［多項式展開係数］

太郎さんは、先日生徒から。「ニュートンの２項定理って、何ですか。」と聞かれました。すぐには答えられませんでしたが、パスカル（フランス：1623〜1662）の三角形が出てくる２項係数を思い出して、（ａ＋ｂ）^ｎの２項定理を言いました。ただし、このｎは正の整数です。しかし、ニュートン（イギリス：1642〜1727）と名前が出ているので、２項定理の発見者はニュートンかしらと疑問に思っていました。そこで、文献で調べてみました。

　文学、物理学、気象学の分野で多彩な業績を残したパスカルは、数学においても、数多くの成果をあげています。転がる円盤の一点が描くサイクロイドの研究はや、フェルマー（フランス：1601〜1665）と共同で行った確率の研究は、特に優れたものです。パスカルは確率の研究から、２項式の展開（ａ＋ｂ）^ｎ　において、係数の規則性を発見しました。これが、これがいわゆるパスカルの三角形と言われる魔法の三角形です。多くの人は、ものご存じですので、割愛します。１６５４年に発案しました。

　実はこの三角形は中国で古くから知られていました。朱世傑の著書で１３０３年頃書かれた「四元玉鑑」を見ると、すでに２項展開したときの係数が書かれています。これは、高次方程式を解くにあたって使用されていました。また、ヨーロッパでも１６世紀の数学者、カルダノ（イタリア：1501〜1576）らが知っていて、３次行程式や４次方程式の解法に使ったいました。

　弱冠２３歳のニューートンが、１６６５年の初めに、パスカルの発見した「２項定理」の指数ｎを拡張して、正の整数から、負の整数、分数まで拡げ、無限級数にまで発展させている。　αが任意の実数のとき、（１＋ｘ）＾αをベキ級数に展開できる公式を「ニュートンの２項定理」と言います。この係数は組み合わせの記号Ｃ（ｎ、ｒ）と書きますが、ｎが正整数でないと組み合わせの意味がなくなりますが、ｎ＝α，ｒ＝ｎとして、２項係数は、α(α-1)(α-2)(α-3）・・・(α-ｎ＋１）／ｎ！＝｛α，ｎ｝と表します。例えば、α＝−１のとき、１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋・・・＋ｘ^ｎ＋・・・＝１／(１−ｘ) となることです。

　で、いろいろと文献を見て、次のような問題を考えてみました。まず、３項式（１＋ｘ＋ｘ^２）^ｎの展開係数を見て下さい。

ｎ＝０，１，２，３，４，５，・・・と展開すると、パスカルの三角形は２項式（１＋ｘ）^ｎの展開係数ですが、似たような奇妙な数列がでてきます。一度見て下さい。（この三角形をコミカルな三角形と呼びましょう。）

　　　　　　　　 （１＋ｘ＋ｘ２）ｎの係数

ｎ＝０・・・　　　　　　　　　　 １

ｎ＝１・・・　　　　　　　 　１　１ １

ｎ＝２・・・ 　　　　　１ ２ ３ ２ １

ｎ＝３・・・　　　 １ ３ ６ ７ ６ ３ １

　　　　・・・ ・・・ Ｐ（ｎ、ｒ） ・・・ ・・・　

　この数字をＰ（ｎ、ｒ）で表すことにします。

ただし、ｎ＝０，１，２，３，・・・・、０≦ｒ≦２ｎ　とする。

また、Ｐ（ｎ、０）＝１、Ｐ（ｎ、１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎー１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎ）＝１　とする。

すると、このコミカルの三角形は

ここからが、今回の問題です。次の初項から第ｋ項までの和をｋで表してください。

皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。