平成１２年１２月１７日
[流れ星]
第６５回数学的な応募問題
＜解答募集期間：1２月１０日〜１２月２４日＞
［サイコロの積］
太郎さんは、本を読んでいて大変素数に興味を持っています。ある合成数が何個の素数の積でできているかなどです。例えば、１桁の自然数の場合は、８＝２×２×２ で素数３個から合成されています。素数の個数としてはこの８が最大です。
２桁の自然数の場合は、６４＝２６ で２という素数６個から合成されています。他に６個の素数からできている合成数は、９６＝２５×３ があります。これが２桁の自然のとき素数の個数は最大です。
さて、サイコロの目の積の目を通してみます。「１の目」は素数０個、「２の目、３の目、５の目」は素数１個、「４の目」は４＝２×２で２個、「６の目」は６＝２×３で同じく２個から成り立っています。
ここで、問題です。大きさの異なる３つのサイコロを同時に投げて、出た目の積をＰとする。Ｐを素因数分解したとき、素数の個数で分類すると、目の積は何通りあるか。全部で６×６×６＝２１６通りを順に考えてください。
問題１：素数が１個からなっているＰの出方は何通りですか。
問題２：素数が２個からなっているＰの出方は何通りですか。
問題３：素数が３個からなっているＰの出方は何通りですか。
問題４：素数が４個からなっているＰの出方は何通りですか。
問題５：素数が５個からなっているＰの出方は何通りですか。
問題６：素数が６個からなっているＰの出方は何通りですか。
問題７： 次のある考え方をすると、鮮やかに上の問題の答えを導いてくれます。これを考えてください。
問題８：さらに、大きさの異なる５つのサイコロを同時に投げて、出た目の積をＰとする。Ｐを素因数分解したとき、素数の個数を数えたら、８個になりました。こんなＰの出方は何通りですか。勿論、６５＝７７７６通り中での分類になります。
ＮＯ１＜浜田＞さんの解答 12月13日8時47分受信 17日更新
サイコロの積の問題解答
いつものようにエクセルのマクロで解きました．現在このソフトが一番数学の問題を解くのに適しているような気がします．答の表示が簡単なのです．
このマクロにより，素数の個数が次のように表示されます．
1,3,2
1,6,13,12,4
1,9,33,63,66,36,8
1,12,62,180,321,360,248,96,16
1,15,100,390,985,1683,1970,1560,800,240,32
1,18,147,720,2355,5418,8989,10836,9420,5760,2352,576,64
1,21,203,1197,4809,13923,29953,48639,59906,55692,38472,19152,6496,1344,128
1,24,268,1848,8806,30744,81340,166344,265729,332688,325360,245952,140896,59136,17152,3072,256
1,27,342,2700,14886,60858,191184,471852,927441,1462563,1854882,1887408,1529472,973728,476352,172800,43776,6912,512
1,30,425,3780,23670,110916,403530,1167120,2725365,5188590,8097453,10377180,10901460,9336960,6456480,3549312,1514880,483840,108800,1536 0,1024
上の数列において，ｎ行目ｍ列目の数が，サイコロｎ個の積において，素数が(ｍ−１)個からなっているＰの出方を表しています．
したがって答は，
問題１：９通り
問題２：３３通り
問題３：６３通り
問題４：６６通り
問題５：３６通り
問題６：８通り
問題８：８００通り
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim n As Integer
Dim kotae(20) As Long
Dim j(10) As Integer
Dim i As Integer
For n = 1 To 10
For i = 0 To 2 * n
kotae(i) = 0
Next i
Call check(n, 1, j(), kotae())
For i = 0 To 2 * n
Cells(n, i + 1).Value = kotae(i)
Next i
Next n
End Sub
Sub check(ByVal n As Integer,
ByVal m As Integer, ByRef j() As Integer, ByRef kotae() As Long)
Dim wa As Integer
Dim i As Integer
j(m) = 1
While j(m) <= 6
If m < n Then
Call check(n, m + 1, j(), kotae())
Else
wa = 0
For i = 1 To n
wa = wa + f(j(i))
Next i
kotae(wa) = kotae(wa) + 1
End If
j(m) = j(m) + 1
Wend
End Sub
Private Function f(ByVal n As
Integer) As Integer
Select Case n
Case 1 '1
f = 0
Case 2 '2
f = 1
Case 3 '3
f = 1
Case 4 '2*2
f = 2
Case 5 '5
f = 1
Case Else '2*3
f = 2
End Select
End Function
ＮＯ２＜Ｉｇａ＞さんからの解答 12月14日15時53分受信 17日更新
２回目の応募のIgaです。よろしくお願いします。
今回の問題も、素直に数えれば何とかできそうなのでチャレンジしました。
Ｐを素因数分解したときの素数の個数は、３つのさいころの目それぞれの素数の個数の和になっているので、その組み合わせを数えることにしました
問題０ 素数が０個からなっているＰの出方は何通りですか
素数が０個からなるＰは３つのさいころとも「１の目」がでたときだけなので、１通り。
問題１ 素数が１個からなっているＰの出方は何通りですか
Ｐが素数１個からなっているのは、３つのさいころのうち、ひとつだけが素数１個の目で、
他の２個は１の目（素数０個）のときである。この組み合わせを［１，０，０］と表すことにします。
また、素数１個からなる目の出方は「２の目、３の目、５の目」の３通りで、素数０個の目は「１の目」しかないので１通り。
さらに、素数１個の目が３つのうちどのさいころにでるかの場合の数は、 ＜１，０，０＞、＜０，１，０＞、＜０，０，１＞ の３通りなので、
［１，０，０］ ⇒ （３×１×１）×３＝９通り
問題２ 素数が２個からなっているＰの出方は何通りですか
Ｐが素数２個からなるのは、３つのさいころのうち、１つのさいころが素数２個からなる目が出て
他の２個が１の目（素数０個）がでる場合と、２つのさいころにそれぞれ素数１個の目が出て、
残りの１個が１の目（素数０個）がでたときである。
○［２，０，０］の場合
素数が２個の目は「４の目、６の目」の２通り。
３つのさいころの場合の数が３通りであるから、
（２×１×１）×３＝６通り
○［１，１，０］の場合
前述の問題１のように素数１個の目の出方は３通り。
３つのさいころの場合の数が３通りであるから、
したがって、（３×３×１）×３＝２７通り
以上よりＰが素数２個からなるのは、６＋２７＝３３通り
問題３ 素数が３個からなっているＰの出方は何通りですか
１つのさいころの目で素数３つからなるものはないので、素数３個からなるＰの出方は、
（素数２個の目、素数１個の目、１の目）と（素数１個の目、素数１個の目、素数１個の目）の２つの場合である。
○［２，１，０］の場合
３つのさいころの場合の数が６通りであるから、
⇒ （２×３×１）×６＝３６
○［１，１，１］の場合 ⇒ （３×３×３）＝２７
以上より、３６＋２７＝６３通り
問題４ 素数が４個からなっているＰの出方は何通りですか。
同様に考えて、
○［２，２，０］の場合 ⇒ （２×２×１）×３＝１２
○［２，１，１］の場合 ⇒ （２×３×３）×３＝５４
以上より ５４＋１２＝６６
問題５ 素数が５個からなっているＰの出方は何通りですか。
○［２，２，１］の場合だけなので ⇒ （２×２×３）×３＝３６通り
問題６ 素数が６個からなっているＰの出方は何通りですか。
○［２，２，２］の場合だけなので ⇒ （２×２×２）＝８通り
※確認 問題０〜問題６の場合の数を合計すると
１＋９＋３３＋６３＋６６＋３６＋８＝ ２１６通り
問題８ さらに、大きさの異なる５つのサイコロを同時に投げて、出た目の積をＰとする。Ｐを素因数分解したとき、
素数の個数を数えたら、８個になりました。こんなＰの出方は何通りですか。勿論、６５＝７７７６通り中での分類になります。
５つの｛０，１，２｝の組み合わせで合計を８にする方法は［１，１，２，２，２］、［２，２，２，２，０］の２通り
○［１，１，２，２，２］の場合
５つのさいころの目の出方の場合の数は１０通りなので
（３×３×２×２×２）×１０＝７２０
○［２，２，２，２，０］の場合
５つのさいころの目の出方の場合の数は５通りなので
（２×２×２×２×１）×５＝８０
以上より、Ｐが８個の素数からなるのは ７２０＋８０＝８００通り
以上です。問題７については、うまい考え方が浮かびませんでした。
よろしくお願いします。
＜水の流れ：コメント＞うまい出し方は、多項式の展開係数の中にでてきます。考えてください。
