平成１２年４月５日

［どんな三角形？］

太郎さんは、子供が中学時代のとき、「正方形ＡＢＣＤについて、∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ＝１５゜のとき、

図のような三角形ＡＥＤはどんな三角形であるか、調べて、それを証明しなさい。」

と、質問を受けました。随分、悩んだ思い出があります。皆さん！考えてください。

さらに、三角形ＡＥＢもどんな三角形か調べてください。「ch3cooh」さんの解答を見てから、４月３日（夜）に追加しました。

　太郎さんは、早速、図のような点Ｅを描いて考えてみようと思っています。

ＮＯ１＜ch3cooh＞さんからの解答、３日１１時３０分受信、更新５日　

正方形の各辺の長さをlとして、三角形AEDの面積は(l^2)/4 　(辺ADの長さがl, 辺ADからEまでの高さがl/2のため)

点Aから辺EDまで垂線を引き、交点をA'とする。

三角形AA'Dの大きさは、∠ADA'が75°であることを利用すると･･･　辺AA'を長さp,辺A'Dを長さqとして、

p/l= l*sin75°,q/l= l*cos75°

面積は

p*q/2= l^2*sin75°*cos75°/2

= l^2*cos15°*sin15°/2

= l^2*(1/2)*sin30°/2

= l^2/8　　である。

これは、三角形AEDの面積の1/2であるため辺A'D,A'Eの長さは等しい。

ゆえに三角形AEDは2等辺三角形である　

＜水の流れ＞この解答をみて、追加問題を載せました。解法の発想を自由ですが、誰か中学生の幾何でも解いてください。

ＮＯ２＜ch3cooh＞さんからさんからの解答、４日１４時５２分受信、更新５日　

図形問題としての解答です。

正方形 ABCD の辺 AD, AB に平行で、点E を通る直線を引きます。

そして、辺 AB, BC, CD, DA との交点を各々 F,G,H,Iとします。

正方形の中に点 F,G,H,I を結ぶ四角形を作図し、

点G,H,Iを通る円について考えます。

∠EDCが15°であるので、∠IHDも15°、∠EHIは75°です。

すると、∠GHIは150°であるので、上記円の中心をOとすると∠GOIは60°

三角形 GOI は辺 GO,IO の等しい２等辺三角形であることは自明であるので、

交わる角度が60°である２等辺三角形は正三角形となります。

三角形 GOI の辺 GIの長さを l とすると、辺GO, IO の長さも l,

この円は点 G,H,I を通るので、直線 HO の長さも l。

これにより、点 O と点 F が等しいことが判明します。

そうすると･･･

三角形 ABE は 正三角形

三角形 AED は ２等辺三角形 となります。