平成１１年１２月２９日
第４1回
数学的な応募問題＜解答募集期間：１２月２６日〜１月１０日＞
［ミレニアム］
読者の皆さん！まもなく１０００年代最後の年が終わります。そして迎える２０００年。
百年どころか千年に一度の幕が下り、新たに２千年のいつもと違った特別な幕が上がります。
最近、ミレニアム（千年紀）というカタカナをよく耳にします。千年に一度の年にたまたま生まれ合わせたこの
幸せは皆さんのおかげと、改めて思いを募らせています。
「水 和して 万事成る」このサイトが大過なくスムーズにいっているのも、皆さんのおかげです。
年の初めにあたって、２０００年もよろしくお願いします。
そこで、問題です。。
また、頭文字のＡ，ｈ，ｙ，ｎ には０は入れないでください。
さらに、Ａ，ａ には異なる数字が入ります。
（１）約数は何個ありますか。ただし、１と２０００も含めてください。
（２）（１）の約数の和を求めてください。
（３）（１）の約数の逆数の和を求めてください。
（４）２０００と互いに素な整数は何個ありますか。
（５）（４）の互いに素な整数の和を求めてください。
（６）幾つかの連続する自然数を加えて、ちょうど、２０００にしてください。
（７）８個の異なる整数の立方和がちょうど、２０００にしてください。
ただし、平成１２年にちなんで、一番大きい整数は１２とし、必ず使ってください。
また、一番小さい数は負の整数になっても構わないです。
問題３：１から１２までの自然数の平方数について、それぞれの和が等しいように、２つのグループに分けてください。
ＮＯ１＜四年寝太郎＞さんからの解答 ２７日午前１１時２７分 受信 ２９日更新
問題１コンピュータで解きました。
Ahapynewr:210598467 Ahapynewr:310284756 Ahapynewr:310794268 Ahapynewr:410382657
Ahapynewr:410382679 Ahapynewr:510284736 Ahapynewr:510284769 Ahapynewr:510382647
Ahapynewr:610284759 Ahapynewr:610598427 Ahapynewr:610794238 Ahapynewr:710283694
Ahapynewr:710382649 Ahapynewr:710695284 Ahapynewr:810695274 Ahapynewr:910283674
問題２
(１)２０００＝２＾４＊５＾３より２０個
(２)(１＋２＋４＋８＋１６)＊(１＋５＋２５＋１２５)＝４８３６
(３)(２)より４８３６／２０００＝２．４１８
(４)２０００−２０００／２−２０００／５＋２０００／１０＝８００
(５)１〜２０００までの総和は２００１０００
これから約数の総和を引いて、１９９６１６４
(６)ＡからＢまでの総和(Ａ＋Ｂ)＊(Ｂ−Ａ＋１)／２＝２０００より
Ａ＋Ｂ＝Ｘ，Ｂ−Ａ＋１＝Ｙとすれば条件よりＸ，Ｙのいずれかが奇数で残り
が偶数だから
(Ｘ，Ｙ)＝(１，４０００)，(５，８００)，(２５，１６０)，(１２５，３２)，
(３２，１２５)，(１６０，２５)，(８００，５)，(４０００，１)だから
Ａ＝(Ｘ−Ｙ＋１)／２，Ｂ＝(Ｘ＋Ｙ−１)／２
答え：
−１９９９〜２０００，−３９７〜４０２，−６７〜９２，４７〜７８，−４６〜７８
，６８〜９２，３９８〜４０２，２０００(〜２０００)(７)コンピュータで解きました。
12 11 10 9 7 5 -8 -14 ： 12 11 10 9 -6 -8 -9 -11 ： 12 11 10 8 1 -8 -9 -11
12 11 10 7 6 5 1 -14 ： 12 11 10 7 1 -7 -9 -11 ： 12 11 10 7 -6 -7 -8 -11
12 11 10 6 4 -2 -10 -11 ： 12 11 10 6 1 -6 -9 -11 ： 12 11 10 6 -2 -3 -8 -12
12 11 10 5 4 -2 -8 -12 ： 12 11 10 5 1 -5 -9 -11 ： 12 11 10 5 -5 -6 -8 -11
12 11 10 4 1 -4 -9 -11 ： 12 11 10 4 -4 -6 -8 -11 ： 12 11 10 3 1 -3 -9 -11
12 11 10 3 -3 -6 -8 -11 ： 12 11 10 2 1 -2 -9 -11 ： 12 11 10 2 -2 -6 -8 -11
12 11 10 1 -1 -6 -8 -11 ： 12 11 10 -3 -4 -5 -8 -11 ： 12 11 9 6 4 -2 -9 -11
12 11 9 4 1 0 -5 -12 ： 12 11 9 4 -1 -2 -8 -11 ： 12 11 8 6 4 -2 -8 -11
12 11 7 6 4 -2 -7 -11 ： 12 11 7 1 0 -2 -4 -11 ： 12 11 6 5 4 -2 -5 -11
12 11 6 4 3 -2 -3 -11 ： 12 11 6 4 3 -5 -8 -9 ： 12 11 6 4 1 -1 -2 -11
12 11 6 1 -2 -3 -8 -9 ： 12 11 5 4 1 -2 -8 -9 ： 12 10 9 8 6 -5 -9 -11
12 10 9 8 4 3 -9 -11 ： 12 10 9 8 -1 -5 -8 -11 ： 12 10 9 7 0 -2 -4 -12
12 10 9 7 -1 -5 -7 -11 ： 12 10 9 7 -6 -7 -8 -9 ： 12 10 9 6 4 -1 -2 -12
12 10 9 6 4 -2 -9 -10 ： 12 10 9 6 1 0 -7 -11 ： 12 10 9 6 -1 -5 -6 -11
12 10 9 5 -2 -3 -6 -11 ： 12 10 9 5 -5 -6 -8 -9 ： 12 10 9 4 3 -1 -6 -11
12 10 9 4 -1 -2 -8 -10 ： 12 10 9 4 -1 -4 -5 -11 ： 12 10 9 4 -4 -6 -8 -9
12 10 9 3 -1 -3 -5 -11 ： 12 10 9 3 -3 -6 -8 -9 ： 12 10 9 2 -1 -2 -5 -11
12 10 9 2 -2 -6 -8 -9 ： 12 10 9 1 -1 -6 -8 -9 ： 12 10 9 -3 -4 -5 -8 -9
12 10 8 7 6 -5 -7 -11 : 12 10 8 7 4 3 -7 -11 : 12 10 8 7 1 -7 -8 -9
12 10 8 6 4 3 -6 -11 : 12 10 8 6 4 -2 -8 -10 : 12 10 8 6 4 -4 -5 -11
12 10 8 6 3 -3 -5 -11 : 12 10 8 6 2 -2 -5 -11 : 12 10 8 6 1 -1 -5 -11
12 10 8 6 1 -6 -8 -9 : 12 10 8 5 4 3 -5 -11 : 12 10 8 5 1 -2 -3 -11
12 10 8 5 1 -5 -8 -9 : 12 10 8 4 3 2 -2 -11 : 12 10 8 4 3 1 -1 -11
12 10 8 4 1 -4 -8 -9 : 12 10 8 3 1 -3 -8 -9 : 12 10 8 2 1 -2 -8 -9
12 10 7 6 4 -2 -7 -10 : 12 10 7 6 1 -6 -7 -9 : 12 10 7 5 1 -5 -7 -9
12 10 7 5 -5 -6 -7 -8 : 12 10 7 4 1 -4 -7 -9 : 12 10 7 4 -4 -6 -7 -8
12 10 7 3 1 -3 -7 -9 : 12 10 7 3 -3 -6 -7 -8 : 12 10 7 2 1 -2 -7 -9
12 10 7 2 -2 -6 -7 -8 : 12 10 7 1 0 -2 -4 -10 : 12 10 7 1 -1 -6 -7 -8
12 10 7 0 -1 -5 -6 -9 : 12 10 7 -3 -4 -5 -7 -8 : 12 10 6 5 4 -2 -5 -10
12 10 6 5 1 -5 -6 -9 : 12 10 6 4 3 -2 -3 -10 : 12 10 6 4 1 -1 -2 -10
12 10 6 4 1 -4 -6 -9 : 12 10 6 3 1 -3 -6 -9 : 12 10 6 2 1 -2 -6 -9
12 10 6 1 -3 -4 -5 -9 : 12 10 6 -3 -4 -5 -6 -8 : 12 10 5 4 3 1 -6 -9
12 10 5 4 1 -4 -5 -9 : 12 10 5 4 -4 -5 -6 -8 : 12 10 5 3 1 -3 -5 -9
12 10 5 3 -3 -5 -6 -8 : 12 10 5 2 1 -2 -5 -9 : 12 10 5 2 -2 -5 -6 -8
12 10 5 1 -1 -5 -6 -8 : 12 10 4 3 1 -3 -4 -9 : 12 10 4 3 -3 -4 -6 -8
12 10 4 2 1 -2 -4 -9 : 12 10 4 2 -2 -4 -6 -8 : 12 10 4 1 -1 -4 -6 -8
12 10 3 2 1 -2 -3 -9 : 12 10 3 2 -2 -3 -6 -8 : 12 10 3 1 -1 -3 -6 -8
12 10 2 1 -1 -2 -6 -8 : 12 10 2 -2 -3 -4 -5 -8 : 12 10 1 -1 -3 -4 -5 -8
12 9 8 7 3 0 -2 -11 : 12 9 8 6 4 -2 -8 -9 : 12 9 7 6 4 -2 -7 -9
12 9 7 4 -1 -2 -7 -8 : 12 9 7 1 0 -2 -4 -9 : 12 9 7 0 -2 -4 -6 -8
12 9 6 5 4 -2 -5 -9 : 12 9 6 4 3 -2 -3 -9 : 12 9 6 4 1 -1 -2 -9
12 9 6 4 -1 -2 -6 -8 : 12 9 6 3 1 -4 -5 -8 : 12 9 6 -1 -2 -3 -5 -8
12 9 5 4 -1 -2 -5 -8 : 12 9 4 3 -1 -2 -3 -8 : 12 8 7 6 4 -2 -7 -8
12 8 7 1 0 -2 -4 -8 : 12 8 6 5 4 -2 -5 -8 : 12 8 6 4 3 -2 -3 -8
12 8 6 4 1 -1 -2 -8 : 12 7 6 5 4 -2 -5 -7 : 12 7 6 4 3 -2 -3 -7
12 7 6 4 1 -1 -2 -7 : 12 7 6 1 0 -2 -4 -6 : 12 7 5 3 1 0 -2 -6
12 7 5 1 0 -2 -4 -5 : 12 7 3 1 0 -2 -3 -4 : 12 6 5 4 3 -2 -3 -5
12 6 5 4 1 -1 -2 -5 : 12 6 4 3 1 -1 -2 -3
問題３ コンピュータで解きました。
(1 3 4 5 7 9 12 , 2 6 8 10 11) ,（ 6 8 9 12 ， 1 2 3 4 5 ７ 10 11）
（2 4 5 6 10 12 ， 1 3 7 8 9 11）, (1 4 8 10 12 ， 2 3 5 6 7 9 11)
(9 10 12 ，1 2 3 4 5 6 7 8 11)
こういった問題をコンピュータで解くのは少し気が引けましたが、
とりあえず解いてみたら数が多かったので、手で解くのは諦めました。
＜水の流れ：コメント＞２９日記入
問題１について、答が１６通りのあり、問題２の（７）については、こんなに多くあるとは、思っていませんでした。
ありがとうございます。コンピュータはありがたいです。感謝します。
問題２の（５）は互いに素とは、２つの数字の最大公約数が１である数字をいいます。
問題２の（６）は自然数からスタートさせてください。
ＮＯ２＜浜田＞さんからの解答 ２８日午後４時１０分 受信 ２９日更新
ミレニアムの解答
年末で時間がなかったので，これしか出来ませんでした．後は来年に期待して下さい．もうそれでは遅いかも知れませんが．
今回はUBasicで作りました．このソフトでは分数計算が出来ます．
問題１ 覆面算です．答が少し多すぎますね．
2+10559+846-9407=2000 3+10228+475-8706=2000 3+10779+426-9208=2000 4+10338+265-8607=2000
4+10338+267-8609=2000 5+10228+473-8706=2000 5+10338+264-8607=2000 5+10228+476-8709=2000
6+10228+475-8709=2000 6+10559+842-9407=2000 6+10779+423-9208=2000 7+10338+264-8609=2000
7+10228+369-8604=2000 7+10669+528-9204=2000 8+10669+527-9204=2000 9+10228+367-8604=2000
10 'asave "mil.ub"
20 for A=1 to 9
30 for Y=1 to 9
40 if A=Y then 270
50 for W=0 to 9
60 if A=W or Y=W then 260
70 R=(A+Y+W)@10
80 if A=R or Y=R or W=R then 260
90 Kuriagari1=(A+Y+W)\10
100 for P=0 to 9
110 if A=P or Y=P or W=P or R=P then 250
120 for E=0 to 9
130 if A=E or Y=E or W=E or R=E or P=E then 240
140 Aa=(P+E+Kuriagari1)@10
150 if A=Aa or Y=Aa or W=Aa or R=Aa or P=Aa or E=Aa then 240
160 Kuriagari2=(P+E+Kuriagari1)\10
170 N=(30+E-P-Kuriagari2)@10
180 if N=0 or A=N or Y=N or W=N or R=N or P=N or E=N or Aa=N then 240
190 Kuriagari3=(P+N+Kuriagari2)\10
200 if (Aa+Kuriagari3)@10<>(2+Y)@10 then 240
210 H=(2+Y)\10
220 if H=0 or 10*H+Aa+Kuriagari3<>2+Y or A=H or Y=H or W=H or R=H or P=H or E=H or Aa=H or N=H then 240
230 print A;"+";H;Aa;P;P;Y;"+";N;E;W;"-";Y;E;Aa;R;"=2000"
240 next
250 next
260 next
270 next
280 next:end
問題２
（１）２０
（２）４８３６
（３）１２０９／５００
（４）８００
（５）８０００００
10 'asave "milleniu.ub"
20 dim KOTAE(5):for J=1 to 5:KOTAE(J)=0:next
30 for J=1 to 2000
40 if 2000@J=0 then KOTAE(1)+=1:KOTAE(2)+=J:KOTAE(3)+=1//J
50 GCM=2000:A=J:while A>0:AMARI=GCM-int(GCM/A)*A:GCM=A:A=AMARI:wend
60 if GCM=1 then KOTAE(4)+=1:KOTAE(5)+=J
70 next
80 for J=1 to 5:print J;KOTAE(J):next:print
90 end
（６）２０００＝３９８＋・・・＋４０２＝６８＋・・・＋９２＝４７＋・・・＋７８
10 'asave "milleni2.ub"
20 for J1=1 to 2000:Dame=0:J2=1
30 while Dame=0 and J2<=2000-(J1-1)
40 WA=0:J3=J2
50 while Dame=0 and J3<=J2+(J1-1):WA+=J3:Dame=-(WA>2000):J3+=1:wend
60 if WA=2000 then for J3=J2 to J2+(J1-1):print J3;:next:print
70 J2+=1
80 wend
90 next:end
問題３
（１，４，８，１０，１２；２，３，５，６，７，９，１１）
（１，３，７，８，９，１１；２，４，５，６，１０，１２）
（１，３，４，５，７，９，１２；２，６，８，１０，１１）
（１，２，３，４，５，７，１０，１１；６，８，９，１２）
（１，２，３，４，５，６，７，８，１１；９，１０，１２）
10 'asave "12.ub"
20 dim J(12):J(1)=1
30 for J02=-1 to 1 step 2:J(2)=J02
40 for J03=-1 to 1 step 2:J(3)=J03
50 for J04=-1 to 1 step 2:J(4)=J04
60 for J05=-1 to 1 step 2:J(5)=J05
70 for J06=-1 to 1 step 2:J(6)=J06
80 for J07=-1 to 1 step 2:J(7)=J07
90 for J08=-1 to 1 step 2:J(8)=J08
100 for J09=-1 to 1 step 2:J(9)=J09
110 for J10=-1 to 1 step 2:J(10)=J10
120 for J11=-1 to 1 step 2:J(11)=J11
130 for J12=-1 to 1 step 2:J(12)=J12
140 Wa=0:for J=1 to 12:Wa+=J(J)*J*J:next
150 if Wa<>0 then 180
160 for J=1 to 12:if J(J)=1 then print J;
170 next:print
180 next:next:next:next:next:next
190 next:next:next:next:next:end
＜水の流れ：コメント＞２９日記入
皆さん！本当にありがとうございます。当初は、問題１については、数個あったので作問しましたが、１６通りあるとは、知りませんでした。恐縮します。
問題２の（７）は、題意を満たす８個の数字で、一番小さい数字のうち、一番大きいものの組捜してください。
その方が今から思うとよかったような気がします。
ＮＯ３＜sambaGREEN＞さんからの解答 ２８日２３時５２分 受信 ２９日更新＜１月１４日再更新：ごめん＞
こんばんは，sambaGREENです。本年は，大変お世話になりました。
1999年最後の投稿になると思いますが，2000年も宜しくお願いします。
問題１，問題２の(7)，問題３が絞り込めないでいましたが，コンピュータによる解答が
寄せられたようですので，それ以外の解答を送ります。
************************************************
問題２
２０００＝２^4*５^3 であるから
（１） (４+１）×（３+１）＝２０（個）
（２） (1+2+4+8+16)(1+5+25+125)＝31*156＝4836
（３） (1+1/2+1/4+1/8+1/16)(1+1/5+1/25+1/125)＝(31/16)*(156/125)＝4836/2000＝1209/500
※ 一般にＮの約数の和と，Ｎの約数の逆数の和との積はＮになる。
（４） オイラーの関数より，2000*(1-1/2)*(1-1/5)＝800（個）
（５） １と1999，3と1997のように和が2000になる組が400組できるから，2000*400＝800000
（６） 2000の奇数の約数は，1，5，25，125であるから
2000 １個
2000/5＝400から，398，399，400，401，402 の５個の和
2000/25＝80から 68，69，70，・・・，80，・・・，91，92 の25個の和
2000/125＝16から -46，-45，・・・，16，・・・77，78 の125個の和のうち，
-46から+46までの93個は消えるので，47，48，・・・，77，78 の32個の和
ＮＯ４＜浜田＞さんからの解答 １月８日午前８時１０分 受信 ９日更新
問題２
（７）１２，１０，７，５，−５，−６，−７，−８
１２，１０，６，５，３，−２，−４，−８
１２，９，８，７，−２，−４，−６，−８
１２，９，８，４，０，−１，−２，−８
１２，９，７，６，５，２，−５，−８
１２，９，７，６，４，２，−４，−８
１２，９，７，６，３，２，−３，−８
１２，９，７，６，２，１，−１，−８
１２，９，７，５，４，３，２，−８
１２，７，６，５，４，３，２，１
10 'asave "3jou.ub"
20 dim J(8):Min=-20
30 J(1)=12
40 for J2=J(1)-1 to Min-6 step -1:J(2)=J2
50 for J3=J2-1 to Min-5 step -1:J(3)=J3
60 for J4=J3-1 to Min-4 step -1:J(4)=J4
70 for J5=J4-1 to Min-3 step -1:J(5)=J5
80 for J6=J5-1 to Min-2 step -1:J(6)=J6
90 for J7=J6-1 to Min-1 step -1:J(7)=J7
100 J8=2000:for J=1 to 8:J8-=J(J)*J(J)*J(J):next
110 Fugou=sgn(J8):J8=abs(J8):J8^=1/3
120 if int(J8)<J8 or Fugou*J8>=J7 then 150
130 J(8)=Fugou*int(J8)
140 for J=1 to 8:print J(J);:next:print
150 next:next:next:next:next:next:end
＜水の流れ：コメント＞ ９日記入
問題２の（７）は負の数を使わないと、立方数での和は表されないようですが、
最後の
１２，７，６，５，４，３，２，１ は違っていませんか？ＮＯ５＜四年寝太郎＞さんからの解答 １月１１日午前１時３５分受信 １１日更新
明けましておめでとうございます。
年末年始に実家に帰省していたもので回答できませんでした。いつもの如く、ケアレスミスが多いなぁと反省しています。
あと、問題３はプログラムで１２を含む方のグループのみを表示していたので変な回答になっていました。すいません。
今年もよろしくお願いします。
問題２
(５)１〜２０００までの総和は２００１０００
これらのうち、２０００と互いに素でないものは２か５の倍数。
２の倍数となるものの総和は１００１０００
５の倍数となるものの総和は４０１０００
１０の倍数となるものの総和は２０１０００
よって、２０００と互いに素でないものの総和は１２０１０００
これを２００１０００から引いて８０００００
(６)ＡからＢまでの総和(Ａ＋Ｂ)＊(Ｂ−Ａ＋１)／２＝２０００より
Ａ＋Ｂ＝Ｘ，Ｂ−Ａ＋１＝Ｙとすれば条件よりＸ，Ｙのいずれかが奇数で残り
が偶数だから
(Ｘ，Ｙ)＝(１，４０００)，(５，８００)，(２５，１６０)，(１２５，３２)，
(３２，１２５)，(１６０，２５)，(８００，５)，(４０００，１)だから
Ａ＝(Ｘ−Ｙ＋１)／２，Ｂ＝(Ｘ＋Ｙ−１)／２に代入して、
−１９９９〜２０００，−３９７〜４０２，−６７〜９２，４７〜７８，
−４６〜７８，６８〜９２，３９８〜４０２，２０００(〜２０００)
このうち自然数の連続数になっているものは
４７〜７８，６８〜９２，３９８〜４０２，２０００(〜２０００)
問題３
コンピュータで解きました。
1 3 4 5 7 9 12 & 2 6 8 10 11
6 8 9 12 & 1 2 3 4 5 7 10 11
2 4 5 6 10 12 & 1 3 7 8 9 11
1 4 8 10 12 & 2 3 5 6 7 9 11
9 10 12 & 1 2 3 4 5 6 7 8 11
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