平成１５年１月１日
[流れ星]
第１１１回数学的な応募問題
＜解答募集期間：１月１日〜１月１５日＞
［tanのｎ倍角］
＊ 太郎さんは、先日生徒から、「三角関数のsin3θをsinθ、 cos3θ
をcosθ で表す３倍角の公式があるのに、tan3θを
tanθで表す公式はないのですか。あれば、教えてください。」という質問を受けました。そのときは、私の見たことがないから、「必要なら、自分で作ったら。」。と言っておきました。このことを、問題にします。tanθ＝ｔ とおくとき、次の設問に答えてください。
（１）tan2θをｔで表せ。（これは公式ですから、結果だけでいいです。）
（２）tan3θをｔで表せ。
（３）tan4θをｔで表せ。
（４）tan5θをｔで表せ。
（５）今までの答えから、類推して、tanｎθをｎとｔで表せ。
（６）（５）の予想が正しいことを数学的帰納法で示してください。
追加（７）実はこの計算をしていたら、分母、分子の係数が有名な数列になっていることに気がつきました。必然性があるのでしょうか。
疑問に思っています。どなたか 教えてください。
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
