kadai45

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平成１２年２月２９日

[流れ星]

　　　　第４６回数学的な応募問題

　＜解答募集期間：２月１９日～３月４日＞

　　　　　　　［無限級数の和］

　太郎さんは、数式ソフト「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｖｅｒｓｉｎ４」をＷＯＬＦＲＡＭ社から、先月購入しました。

分からないままに、時間をみながら、使っていましたところ、次のような無限級数の和を瞬時に求めてくれましたが、

いつも通り、答えに至るまでの過程が全然わかりません。皆さん、教えてください。

問題：１^２＋２^２＋３^２／２！＋４^２／３！＋５^２／４！＋・・・

　太郎さんは、早速、過去の大学入試に同じような問題がなかったか調べようと、思っています。

ＮＯ１＜ｊｕｎ＞さんからの解答　2／19　22：18受信　2／20　更新　

私もmathematicaで計算させてみました。

５eになりました。

こんなにすっきりした値になるには理由がありそうですよね？

でも、なぜでしょう・・・？？？？？

ＮＯ２＜清川（kiyo）＞さんからの解答　2／19　23：09受信　2／20　更新

　解答アイデアが浮かばないのでプログラムで近似値を出してみました。

　今回の無限級数の各項の漸化式は、

　a(1)=1^2

a(n)=a(n-1)*n^2/(n-1)^3

e　の各項の漸化式は、

b(1)=1

b(n)=b(n-1)*/(n-1)

　ですが、なかなか２つを関連付けるアイデアが浮かびません。

そこで十進ベーシック１０００桁モードで近似値を出しました。

答えは多分 5e だと思います。

REM 無限級数の問題

LET A=1^2+2^2

FOR N=3 TO 453

LET C=N^2

GOSUB 10

LET C=C/B

LET A=A+C

NEXT N

LET E=2.7182818285　　 ! eの近似値

PRINT A

PRINT A/E

STOP

10 REM 階乗の計算

LET B=1

FOR I=N-1 TO 2 STEP -1

LET B=B*I

NEXT I

RETURN

END

4.9999999999

　今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ３＜水の流れ：解説＞２月２２日記入　２２日更新

＜ｊｕｎ＞さんのメールに感動し、数学的心を動かされました。

リンク解答2をご覧ください。

　∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^２／ｋ！＝５ｅ　の証明をします。

ｅ^ｘを無限級数展開して、考えます。ｅ^ｘ＝∑(k=0・・・∞)ｘ^ｋ／ｋ！

この両辺にｘをかけて、ｘｅ^ｘ＝∑(k=0・・・∞)ｘ^ｋ＋１／ｋ！

両辺をｘで微分します。（１＋ｘ）ｅ^ｘ＝∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）ｘ^ｋ／ｋ！

そして、もう一度、ｘを掛けます。（ｘ＋ｘ^２）ｅ^ｘ＝∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）ｘ^ｋ＋１／ｋ！

そして、また、ｘで微分します。(１＋３ｘ＋ｘ^２) ｅ^ｘ＝∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^２ｘ^ｋ／ｋ！

最後に、ｘ＝１とおくと、∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^２／ｋ！＝５ｅ　を得る。

　これを、繰り返しておこなうと、∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^３／ｋ！＝１５ｅ　

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^４／ｋ！＝５２ｅ　

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^５／ｋ！＝２０３ｅ

・・・・となっていきます。

この後の発展は、「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」が行ないました。＜以後の記入は、25日です＞

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^６／ｋ！＝８７７ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^７／ｋ！＝４１４０ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^８／ｋ！＝２１１４７ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^９／ｋ！＝１１５９７５ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^１０／ｋ！＝６７８５７０ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^１１／ｋ！＝４２１３５９７ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^１２／ｋ！＝２７６４４４３７ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^１３／ｋ！＝１９０８９９３２２ｅ

∑(k=0・・・∞)（ｋ＋１）^１４／ｋ！＝１３８２９５８５４５ｅ

・・・・となっていきます。

ＮＯ４＜水の流れ：解説＞２月２３日記入　２３日更新

Ａ_ｎ＝∑(k=0・・・∞) （ｋ＋１）^ｎ／ｋ！とおく。(ただし、ｎ＝０，１，２，３，・・・,で、Ａ₀＝ｅなる)

ｆ₀(x)＝ｅ^ｘとおくと、ｆ’₀(x)＝ｅ^ｘでｆ’₀(１)＝ｅ

ｆ_１(x)＝ｘｆ’₀(x)＝ｘｅ^ｘとおくと、ｆ’_１(x)＝(１＋ｘ)ｅ^ｘでｆ’_１(１)＝２ｅ

ｆ_２(x)＝ｘｆ’_１(x)＝(ｘ＋ｘ^２)ｅ^ｘとおくと、ｆ’_２(x)＝(１＋３ｘ＋ｘ^２)ｅ^ｘでｆ’_２(１)＝５ｅ

ｆ_３(x)＝ｘｆ’_２(x)＝(ｘ＋３ｘ^２＋ｘ^３)ｅ^ｘとおくと、ｆ’_３(x)＝(１＋７ｘ＋６ｘ^２＋ｘ^３)ｅ^ｘでｆ’_３(１)＝１５ｅ

ｆ_４(x)＝ｘｆ’_３(x)＝(ｘ＋7ｘ^２＋6ｘ^３＋ｘ^４)ｅ^ｘとおくと、ｆ’_４(x)＝(１＋15ｘ＋25ｘ^２＋10ｘ^３＋ｘ^４)ｅ^ｘでｆ’_４(1)＝５２ｅ

・・・・・・　これを同じように繰り返していきますと、

ｆ_ｎ＋１(x)＝ｘｆ’_ｎ(x)となり、　求める極限値は　　Ａ_ｎ＋１＝ｆ’_ｎ＋１(１)　として表される。

さらに、ｆ’_ｎ(ｘ)の係数を表にします。

　太郎さんは、この配列の中に秘められている美しさを、まだを発見していません。

Ｊ／Ｍ	１	２	３	４	５	６	７	８	計
０	１								１
１	１	１							２
２	１	３	１						５
３	１	７	６	１					１５
４	１	１５	２５	１０	１				５２
５	１	３１	９０	６５	１５	１			２０３
６	１	６３	３０１	３５０	１４０	２１	１		８７７
７	１	１２７	９６６	１７０１	１０５０	２６６	２８	１	４１４０

ＮＯ８＜水の流れ：コメント＞24日記入　２４日更新

読者の皆さん！この配列の中に秘められている美しさを、太郎さんは発見しました。

イギリス人数学者ジェームズ・スターリング（1692～1770）によって既に、発見されています。

ＮＯ５＜ch3cooh＞さんからの報告23日10：50分受信　２３日更新

数列{1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,678570}を関数電卓でlog10で変換すると

{0,.03010,.6990,1.1761,2.3074,2.9429,3.6170,4.3252,5.0644,5.8316}

　これの差分を取ると

{.3010,.3980,.4771,.5399,.5914,.6355,.6741,.7082,.7392,.7672}

　手計算では、これのさらに差分もとりました。

　この計算を行った理由としては、値の増加率がフィボナッチ数列に似ているからです。

　もし、値の増加がフィボナッチ数列に類似したものであるならば、上記のように対数を

取った上で差分の値を比較することにより、等差数列に大きな値では収束することが期待できます。

　値を見る限りでは収束している傾向があると思えますが、はっきりと断言は出来ません。

多分、フィボナッチ数列のような指数の和の形に変換できるのではないかと思いますが、

根の値が近いために、単純な等差数列が見えにくいのでは？

　ちゃんと解くことについても考えましたが、まだ研究中です。（Mathmaticaに一般項として入れると自動で解いてくれる？？）

ＮＯ６＜水の流れ：コメント＞２月２３日記入　２３日更新

実は、「Mathmatica」に計算させましたが、入力した式」そのままでして、だめでした。

ＮＯ７＜清川（kiyo）＞さんからの報告23日17：02分受信　２３日更新

いつもお世話になっています。先生の出された数列を数列サイトで検索してみました。

結果は以下の通りです。

同値の問題として「ways of placing n labeled balls into n indistinguishable boxes.」

　今後とも宜しくお願いします。　

ID Number: A000110 (Formerly M1484 and N0585)

Sequence: 1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,678570,4213597,

27644437,190899322,1382958545,10480142147,82864869804,

682076806159,5832742205057,51724158235372,474869816156751, 4506715738447323

Name: Bell or exponential numbers: ways of placing n labeled balls into indistinguishable boxes.

References E. T. Bell, Exponential numbers, Amer. Math. Monthly, 41 (1934), 411-419.

E. T. Bell, Exponential polynomials, Ann. Math., 35 (1934),258-277.

E. T. Bell, The iterated exponential numbers, Ann. Math.39 (1938),539-557.

N. S. Mendelsohn, Number of equivalence relations for nelements,

Problem 4340, Amer. Math. Monthly 58 (1951), 46-48.

N. G. de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, 1958,Sections 6.1-6.3.

J. Levine and R. E. Dalton, Minimum periods, modulo p, of first-order

Bell exponential integers, Math. Comp., 16 (1962), 416-423.

Rota, Gian-Carlo. The number of partitions of a set. Amer.Math. Monthly 71 1964 498-504.

M. Rayburn, On the Borel fields of a finite set, Proc.Amer. Math.. Soc.,19 (1968), 885-889.

T S Motzkin, Sorting numbers..., in Combinatorics, Proc. Symp. Pure Math. 19, AMS, 1971, pp. 167-176.

H. W. Gould, Research bibliography of two special numbe sequences,Mathematica Monongaliae, Vol. 12, 1971.

A. M. Odlyzko, Asymptotic enumeration methods, pp.1063-1229 of R. L.

Graham et al., eds., Handbook of Combinatorics, 1995; see Examples 5.4 and 12.2.

R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Cambridge; se Section 1.4 and Example 5.2.4.

M. Aigner, A characterization of the Bell numbers, Discr.Math., 205 (1999), 207-210.

S. Linusson, The number of M-sequences and f-vectors, Combinatorica, 19 (1999), 255-266.

Formula: E.g.f.: exp (exp x - 1 ). Recurrence: a(n+1) = Sum a(k)C(n,k).

Also a(n) =Sum Stirling2(n,k), k=1..n.

See e.g. the Odlyzko reference for the (extremely complicated) asymptotic behavior.

Maple: series(exp(exp(x)-1),x,60);

Mma: NestList[ Factor[ D[ #1,x ] ]&, Exp[ Exp[ x-1 ]-1 ], n ] /.(x->1)