[流れ星]

　　　　　　　　第６７回数学的な応募問題

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：1月１４日〜１月２８日＞

　　　　　　　　　　　　　［お年玉２］

いつものように，エクセルのマクロでプログラムを作ってみました．計算だけの問題であるならば，データ表示も簡単なので，エクセルが一番だと思います．図形表示が必要であるならば，VISUAL BASICが最適でしょう．
ｎ枚をｒ人（１≦ｎ≦７，１≦ｒ≦２０）で取る場合の組合せを計算するものです．計算結果は以下の通り．ｒ行ｎ列の成分で表しています．
2 3 4 5 6 7 8
3 6 10 15 21 28 36
4 10 20 35 56 84 120
5 15 35 70 126 210 330
6 21 56 126 252 462 792
7 28 84 210 462 924 1716
8 36 120 330 792 1716 3432
9 45 165 495 1287 3003 6435
10 55 220 715 2002 5005 11440
11 66 286 1001 3003 8008 19448
12 78 364 1365 4368 12376 31824
13 91 455 1820 6188 18564 50388
14 105 560 2380 8568 27132 77520
15 120 680 3060 11628 38760 116280
16 136 816 3876 15504 54264 170544
17 153 969 4845 20349 74613 245157
18 171 1140 5985 26334 100947 346104
19 190 1330 7315 33649 134596 480700
20 210 1540 8855 42504 177100 657800
21 231 1771 10626 53130 230230 888030
　この表は明らかにパスカルの三角形の辺上の数を除いたものになっています．ｒ行ｎ列の成分をａr,nとすると，
　　ａ1,1＝₂Ｃ₁，ａ1,2＝₃Ｃ₂，ａ1,3＝₄Ｃ₃，・・・
　　ａ2,1＝₃Ｃ₁，ａ2,2＝₄Ｃ₂，ａ2,3＝₅Ｃ₃，・・・
　　ａ3,1＝₄Ｃ₁，ａ3,2＝₅Ｃ₂，ａ3,3＝₆Ｃ₃，・・・
　　・・・
　したがって，
　　ａr,n＝n+rＣn　　となるでしょう．
　つまり，ｎ枚をｒ人で取る組合せは，　n+rＣn通りとなります．
　答は，
問題１：₅₊₃Ｃ₅＝５６
問題２：_n+3Ｃ_n
問題３：_5+rＣ₅
問題４：_n+rＣ_n　となります．
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim j(20) As Integer '****
Dim n As Integer
Dim r As Integer
For n = 1 To 7 '****
For r = 1 To 20 '****
Cells(r, n).Value = 0
Next r
For r = 1 To 20 '****
Call check(n, r, 1, j())
Next r
Next n
End Sub
Sub check(ByVal n As Integer, ByVal r As Integer, ByVal m As Integer, ByRef j() As Integer)
Dim max As Integer
Dim i As Integer
max = n '****
For i = 1 To m - 1
max = max - j(i)
Next i
j(m) = 0
While j(m) <= max
If m < r Then
Call check(n, r, m + 1, j())
Else
Cells(r, n).Value = Cells(r, n).Value + 1
End If
j(m) = j(m) + 1
Wend
End Sub
＜水の流れ：コメント＞問題１：３人の取った枚数をそれぞれｘ、ｙ、ｚとおくと、
ｘ＋ｙ＋ｚ≦５でｘ≧０，ｙ≧０、ｚ≧０の整数解の組に等しい。
よって、重複組み合わせの考え方で、_３Ｈ_０＋_３Ｈ_１＋_３Ｈ_２＋_３Ｈ_３＋_３Ｈ_４＋_３Ｈ_５
＝_２Ｃ_０＋_３Ｃ_１＋_４Ｃ_２＋_５Ｃ_３＋_６Ｃ_４＋_７Ｃ_５
＝１＋３＋６＋１０＋１５＋２１
＝５６（＝_８Ｃ_５）　　・・・パスカルの三角形の性質から

問題２：３人の取った枚数をそれぞれｘ、ｙ、ｚとおくと、
ｘ＋ｙ＋ｚ≦ｎでｘ≧０，ｙ≧０、ｚ≧０の整数解の組に等しい
よって、重複組み合わせの考え方で、_３Ｈ_０＋_３Ｈ_１＋_３Ｈ_２＋・・・＋_３Ｈ_ｎ
＝_２Ｃ_０＋_３Ｃ_１＋_４Ｃ_２＋・・・＋_ｎ＋２Ｃ_ｎ
＝_ｎ＋３Ｃ_ｎ＝_ｎ＋３Ｃ_３・・・パスカルの三角形の性質から
＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)／６

問題３：ｒ人の取った枚数をそれぞれｘ_１、ｘ_２、ｘ_３・・・、ｘ_ｒとおくと、
ｘ_１＋ｘ_２＋ｘ_３＋・・・＋ｘ_ｒ≦５でｘ_１≧０，ｘ_２≧０，・・・、ｘ_ｒ≧０の整数解の組に等しい
よって、重複組み合わせの考え方で、_ｒＨ_０＋_ｒＨ_１＋_ｒＨ_２＋・・・＋_ｒＨ_５
＝_ｒ−１Ｃ_０＋_ｒＣ_１＋_ｒ＋１Ｃ_２＋・・・＋_ｒ＋４Ｃ_５
＝_ｎ＋５Ｃ_５＝_ｎ＋５Ｃ_５・・・パスカルの三角形の性質から
＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)(ｎ＋４)(ｎ＋５)／１２０

問題ｒ４：ｒ人の取った枚数をそれぞれｘ_１、ｘ_２、ｘ_３・・・、ｘ_ｒとおくと、
ｘ_１＋ｘ_２＋ｘ_３＋・・・＋ｘ_ｒ≦ｎでｘ_１≧０，ｘ_２≧０，・・・、ｘ_ｒ≧０の整数解の組に等しい
よって、重複組み合わせの考え方で、_ｒＨ_０＋_ｒＨ_１＋_ｒＨ_２＋・・・＋_ｒＨ_ｎ
＝_ｒ−１Ｃ_０＋_ｒＣ_１＋_ｒ＋１Ｃ_２＋・・・＋_{ｎ＋ｒ―１}Ｃ_ｎ
＝_ｎ＋ｒＣ_ｎ・・・パスカルの三角形の性質から

　　　　＜自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

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