
＜水の流れ：コメント＞でもに =1/30*n(n＋1)(2n＋1)(3n^2＋3nー1) ならないかな。
第二種スターリング数とは、よく知っていましたね。私が大好きな数列です。どこかの大学入試にまた出てこないかな。
ＮＯ２「H7K」さん 9/30: 23時50分 受信 更新10/20
あ，なんだ，sum(i=0 to n-1)i^3とかを求めていたんじゃないか．あーあ，...
S(f(n))がn-1までなのを途中で忘れていたようです．
そうすると，ご指摘のとおりになりますね．
申し訳ありません．
ＮＯ３「jun」さんリンク解答
ＮＯ４「Kashiwagi」さん10/06:16時56分 受信 更新10/20
ＮＯ５「15KARTSOUL」さん10/11:11時17分 受信 更新10/20
解答ですが，ｎ＾(ｋのアンダーライン)を ｎ＾{ｋ}と表現させていただきます。では。
(1)ｋ≧２のとき，
Δｎ＾{ｋ}＝(ｎ＋１)＾{ｋ}－ｎ＾{ｋ}
＝(ｎ＋１)ｎ(ｎ－１)・…・(ｎ＋１－ｋ＋１)
－ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)・…・(ｎ－ｋ＋２)(ｎ－ｋ＋１)
＝ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)・…・(ｎ－ｋ＋２)(ｎ＋１－(ｎ－ｋ＋１))
＝ｋｎ(ｎ－１)(ｎ－２)・…・(ｎ－(ｋ－１)＋1)
＝ｋｎ＾{ｋ－１}
(2)ｎ≧１のとき，
ｎ－１ ｎ－１
Ｓ(Δｆ)(ｎ)＝ΣΔｆ(ｉ)＝Σ(ｆ(ｉ＋１)－ｆ(ｉ))
ｉ＝０ ｉ＝０
＝ｆ(１)－ｆ(０)＋ｆ(２)－ｆ(１)＋ｆ(３)－ｆ(２)＋…＋ｆ(ｎ)－ｆ
(ｎ－１)
＝ｆ(ｎ)－ｆ(０)…◎
また，ｎ＝０のとき，
左辺＝Ｓ(Δｆ)(０)＝０，右辺＝ｆ(０)－ｆ(０)＝０
より，成立。
また，ｎ≧１のとき，
ｎ－１
Ｓ(ｎ＾{ｋ})＝Σ ｉ＾{ｋ}…①
ｉ＝０
ところで，(1)の結果より，
Δｎ＾{ｋ＋１}＝(ｋ＋１)ｎ＾{ｋ}
ｎ＾{ｋ}＝Δｎ＾{ｋ＋１}／(ｋ＋１)
これより，ｎ≧１のとき，
ｎ－１ ｎ－１
①＝Σ (Δｉ＾{ｋ＋１}／(ｋ＋１))＝(Σ (Δi＾{ｋ＋１}))／(ｋ＋１)
ｉ＝０ ｉ＝０
＝(Ｓ(ｎ＾{ｋ＋１}))／(ｋ＋１)
＝(ｎ＾{ｋ＋１}－０＾{ｋ＋１})／(ｋ＋１) (◎より)
＝(ｎ＾{ｋ＋１})／(ｋ＋１)
ｎ＝０のとき，
左辺＝Ｓ(０＾{ｋ})＝０，右辺＝(０＾{ｋ＋１})／(ｋ＋１)＝０
より成立。
(3)右辺＝ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)＋３ｎ(ｎ－１)＋ｎ
＝ｎ(ｎ＾２－３ｎ＋２＋３ｎ－３＋１)
＝ｎ＾３＝左辺
次に，
ｎ ｎ
Σ ｉ＾３＝Σ (ｉ＾{３}＋３ｉ＾{２}＋ｉ＾{１})
ｉ＝０ ｉ＝０
ｎ ｎ ｎ
＝Σ (ｉ＾{３})＋Σ(３ｉ＾{２})＋Σ(ｉ＾{１})
ｉ＝０ ｉ＝０ ｉ＝０
＝Ｓ((ｎ＋１)＾{３})＋３Ｓ((ｎ＋１)＾{２})＋Ｓ((ｎ＋１)＾{１})
＝((ｎ＋１)＾{４})／４＋(ｎ＋１)＾{３}＋((ｎ＋１)＾{３})／２
＝((ｎ＋１)＾{２})／４×((ｎ－１)(ｎ－２)＋４(ｎ－１)＋２))
＝(ｎ(ｎ＋１))／４×(ｎ＾２－３ｎ＋２＋４ｎ－４＋２)
＝(ｎ(ｎ＋１))／４×ｎ(ｎ＋１)
＝(ｎ(ｎ＋１))＾２／４
(4)ｎ＾４＝ｎ＾{４}＋６ｎ＾{３}＋７ｎ＾{２}＋ｎ＾{１}より，
(3)と同様に計算すると，
ｎ
Σ ｉ＾４＝Ｓ((ｎ＋１)＾４)
ｉ＝０
＝Ｓ(ｎ＾{４})＋６Ｓ(ｎ＾{３})＋７Ｓ(ｎ＾{２})＋Ｓ(ｎ＾{１})
＝((ｎ＋１)＾{５})／５＋(３(ｎ＋１)＾{３})／２＋(７(ｎ＋１)＾{３})
／３＋((ｎ＋１)＾２)／２
＝((ｎ＋１)＾{２})／３０×(６(ｎ－１)＾{３}＋４５(ｎ－１)＾{２}＋７
０(ｎ－１)＾{１}＋１５)
＝(ｎ(ｎ＋１))／３０×(６ｎ＾３＋９ｎ＾２＋ｎ－１)
＝(ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)(３ｎ＾２＋３ｎ－１))／３０
う～ん，我ながら不親切な解答です。 今回はこの辺でご勘弁を。
