平成１２年９月２３日

［机の積み方］

太郎さんの学校では、年に３回教室の床にワックスをかけて綺麗に磨きます。そこで、机を廊下に移動して並べる

ことになります。廊下の左端から順に１列に、机を２段に積み上げます。作業の効率を考えて、いつも太郎さんは、

左端から詰めながら、下段に机を置いてから上段に置きます。ここで、生徒の椅子はないと考え、机は同じ物としてください。

（実際のワックスがけのときは、机と椅子を一緒に重ねて置きます。）

また、机の数は２ｎ個があり、奇数個ではありません。

ここで、問題です。

問題１：この机の積み方は一体何通りあるでしょう。机が２個、４個、６個、・・・と考えて,下の参考図をみて実際に積んでみてください。

問題２：もし３段積みにして、左端から詰めながら、下段に机を置いてから中段に、そして上段に置きます。机は３ｎ個として、このような積み方は一体何通りあるでしょう。

ＮＯ１　＜『FIRE』(火事）＞さんからの解答　１６日18時33分受信　２３日更新

初めてメール差し上げます。メールネームは『FIRE』(火事）として下さい。

実は、太郎さんの生徒の父です。子供からこのホームページのことを聞き、時々アクセスしていますが、いつも常連さんのすばらしい解答に感激してばかりでしたが、今回のは何とかなりそうだったので、学生時代に戻ったつもりで少し考えてみました。

メール上で数式の記載の仕方がわからず、きれいに書けていませんが、御許し下さい。

＜問題１＞の２n個の方だけの回答ですが、よろしいでしょうか？

n=1の時は１通り（例のとおり）

n=2の時は2通り（例のとおり）

n=3の時は5通り ：並べる順番を（）内に示す。

（左側の上段、下段、左から２個目の上段、下段・・・）の意味です。

(214365)(215364)(314265)(315264)(415263)

n=4の時は14通り

左端が(21・・・)(31・・・・)で始まる場合はn=2の場合と同じで各５通り。

(41)で始まると３通り(527385)(527386)(526387)

(51)で始まると１通り(51627384)

これらの並べ方を考える時、例えば「左端の下が１」「右端の上が８」の制約をもとに考えると漏れ無くカウントできます。

になります。これから一般項をA(n)とすると

（１）から（２）を両辺ともに引いて

｛B(n)｝は初項B(1)=A(2)-A(1)=1、公比3の等比数列になる。

あとは等比数列の一般項を求めることになるので、

n-1

A(n)=A(1)+Σ｛B(k)｝

k=1

A(n)=1+{(3^(n-1)-1}/2　となります。

確認すると　A(1)=1, A(2)=2, A(3)=5, A(4)=14となるので恐らく正しいと思います。以上でいいのかなと思います。

＜水の流れ：コメント＞１７日１１時発信　更新２３日

A(1)=1, A(2)=2, A(3)=5, A(4)=14ここまでは正解です。

　以上までの項については、これで良いのですが、この後は、うまくいっていないはずです。

　それと、漸化式は、今の高校教育では習っていないタイプです。ヒントは、すでに、私のＨＰの中に載せてあります。

　この数列は、過去３回ほど出てきています。調べるのが大変でしょうが。

ＮＯ２　＜『FIRE』(火事）＞さんからの解答　１７日０時38分受信　２３日更新

先ほどn=２　だけの回答を送った状態では気持ちが悪いので、n=3の場合も何とか考えました。

n=3　の場合について答えは予想できましたが、完全な証明は出来てません。

でもこれ以上は案が浮かばないので、送らせてもらいます。

＜問題２＞の３n個の場合、

n=1の時は１通り

n=2の時は５通り

n=3の時は２１通りになります。

これの説明が面倒ですので、省略させてもらいます。

例えばn=2の場合は、2n個の場合から類推したら漏れなくカウントできます。

そうすると、n=2の時にA(n)の階差数列が初項４、公比４の等比数列になることから、

同様に計算できます。

これから一般項をA(n)とすると

（１）から（２）を両辺ともに引いて

となり、A(n+1)-A(n)を｛B(n)｝とおくと

｛B(n)｝は初項B(1)=A(2)-A(1)=4、公比4の等比数列になる。

あとは等比数列の一般項を求めることになるので、

n-1

A(n)=A(1)+Σ｛B(k)｝

k=1

確認すると　A(1)=1, A(2)=5, A(3)=21となるので恐らく正しいと思いますが、

途中が厳密でないのですが、・・・。以上でいいのかなと思います。

＜水の流れ：コメント＞１７日発信　２３日更新

＜問題２＞の３n個の場合、

n=1の時は１通り（正解）n=2の時は５通り（正解）

n=3の時は２１通り（違っています。まだ考えれます）

問題１と関連はあります。慣れない数式の入力でして、お時間を取らせているのでは

ないかと心配しています。この数列は、数学を教えている者にとっては、有名な数列ですので、お知りおきくだされば、幸いです。

ＮＯ３　＜清川（kiyo）＞さんからの解答　１７日４時09分受信　２３日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。カタラン数になります。

問題１　Ｃ(2n,n)/(n+1) = (2n)!/(n!(n+1)!)

問題２　奇数番のカタラン数が予想されます。

Ｃ(4*n-2,2*n-1)/(2*n)

n=1

1 )

3

2

1

n=2

1 )

5 6

3 4

1 2

2 )

4 6

3 5

1 2

3 )

5 6

2 4

1 3

4 )

4 6

2 5

1 3

5 )

3 6

2 5

1 4

n=3

1)

7 8 9

4 5 6

1 2 3

2)

6 8 9

4 5 7

1 2 3

3)

6 7 9

4 5 8

1 2 3

4)

5 8 9

4 6 7

1 2 3

5)

5 7 9

4 6 8

1 2 3

6)

7 8 9

3 5 6

1 2 4

7)

6 8 9

3 5 7

1 2 4

8)

6 7 9

3 5 8

1 2 4

9)

5 8 9

3 6 7

1 2 4

10)

5 7 9

3 6 8

1 2 4

11)

7 8 9

3 4 6

1 2 5

12)

6 8 9

3 4 7

1 2 5

13)

6 7 9

3 4 8

1 2 5

14)

4 8 9

3 6 7

1 2 5

15)

4 7 9

3 6 8

1 2 5

16)

5 8 9

3 4 7

1 2 6

17)

5 7 9

3 4 8

1 2 6

18)

4 8 9

3 5 7

1 2 6

19)

4 7 9

3 5 8

1 2 6

20)

5 6 9

3 4 8

1 2 7

21)

4 6 9

3 5 8

1 2 7

22)

7 8 9

2 5 6

1 3 4

23)

6 8 9

2 5 7

1 3 4

24)

6 7 9

2 5 8

1 3 4

25)

5 8 9

2 6 7

1 3 4

26)

5 7 9

2 6 8

1 3 4

27)

7 8 9

2 4 6

1 3 5

28)

6 8 9

2 4 7

1 3 5

29)

6 7 9

2 4 8

1 3 5

30)

4 8 9

2 6 7

1 3 5

31)

4 7 9

2 6 8

1 3 5

32)

5 8 9

2 4 7

1 3 6

33)

5 7 9

2 4 8

1 3 6

34)

4 8 9

2 5 7

1 3 6

35)

4 7 9

2 5 8

1 3 6

36)

5 6 9

2 4 8

1 3 7

37)

4 6 9

2 5 8

1 3 7

38)

3 8 9

2 6 7

1 4 5

39)

3 7 9

2 6 8

1 4 5

40)

3 8 9

2 5 7

1 4 6

41)

3 7 9

2 5 8

1 4 6

42)

3 6 9

2 5 8

1 4 7 　 今後とも宜しくお願いします。

＜水の流れ：コメント＞１７日発信　更新２３日

　そうです。清川さんにとっては、カタラン数はお手のものですが、カタランの作問できた喜びは、自分ながらちょっと、嬉しくなります。根本が分かっていれば、いろいろと出来るものですね。

問題２は、それでは、３段積みのときは、一体どうなるだろうと拡げてみなくなったのです。これで、４段積みや、５段積みが

可能になってきそうですありがとうございます。まだ、カタランの問題はストックがありませけど、いずれ出題します。時期を見てね。

　さて、解答のアップは時期を見て行いますので、ちょっとお許しください。

ＮＯ４　＜清川（kiyo）＞さんからの解答　１７日17時53分受信　２３日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

４段の場合（４ｎ個）　a(n) = 12*(4n)!/(n!(n+1)!(n+2)!(n+3)!)

今後とも宜しくお願いします。

ID Number: A005790 (Formerly M4954)

Sequence: 1,　14,　462,　24024,　1662804,　140229804,　13672405890,　1489877926680,　177295473274920

Name: 4-dimensional Catalan numbers.

References Snover, Stephen L.; Troyer, Stephanie F.; A four-dimensional

Catalan　formula. Proceedings of the Nineteenth Manitoba Conference　on

Numerical Mathematics and Computing (Winnipeg, MB, 1989).

Congr.　Numer. 75 (1990), 123-126.

Formula: a(n) = 12(4n)!/n!(n+1)!(n+2)!(n+3)!.

　　　　　　　　 G.f.: 4_F_3 ( [ 1,3/2,5/4,7/4]; [ 3,4,5 ]; 256 x ).

Keywords: nonn.easy

Offset: 1

Author(s): njas

＜太郎さんのコメント＞：本当にありがとうございます。やはり、素敵なお友達がいることは、助かります。サンクス