第２５回数学的な応募問題［アルハゼンの定理］

　アルハゼンの定理について，今まで何も知りませんので，いつもの通りにパソコンのプログラムで解いて見ました。

この方法ですと，たとえ幾何に関する知識が皆無でも，何となくでも解けてしまうのです．

問題１：とりあえず円の半径を１（＝ｒ）とし，中心を原点とします．ＯＡのｘ軸とのなす角度を１８０°≦ｔＡ＜２７０°として，ｔＡを０.５°きざみ（kizami）で増加させます．Ｃを，ＡＣがｘ軸と平行になるようにとり，ＯＣのｘ軸とのなす角度をｔＣとします．またＢを弧ＡＣ上にとり，ＯＢとｘ軸とのなす角度をｔＡ＜ｔＢ＜ｔＣとして，ｔＢを０.５°きざみで増加させます．それぞれの場合のＤの位置を求め，弧ＣＤ／弧ＡＢの比が一番３／２に近くなる場合を求めます．後は弧ＡＢの長さが２πになるように相似比で計算して，実際の円の半径ｒと面積Ｓを求めます．

　ＱＢａｓｉｃのプログラムｍ２５＿１.ｂａｓにより，面積は１００πになることが分かりました．

問題２：原点中心の単位円で考えます．Ａの位置を９０°＜ｔＡ＜２７０°として，ＡＤとｘ軸が平行になるようにＤをとります．そして∠ＡＤＢを０.５°きざみでとり，弧ＡＢ：弧ＣＤ＝１：３になるようにＣをとります．そして∠ＣＰＤが一番４８°に近い場合を求めます．

　プログラムｍ２５＿２.ｂａｓにより，角度は１２°になることが分かりました．

問題３：原点中心の単位円で考えます．Ａの位置を９０°＜ｔＡ＜２７０°として，ｔＡを０.１°きざみで増加させます．ＡＥとｘ軸が平行になるようにＥをとります．そして∠ＥＡＣ＝４０°からＣを求め，弧ＥＣの長さからＢを求め，次に∠ＡＣＢを求めます．ＡＣとＢＤの交点をＦとするとき，

∠ＰＦＣ＝∠ＦＢＣ＋∠ＦＣＢ＝∠ＰＡＦ＋∠ＡＰＦ＝４０°＋３０°から，∠ＣＢＤ＝７０°−∠ＡＣＢを求めます．プログラムＭ２５＿３.ｂａｓにより，角度は２０°になることが分かりました．

ＰＳ．最近は，私と小島先生くらいしか解答を寄せていないようです．私のような亜流ではなく，もっと正統派の多くの人の解答を期待したいですね．

＜水の流れのコメント>：確かにそうですね。中高生の諸君の解答を心より待っています。学校の夏休みの宿題に忙しいのも分かりますが、心にゆとりを持って過ごしましょう。

'm25_1.bas

CLS : DEFDBL A-Z

pi = 3.14159: w = pi / 180: r = 1: min = 100: hi = 2 / 3: kizami = .5

FOR tA = 180 TO 270 - kizami STEP kizami: tC = 180 - tA

FOR tB = tA + kizami TO 360 + tC STEP kizami

LOCATE 1, 1: PRINT USING "tA=####.# , tB=####.# check chuu"; tA; tB

xB = r * COS(tB * w): yB = r * SIN(tB * w)

a = 2: bd = yB - xB: c = (yB - xB) * (yB - xB) - r * r

xD = (-bd + SQR(bd * bd - a * c)) / a: yD = xD - xB + yB

tD = ATN(yD / xD) / w

IF tD > tC THEN

ratio = (tB - tA) / (tD - tC)

IF ABS(ratio - hi) < min THEN

min = ABS(ratio - hi): AB = r * (tB - tA) * w

LOCATE 3, 1: PRINT "kouho (r="; r; ") : ";

PRINT USING "tA=####.# , tB=####.# , AB=###.######"; tA; tB; AB

END IF

END IF

NEXT: NEXT

r = 2 * pi / AB

LOCATE 5, 1: PRINT USING "r=###.###### , S=####.###### * pi"; r; r * r: END

'm25_2.bas

CLS : DEFDBL A-Z: kizami = .5: pi = 3.14159: w = pi / 180: r = 1: min = 100

FOR tA = kizami + 90 TO 180 - kizami STEP kizami

xA = r * COS(tA * w): yA = r * SIN(tA * w)

tD = 180 - tA + 360: xD = r * COS(tD * w): yD = r * SIN(tD * w)

kakuADB = kizami

DO

LOCATE 1, 1: PRINT USING "tA=###.#do, kakuADB=##.#do check chuu"; tA; kakuADB

a = 1 + TAN(kakuADB * w) * TAN(kakuADB * w)

bd = TAN(kakuADB * w) * (yD - xD * TAN(kakuADB * w))

c = (yD - xD * TAN(kakuADB * w)) * (yD - xD * TAN(kakuADB * w)) - r * r

xB = (-bd - SQR(bd * bd - a * c)) / a

yB = xB * TAN(kakuADB * w) + yD - xD * TAN(kakuADB * w)

tB = 180 + ATN(yB / xB) / w

tC = tD - 3 * (tB - tA): xC = r * COS(tC * w): yC = r * SIN(tC * w)

kakuCAD = -ATN((yC - yA) / (xC - xA)) / w

kakuCPD = kakuCAD + kakuADB

sa = ABS(kakuCPD - 48)

IF sa < min THEN

min = sa: tAmin = tA: tBmin = tB: tCmin = tC: tDmin = tD: kotae = kakuADB

LOCATE 2, 1: PRINT USING "kouho=##.#do"; kotae

END IF

kakuADB = kakuADB + kizami

LOOP WHILE tB < tC

NEXT

LOCATE 4, 1: PRINT USING "kotae=##.#do"; kotae

LOCATE 5, 1: PRINT USING "tA=###.#do, tB=###.#do, tC=###.#do, tD=###.#do"; tAmin; tBmin; tCmin; tDmin + (tDmin > 360) * 360

END

'm25_3.bas

CLS : DEFDBL A-Z: kizami = .01: pi = 3.14159: w = pi / 180: r = 1

tA = 90 + kizami

DO

tE = 180 - tA

xA = r * COS(tA * w): yA = r * SIN(tA * w)

a = 1 + TAN(-40 * w) * TAN(-40 * w)

bd = TAN(-40 * w) * (yA - xA * TAN(-40 * w))

c = (yA - xA * TAN(-40 * w)) * (yA - xA * TAN(-40 * w)) - r * r

xC = (-bd + SQR(bd * bd - a * c)) / a

yC = xC * TAN(-40 * w) + yA - xA * TAN(-40 * w)

tC = ATN(yC / xC) / w: tC = tC - (tC < 0) * 360

tCE = tC - tE: tCE = tCE - (tCE < 0) * 360

tB = tA + (180 - tCE): xB = r * COS(tB * w): yB = r * SIN(tB * w)

AB = SQR((xB - xA) * (xB - xA) + (yB - yA) * (yB - yA))

BC = SQR((xC - xB) * (xC - xB) + (yC - yB) * (yC - yB))

CA = SQR((xA - xC) * (xA - xC) + (yA - yC) * (yA - yC))

cosACB = (BC * BC + CA * CA - AB * AB) / BC / CA * .5

kakuACB = ATN(SQR(1 / cosACB / cosACB - 1)) / w

kakuCBD = 40 + 30 - kakuACB

PRINT USING "tA=###.##do, kakuCBD=##.##do"; tA; kakuCBD

tA = tA + kizami

LOOP WHILE tB < tC AND tA < 270

END