平成１５年２月１日
[流れ星]
第１１２回数学的な応募解答
＜解答募集期間：１月１６日〜１月３１日＞
［カバリエリの原理］
太郎さんは、先日生徒に、カバリエリの原理「２つの平行な面のあいだにはさまれた２つの図形であって、それに平行な平面で切った切り口の面積がいつでも等しければ、両方の体積は等しい」ことを説明し、「この考えは面積にも利用できるぞー」と話しました。ここで、次の問題を考えてください。
ＮＯ１「H7K」さん 1/14: 22時47分 受信 更新2/1
1.
kとCとの交点をP1,P2とし，Oを通りP1P2と垂直な線をlとし，足をHとする．
すると，SはOHが小さければ小さいほど大きいことになるので，Sが最小となるとき，
OHは最大値を取る．
さて，A,H∈l，OH?lより，OA>=OH.
よって，OH=OA=2のとき，S最大．
S=4*4*pi/3-2*2*sqr(3)=4(4/3*pi-sqr(3)).
2.
カバリエリの原理より，T=(3/4)S=3(4/3*pi-sqr(3)).
ＮＯ２「ｽﾓｰｸﾏﾝ」さん 1/16：
00時30分 受信 更新2/1
１）原点OとAを結んだ直線と垂直になる線を考えると、
点Aで、その線を傾けると、もとの形との面積の増減は、明ら
かに、どちらに傾けても、増加する。原点以外だとそうなるの
は明らか。）
計算したら、16/3*π-４√3 となります。
2）4/3 でなく、3/4 なら、最初の円をY軸に3/4倍するだけ
のことだから、上の答えの3/4倍とすぐ分かるのですが・・・
ＮＯ３「toru」さん
1/10: 12時19分 受信 更新2/1
第１１２回解答
１）Ｏからkへの距離が最大の時、求める面積は最小になる。Oからkへ降ろした垂線
の足をPとすると三角形OAPはAとPが重ならなければ直角三角形でＯＡが斜辺なのでOA
＞ＯＰ、すなわちＡとPが重なる時、つまりOAとkが直交する時、題意をみたす。OA＝
２だから、求める面積は１２０°の扇型から三角形を引いて、1/3 x 4 x 4 x π-
1/2 x 4 x 4 x sin120°=16π／3 ―4√3
２）問題のながれから、おそらくB（√3,4/3）はミスプリントであろうと判断し、勝
手ながら、B（√3, 3/4）として、計算しました。図２でx軸を固定して、y軸方向に
４／３倍に引きのばすと図１のように、だ円は円になり、ＢはＡに移動する。この
時y軸に平行な直線で求める図形を切った線分の長さもあらゆるxに対して４／３倍に
なっているので面積も４／３倍になると考えられる。よって引きのばした先が、１）
で求めた図形になる時が、もとの図形も最小ということで、その面積は（16π／3
―4√3）x 3/4=4π―3√3
ＮＯ４「Kashiwagi」さん 1/21: 08時17分 受信 更新2/1
第112回解答
問１.
題意より点Aを通り、各々X軸、Y軸に平行な線を引くと、夫々が円Cと２点で交わる。その長さは2√15と2√13となる。
円を切断する直線の長さが短ければ短い程この直線と円Cで囲まれた小さい方の面積Sは小さくなる。
そこで、2√13より短いものが存在するか否かを検討すれば良い。
ところで、点OとAの距離は2であり、Aを通るX軸に平行な直線(円Cとの交点をB,Dとする)と30度の角をなしている。
そこで、この直線の勾配を変化させ、円Cを切断するながさを考えれば良い。
今、切断直線と円Cの交点をE、Fとすると、△OEFは斜辺の長さが4の二等辺三角形である。
因って、底辺の長さが最短となるのは点Oからの垂直線の長さが最大になるときである。
そこで∠BAEをθとすると、この垂線の長さは2sin(θ＋30°)となる。この値が最大になるのは明らかにθが60°のときである。
即ち、2となる。これより、切断線の長さは2√3×2＝2√12であり明らかに最小値である。
以上より、求めるSは半径4で中心角120°の扇形から△OEFの面積を引いたものであるので、
S=（16π／3）−4√3 となる。
問2.
楕円Ｄは円ＣをＹ軸方向に3／4倍したものであり、点Ｂも点ＡをＹ軸方向に3／4倍したものである。
因って、ガバリエリの定理より求める最小面積Ｔは円Ｃで求めたＳの3／4倍であり、
Ｔ＝4π−3√3 となる。
＜水の流れ：お詫びのコメント＞
『２）問題のながれから、おそらくB（√3,4/3）はミスプリントであろうと判断し、勝手ながら、B（√3, 3/4）として、計算しました。』全くその通りです。早速解答を寄せていただいた、「Ｈ７Ｋ」さん「スモークマン」さん並びに「Toru」さんにはお詫びします。これからのよろしくお願いします。
ＮＯ５「三角定規」さん 1/28: 22時53分 受信 更新2/1
ＮＯ６「BossF（＾０＾）」さん 1/30: 02時02分 受信 更新2/1
おそまきながら、あけまして、おめでとうございます。
何かと多忙でご無沙汰してました(^^;;
＜水の流れ：コメント＞ 楕円の面積も積分を使わずに解けるのが,ねらい目でした。
ＮＯ７「中川幸一」さん 1/30: 02時02分 受信 更新2/1
