平成１２年６月１１日
第５３回
数学的な応募問題＜解答募集期間：６月６日〜６月１８日＞
［分銅の問題］
太郎さんは、上皿天秤で目方を計るとき、どんな分銅を何種類か用意し、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せて、両者のバランスを取る。このとき、分銅の種類はなるべく少なくし、その組み合わせだけでいろいろとの目方を計るのが好ましい。分銅の問題というのは、標準の分銅にどんな目方のものを用意すれば、もっとも能率的かというものです。
一般に、ｎ個の分銅の目方を
１ｇ、２ｇ、４ｇ、８ｇ、・・・、２ｎ―１ ｇ に選ぶとすると、分銅の組み合わせを変えば、目方がかならず変わる。しかも、計れる目方は、０ｇ、１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(２ｎ−１) ｇ まで、１ｇおきのすべてが可能です。今、ここには
、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せる上皿天秤を考えます。しかも、分銅は
１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ、８１ｇ、２４３ｇ、７２９ｇ の７種類でいずれも１個用意してあります。このとき、１回だけ使って、計れれる目方は小さい順に、１ｇ、３ｇ、４ｇ、９ｇ、１０ｇ、１２ｇ、１３ｇ、２７ｇ、・・・
となり、１ｇおきにすべてを計ることができません。ここで、問題です。
問題１：１００ｇの重さまでで、計れる目方は１ｇから考えて何通りの目方が計れますか。
問題２：小さい順に１ｇから目方を計っていく場合、５３番目の可能な計り方の目方は何ｇですか。
また、このときの１個づつの分銅の種類を言ってください。
問題３：１０００ｇの重さは計ることができますが、１００１ｇの重さを測ることはできません。
これはどうしてでしょうか。数学的に考えてください。
さて、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せる上皿天秤でなく、両方に分銅を載せてもよい上皿天秤を使います。
さらに、ｎ個の分銅の目方を
１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ、・・・、３ｎ―１ ｇ に選ぶとすると、分銅の組み合わせを変えば、計れる目方は、
０ｇ、１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(３ｎ−１)／２ ｇ まで、１ｇおきのすべてが可能です。問題４：１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(３ｎ−１)／２ ｇ まで、１ｇおきのすべてが計れることを証明ください。
＜清川(kiyo)＞さんからの解答 ６月６日２１時２８分受信 ６月１１日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
問題１ ２３通り。
問題２ 53 334 110101
３３４ｇ （ １ｇ，９ｇ，８１ｇ，２４３ｇ ）
問題３
1000==1 (mod 3)
1001==2 (mod 3)
１ｇの分銅はあるので可能。２ｇの分銅はないので不可能。
すなわち、（３ｋ）ｇ，（３ｋ＋１）ｇは計量可能。
問題４
（３ｋ＋２）ｇ は１ｇの分銅を反対側に使うことで可能となる。
等比数列 初項 １ 項比 ３ のｎ項の和まで可能。
すなわち１ｇ から （（３＾ｎ−１）／２）ｇ まで可能となります。
1 1 1
2 3 10
3 4 11
4 9 100
5 10 101
6 12 110
7 13 111
8 27 1000
9 28 1001
10 30 1010
11 31 1011
12 36 1100
13 37 1101
14 39 1110
15 40 1111
16 81 10000
17 82 10001
18 84 10010
19 85 10011
20 90 10100
21 91 10101
22 93 10110
23 94 10111
24 108 11000
25 109 11001
26 111 11010
27 112 11011
28 117 11100
29 118 11101
30 120 11110
31 121 11111
32 243 100000
33 244 100001
34 246 100010
35 247 100011
36 252 100100
37 253 100101
38 255 100110
39 256 100111
40 270 101000
41 271 101001
42 273 101010
43 274 101011
44 279 101100
45 280 101101
46 282 101110
47 283 101111
48 324 110000
49 325 110001
50 327 110010
51 328 110011
52 333 110100
53 334 110101
54 336 110110
55 337 110111
56 351 111000
57 352 111001
58 354 111010
59 355 111011
60 360 111100
61 361 111101
62 363 111110
63 364 111111
64 729 1000000
65 730 1000001
66 732 1000010
67 733 1000011
68 738 1000100
69 739 1000101
70 741 1000110
71 742 1000111
72 756 1001000
73 757 1001001
74 759 1001010
75 760 1001011
76 765 1001100
77 766 1001101
78 768 1001110
79 769 1001111
80 810 1010000
81 811 1010001
82 813 1010010
83 814 1010011
84 819 1010100
85 820 1010101
86 822 1010110
87 823 1010111
88 837 1011000
89 838 1011001
90 840 1011010
91 841 1011011
92 846 1011100
93 847 1011101
94 849 1011110
95 850 1011111
96 972 1100000
97 973 1100001
98 975 1100010
99 976 1100011
100 981 1100100
101 982 1100101
102 984 1100110
103 985 1100111
104 999 1101000
105 1000 1101001
106 1002 1101010
107 1003 1101011
108 1008 1101100
109 1009 1101101
110 1011 1101110
111 1012 1101111
112 1053 1110000
113 1054 1110001
114 1056 1110010
115 1057 1110011
116 1062 1110100
117 1063 1110101
118 1065 1110110
119 1066 1110111
120 1080 1111000
121 1081 1111001
122 1083 1111010
123 1084 1111011
124 1089 1111100
125 1090 1111101
126 1092 1111110
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