２１世紀：平成１３年２月４日
[流れ星]
第６８回数学的な応募問題
＜解答募集期間：２月４日〜２月１８日＞
［３の倍数］
太郎さんは、先日１年生対象に実力テスト問題を作りました。「私の一日」の２月１日のをご覧ください。
そこで、同じような問題を作りました。
数字１，２，３，４，５，６，７，８，９の９個から異なるｋ個の整数を選んで並べたｋ桁の整数を作ったとき、
次のように桁数に応じて、３の倍数ができる確率を求めよ。
問題１：ｋ＝１、２、３のとき、
問題２：ｋ＝４，５，６のとき、
問題３：ｋ＝７，８，９のとき
問題４：何か発見できたことを教えてください。
問題５：トランプのダイヤのカード１３枚（ただし、Ｊ、Ｑ、Ｋは１１，１２，１３と考える）から、同時に３枚を取り出すとき、
その３枚のカードの和が１３の倍数になる確率を求めよ。
（ヒント：問題４で発見したことを利用すると鮮やかに解けます。勿論、場合分けしても良いです。）
参考問題
数字０，１，２，３，４，５，６から３桁の整数Ｎをつくる。
Ｎの百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとする。
次の条件を満たすＮは全部で何個あるか、答えなさい。
（１）異なる数字でできる整数Ｎは全部で何個か。
（２）数字の重複を許してできる整数Ｎは全部で何個か。
（３）ａ＞ｂ＞ｃを満たすＮは全部で何個か。
（４）ａ＜ｂ＜ｃを満たすＮは全部で何個か。
（５）ａ≧ｂ≧ｃを満たすＮは全部で何個か。
（６）異なる数字でできるＮの中で、３の倍数は全部で何個か。
解説（１）ａは０を除く６通り、ｂ、ｃはａに入れた数字を除いた６個から２つ選んで並べて
、 ６×６Ｐ５ ＝６×６×５＝１８０（個）
（２）ａは０を除く６通り、ｂ、ｃは重複を許すので、７個から選んで並べて、
６×７×７＝２９４（個）
（３） ７個の数字から３つ選んでくると、１通りの大小関係ができる。
しかも、ａは一番大きな数字だから、 決して０にならない。
よって、 ７Ｃ３ ＝７×６×５÷（３×２×１）＝３５（個）
（４） ７個の数字から３つ選んでくると、１通りの大小関係ができる。
しかし、ａは一番小さな数字だから、 ０になりうる。
ここで、始めから、０を除いた６個の数字から３つ選んでおけばよい。
よって、 ６Ｃ３ ＝６×５×４÷（３×２×１）＝２０（個）
＜別解＞ 最初に０を含めた７の数字から３つ選んで、Ｎを作ると、 ７Ｃ３ ＝３５個できる。
ここから、ａが０となっている場合、６つ数字から２つ選んでｂ、ｃに入れるのは、
６Ｃ２ ＝６×５÷（２×１）＝１５個を除いて、７Ｃ３ −６Ｃ２＝３５−１５＝２０（個）
（５）７個の数字から重複を許して、３つ選んでくると、１通りの大小関係ができる。
しかし、ａ＝ｂ＝ｃ＝０だけは３桁の数字と言わないから、１通り除く。
よって、７Ｈ３ −１＝ ９Ｃ３−１＝９×８×７÷（３×２×１）−１＝84−１＝８３（個）
（６）３で割った余りで、分類します。
Ａ０＝｛０，３，６｝，Ａ１＝｛１，４｝，Ａ２＝｛２，５｝とおくと、Ｎが３の倍数であることは、
各位の数字の和が３の倍数ということと同じ。
そこで、余りが和が３の倍数であればよい。Ａ０＋Ａ０＋Ａ０ 、Ａ０＋Ａ１＋Ａ２、の場合しかないので、
（ａ、ｂ、ｃ）の組としては、Ａ０＋Ａ０＋Ａ０ からの（０，３，６）の ３Ｃ３＝１
Ａ０＋Ａ１＋Ａ２からは、 ３Ｃ１× ２Ｃ１× ２Ｃ１＝３×２×２＝１２
さて、上の組の中で、０を含むものはＡ０ から０を取ってきたときだから ４組ある。
従って、計５組は０を１つ含んでいる。ここから３桁の整数は２×２×１＝４
また、残りの８組からは０が無いので、３桁の整数は３！＝６
よって、 ４×５＋６×８＝６８（個）
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
