平成１１年７月２６日
[流れ星]
第２３回数学的な応募問題解説
＜解答募集期間：７月１９日〜７月３１日＞
［スターウォーズグッズ（２）］
太郎さんは、子供のとき、おまけほしさによく買いにいきました。そこで、問題です
＜浜田 明巳＞さんからの解答７月２６日受信
第２３回数学的な応募問題（スターウォーズグッズ）解答
いつものようにパソコンのプログラムで答を出してみました．これは水野さんの意図した答ではない，と重々思ってはいるのですが，これこそが私らしい解答である，という信念を貫かせて頂きます．申し訳有りません．２タイプのおまけがｎ種類ごとにありますので，おまけに１から２ｎの数字を対応させます．１からｎまでをＡタイプ，ｎ＋１から２ｎまでをＢタイプとします．パソコンの乱数関数により，１から２ｎの数字を出し，出るおまけを決めます．Ａタイプ，またはＢタイプのいずれかがそろった時点で１回の試行が終わります．この試行をｎ＝１から６６（＝３×２２）まで行い，１セットの試行が終わります．この試行を１００００（＝最大）セット繰り返し，それぞれの期待値を求めます．
今回は，ＵＢＡＳＩＣでプログラムを作ってみました．ＵＢＡＳＩＣは，最近ではインターネットから無料でダウンロード出来るようになっています．このプログラムにより，答は以下のようになりました．
ＰＳ．「グッツ」ではなく「グッズ（goods）」ではないでしょうか？
おまけを集めるマニアでしたら，ＡタイプまたはＢタイプのいずれかが集まっただけでは満足しないと思います．やはりあるだけすべてを集めないと．したがってこの問題はあまり現実的ではないような気がします．しかし数学の問題としては，こちらの方が面白いですね．
＜水の流れ：コメント＞ 言葉の間違いありがとうございました。思慮不足でした。感謝します。ちょっと気になります結果が。私の計算とは若干違っているのです。今日の課題とします。
＜水の流れ：コメント＞ 前回の分をはずして、今回の分を載せます。７月３１日記
＜浜田 明巳＞さんからの解答７月３１日受信
第２３回数学的な応募問題（スターウォーズグッツ）解答その２
水野さんの指摘の箇所を検証してみました．はずかしい限りです．申し訳有りません．プログラムのちょっとしたところをミスしていました．バグ取りをしたプログラムを改めて投稿して，そのデータを掲載させて下さい．考えてみれば，ｎ＝３のとき，平均が６回以下ということはないですよね．どうぞ訂正しておいて下さい．
10 'asave
"mondai23.ub"
20 randomize
val(right(time,2)):cls 3:console 0,25,0
30 最大=10000:行=22:列=int(80/3):試行回数=0
40 ｎ=3*行:dim 個数(2*ｎ),和(1),本数(ｎ):for J=1 to ｎ:本数(J)=0:next
50 while 試行回数<最大
and inkey="":試行回数+=1
60 for J=1 to ｎ
70 for JJ=0 to 1:和(JJ)=0:next
80 for JJ=1 to 2*J:個数(JJ)=0:next:回数=0
90 while 和(0)<J and 和(1)<J:回数+=1
100 グッズ=int(2*J*rnd)+1
110 if 個数(グッズ)=0
then 和((グッズ>J))+=1:個数(グッズ)=1
120 wend
130 本数(J)+=回数
140 next
150 locate 0,0:print "試行回数=";:print using(7,0),試行回数
160 for J=0 to 2:for JJ=行*J+1 to 行*J+int(ｎ/3):locate 列*J,JJ-行*J
170 print "Ｅ(ｎ=";:print
using(3,0),JJ;
180 print
")=";:print using(6,3),本数(JJ)/試行回数
190 next:next
200 wend:while
inkey<>"":wend
210 if 試行回数<最大
then end
220 open
"mondai23.dat" for output as #1
230 print #1,最大:for J=1 to ｎ:print #1,J,本数(J)/最大:next:close:end
試行回数= 10000
n=1 （1.0） n=2
（3.6703） n=3 （7.3026） n=4 （11.6461） n=5（16.341） n=6（21.6493）
n=7（27.2643）n=8(32.8045)
n=9 (38.8625) n=10(45.2246) n=11 (51.6434) n=12(58.5114)
n=13 (65.285) n=14(72.3224)
n=15(79.3072) n=16 (86.7579) n=17 (93.8017) n=18 (101.2137)
n=19 (108.901) n=20
(117.389) n=21 (124.155) n=22 (132.38) n=23 (140.344) n=24 (148.259)
n=25 (156.685) n=26
(165.019) n=27 (173.237) n=28 (181.106) n=29 (189.923) n=30(198.100)
n=31 (206.311) n=32
(216.105) n=33 (224.119) n=34 (232.966) n=35 (241.005) n=36 (251.044)
n=37 (259.180) n=38
(269.055) n=39 (278.446) n=40 (287.742) n=41 (295.978) n=42 (305.048)
n=43 (314.059) n=44
(324.546) n=45 (333.218) n=46 (342.889) n=47 (351.916) n=48
(361.340)
n=49 (370.472) n=50
(380.734) n=51 (392.110) n=52 (399.830) n=53 (410.304) n=54 (419.411)
n=55 (429.169) n=56
(440.823) n=57 (448.388) n=58 (459.793) n=59 (468.861) n=60 (478.339)
n=61 (489.902) n=62
(497.620) n=63 (509.624) n=64 (517.713) n=65 (528.372) n=66 (538.729)
＜水の流れ：コメント＞ 時間をください。計算で考えたのを載せますからね。しばらく、ご猶予を
＜水の流れ：コメント＞ 遅くなりましたが、８月８日に解説しました。
Ｗｅｅｋｅｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓのコロキウム室NO 578 の数楽者の解答を見て下さい。
最初に１個買うと１つ手に入ります。２個目は、自分がすでに持っているものと違うグッズが
得られる確率が49/50なので、２個目を手に入れるまでの 期待購入数は50/49となります。同様に、３個目を手に入れるまでの期待購入数は50/48、・・・４９個目を手に入れるまでの期待購入数は50/２、
最後の１個を手に入れるまでの期待購入数は50/１
したがって、すべてを手に入れるまでの期待購入数は 50(1/1+1/2+1/3+・・・+1/49+1/50) となります。
期待購入数／グッズの総数＝1/1+1/2+1/3+・・・+1/49+1/50 となり、どこかで見かけた式が出てきました。
そうです。これを、一般に考えていきます。そこで、次のような極限値を求めてみることにします。
ｎ→∞のとき、 （1/1+1/2+1/3+・・・+1/ｎ−log n）→０．５７７２…（オイラー定数）
になります。ここで、
ｎ＝５０のとき、 （1/1+1/2+1/3+・・・+1/50）≒log 50＋０．５７７２
＝３．９１２０＋０．５７７２＝４．４８９２
よって、５０×４．４８９２＝２２４．４６ となり、約２２５本買わなければなりません。
ｎ＝１００のとき、100（1/1+1/2+1/3+・・・+1/100）≒100(log 100＋０.5772)
=100(4,6052＋０.5772)=518,24
となり、１００個のグッズのときは、平均５１８本買わなければなりません。
今回の問題は、ＡかＢのどちらかの全種類が集まるまでに飲料水を買う本数の平均です。
問題１：Ａタイプが３種類、Ｂタイプが３種類ですから、まず、異なるおまけとする。
どちらかが全種類そろって、買いのをやめたときは手元にｋ種類（ｋ＝３，４，５）があります。
例えば、（ｋ−１）回買う間にどちらかのタイプを２種類持っていて、ｋ回目に最後のおまけを得る確率は
組合わせの記号Ｃを用いて、２×Ｃ（２，２）／Ｃ（６，３）＝１／10
２×Ｃ（３，２）／Ｃ（６，３）＝３／10
２×Ｃ（４，２）／Ｃ（６，３）＝６／10
一方、飲料水の本数は６種類のうち異なるｋ種類のものを得るための平均は
６（1／6＋1／5＋1／4）＝37／10
６（1／6＋1／5＋1／4＋1／3）＝57／10
６（1／6＋1／5＋1／4＋1／3＋1／2）＝87／10
したがって、求める平均Ｅは
(１／10×37／10)＋(3／10×57／10) ＋(６／10×８7／10)＝７３／１０＝７．３（本）
問題２
＜二度漬け白菜＞からの解答平成２５年12月23日10時00分受信
すでに解答募集期間を大幅に過ぎているのですが、
第２３回数学的な応募問題:［スターウォーズグッズ（２）]
の 問題２ が未解決なようでしたので、解答を送ります。
問題２：一般に、ｎ種類の場合の平均本数を求めよ。
n種類の場合の平均本数を E(n) とすると、
E(n)=2n(2Σ[j=1〜n](1/j) - Σ[j=1〜2n](1/j)) (答)
となります。
問題１を E(n) を使って解くと、
E(3)=2*3*(2*(1+1/2+1/3)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)) = 73/10.
「確率問題ゼミ(シュプリンガー・フェアラーク東京)」
という本に、この問題と同じ設定の問題が収録されています。
この問題の一般化は、次のようになりました。
おまけのタイプが m 種あり、各タイプごとに n 種類の異なるおまけがあるとします。
m 種のタイプのうちの、いずれかのタイプのおまけが全種類集まるまで飲料水を買い続けるとき、
買う飲料水の本数の期待値を E(m,n) とします。
E(m,n)は次式で計算することができます。
(以下では、二項係数をC(a,b)と書いています。a<bのときは、C(a,b)=0, それ以外はC(a,b)=a!/(b!*(a-b)!) )．
E(m,n)=m*n*(Σ[i=1〜m]Σ[j=1〜i*n]C(m,i)*((-1)^(i+1))*(1/j)).
例えば、
E(1,n)=n(Σ[j=1〜n](1/j)),
E(2,n)=2n(2Σ[j=1〜n](1/j)-Σ[j=1〜2n](1/j)),
E(3,n)=3n(3Σ[j=1〜n](1/j)-3Σ[j=1〜2n](1/j)+Σ[j=1〜3n](1/j)),
E(4,n)=4n(4Σ[j=1〜n](1/j)-6Σ[j=1〜2n](1/j)+4Σ[j=1〜3n](1/j)-Σ[j=1〜4n](1/j)),
E(5,n)=5n(5Σ[j=1〜n](1/j)-10Σ[j=1〜2n](1/j)+10Σ[j=1〜3n](1/j)-5Σ[j=1〜4n](1/j)+Σ[j=1〜5n](1/j))
などとなります。
