平成１２年１２月１０日

［サイコロの積］

太郎さんは、本を読んでいて大変素数に興味を持っています。ある合成数が何個の素数の積でできているかなどです。例えば、１桁の自然数の場合は、８＝２×２×２　で素数３個から合成されています。素数の個数としてはこの８が最大です。

２桁の自然数の場合は、６４＝２^６で２という素数６個から合成されています。他に６個の素数からできている合成数は、９６＝２^５×３　があります。これが２桁の自然のとき素数の個数は最大です。

　さて、サイコロの目の積の目を通してみます。「１の目」は素数０個、「２の目、３の目、５の目」は素数１個、「４の目」は４＝２×２で２個、「６の目」は６＝２×３で同じく２個から成り立っています。

　ここで、問題です。大きさの異なる３つのサイコロを同時に投げて、出た目の積をＰとする。Ｐを素因数分解したとき、素数の個数で分類すると、目の積は何通りあるか。全部で６×６×６＝２１６通りを順に考えてください。

問題１：素数が１個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題２：素数が２個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題３：素数が３個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題４：素数が４個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題５：素数が５個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題６：素数が６個からなっているＰの出方は何通りですか。

問題７：　次のある考え方をすると、鮮やかに上の問題の答えを導いてくれます。これを考えてください。

問題８：さらに、大きさの異なる５つのサイコロを同時に投げて、出た目の積をＰとする。Ｐを素因数分解したとき、素数の個数を数えたら、８個になりました。こんなＰの出方は何通りですか。勿論、６^５＝７７７６通り中での分類になります。

皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。