平成１１年９月１１日
第２８回
数学的な応募問題＜解答募集期間：９月１１日〜９月２５日＞
［三平方の定理］
三平方の定理は、数学の中でも最も大切な定理の１つです。この定理は直角三角形の３辺の長さの間に成り立つ単純で明快な関係を与えています。その応用については、実際に起こりうるような身近な問題を今回は考えてみましょう。
問題１：図のような正方形のチョコレートが３枚ある。このチョコレートを次のように２組に分ける。
大１枚のチョコレートと中・小のチョコレート２枚
このとき、どちらの組のチョコレートの方が量が多いか、３枚のチョコレートを配置するだけで調べてみることができる。どのように配置すればよいか。ただし、チョコレートの厚さはすべて同じとする。
問題２：図のような形の異なるドーナツ状のクッキー（どれも境界は同心円）が２個あります。１本の糸を用いて、どちらのクッキーの量が多いか調べるには、どうしたらよいでしょうか？ただし、クッキーの厚さはどちらも同じとする。
＜出典：作って試して納得数学：監修秋山仁（数研出版）＞
太郎さんは、授業で取り扱い、生徒にどちらを選ぶか考えさせたいと思っています。
＜答と解説＞ ９月１９日更新
（１年家政科・経理家庭科のクラスで、９月１７日に授業で行いました）
皆さん、三平方の定理を図形的に言うと、「直角三角形の斜辺を１辺とする正方形の面積は、直角をはさむ２辺のそれぞれを１辺とする正方形の面積の和に等しい」ことです。黒板に、図を書いて説明しました。
さらに、ａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２ が成立します。
さて、問題１です。皆さんは、ここに、大、中・小の正方形（マグネットシート）を準備しました。黒板に張り付けます。どちらの組を選びますか。「先生！理由も言うのですか。私は２枚の方を選びます」「なぜですか」「何となく大きいように見えたから」「それでは、いけません。ヒント、三平方の定理です」しばらくして、「うまく、配置すれば、理由が分かります」「誰々さん、黒板の前でやってください」 図参考にしてください。
そうですね。中の正方形と小の正方形を直角に並べて、直角三角形を作ります。この斜辺の長さと大の正方形の１辺長さを比べてみれば、分かります。もし、日常生活の中でこんな場面にあったら、使って、大きい組のチョコレートを選んで下さい。
次に、問題２を考えてみましょう。ドーナツ状のクッキーの面積を調べてください。外側の円と内側の円の半径をそれぞれ、ｃ、ｂとおきます。円の面積の公式から、ドーナツ状のクッキーの面積は（ｃ＾２−ｂ＾２）πですね。よく、見て下さい。今日は三平方の定理の応用です。三平方の定理いうと、ｃ＾２−ｂ＾２＝ａ＾２ です。
ここで、ａにあたる長さはどこをさしているか。考えて見ましょう。「どこかで直角三角形を作らないといけないなー、１本の糸で測れるようにね。」しばらくして、生徒を指名したら、黒板に書きてあるドーナツＡの内側の円に接する接線を引いて、外側の円の２交点までの長さは、ａの２倍になることに気がつきました。図を参考にしてください。
これから、大きいドーナツ状のクッキーを選ぶときは、１本の糸で測ってから選んでください。三平方の定理はこんな所にも生かされています。
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