平成１２年１月１０日
第４２回
数学的な応募問題＜解答募集期間：１月１０日〜１月２３日＞
［シャッフル］
太郎さんは、子供の頃、正月によくトランプ遊びをしました。そこで、こんな問題を作ってみました。
５２枚のトランプのカードを上から順に積んであります。これを、次のような規則でシャッフルします。
『
規則：上から２６枚目を左組とし、上から２７枚目から５２枚目を右組とし、１回シャッフルしたあとの新しいカードの順番が上から、左組の１枚目、右組の１枚目、左組の２枚目、右組の２枚目、・・・、左組の２６枚目、右組の２６枚目、となるように左組と右組を交互に重ねていく。』ここで、分かり易くするために、最初のトランプを上から順に、１番，２番，３番，・・・，５１番，５２番と番号を付けておきます。さて、
問題１：１回のシャッフルによって、２０番と３５番のカードは、新たに上からそれぞれ何枚目にありますか。
問題２：２回のシャッフルによって、２０番と３５番のカードは、新たに上からそれぞれ何枚目にありますか。
問題３：一般に、ｎ回のシャッフルによって、最初のｋ番のカードは、新たに上から何枚目にありますか。
問題４：何回かのシャッフルによって、すべてのカードが元の順番になりました。この最小のシャッフル回数を求めてください。
太郎さんは、早速トランプを持ち出して、このような規則性のあるシャッフルを繰り返して、帰納的に求めていこうと思っています。
皆さん、答えがわかったら、その答えになる考え方とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
