２１世紀：平成１３年２月４日
[流れ星]
第６８回数学的な応募問題
＜解答募集期間：２月４日〜２月１８日＞
［３の倍数］
太郎さんは、先日１年生対象に実力テスト問題を作りました。「私の一日」の２月１日のをご覧ください。
そこで、同じような問題を作りました。
数字１，２，３，４，５，６，７，８，９の９個から異なるｋ個の整数を選んで並べたｋ桁の整数を作ったとき、
次のように桁数に応じて、３の倍数ができる確率を求めよ。
問題１：ｋ＝１、２、３のとき、
問題２：ｋ＝４，５，６のとき、
問題３：ｋ＝７，８，９のとき
問題４：何か発見できたことを教えてください。
問題５：トランプのダイヤのカード１３枚（ただし、Ｊ、Ｑ、Ｋは１１，１２，１３と考える）から、同時に３枚を取り出すとき、
その３枚のカードの和が１３の倍数になる確率を求めよ。
（ヒント：問題４で発見したことを利用すると鮮やかに解けます。勿論、場合分けしても良いです。）
参考問題
数字０，１，２，３，４，５，６から３桁の整数Ｎをつくる。
Ｎの百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとする。
次の条件を満たすＮは全部で何個あるか、答えなさい。
（１）異なる数字でできる整数Ｎは全部で何個か。
（２）数字の重複を許してできる整数Ｎは全部で何個か。
（３）ａ＞ｂ＞ｃを満たすＮは全部で何個か。
（４）ａ＜ｂ＜ｃを満たすＮは全部で何個か。
（５）ａ≧ｂ≧ｃを満たすＮは全部で何個か。
（６）異なる数字でできるＮの中で、３の倍数は全部で何個か。
解説（１）ａは０を除く６通り、ｂ、ｃはａに入れた数字を除いた６個から２つ選んで並べて
、 ６×６Ｐ５ ＝６×６×５＝１８０（個）
（２）ａは０を除く６通り、ｂ、ｃは重複を許すので、７個から選んで並べて、
６×７×７＝２９４（個）
（３） ７個の数字から３つ選んでくると、１通りの大小関係ができる。
しかも、ａは一番大きな数字だから、 決して０にならない。
よって、 ７Ｃ３ ＝７×６×５÷（３×２×１）＝３５（個）
（４） ７個の数字から３つ選んでくると、１通りの大小関係ができる。
しかし、ａは一番小さな数字だから、 ０になりうる。
ここで、始めから、０を除いた６個の数字から３つ選んでおけばよい。
よって、 ６Ｃ３ ＝６×５×４÷（３×２×１）＝２０（個）
＜別解＞ 最初に０を含めた７の数字から３つ選んで、Ｎを作ると、 ７Ｃ３ ＝３５個できる。
ここから、ａが０となっている場合、６つ数字から２つ選んでｂ、ｃに入れるのは、
６Ｃ２ ＝６×５÷（２×１）＝１５個を除いて、７Ｃ３ −６Ｃ２＝３５−１５＝２０（個）
（５）７個の数字から重複を許して、３つ選んでくると、１通りの大小関係ができる。
しかし、ａ＝ｂ＝ｃ＝０だけは３桁の数字と言わないから、１通り除く。
よって、７Ｈ３ −１＝ ９Ｃ３−１＝９×８×７÷（３×２×１）−１＝84−１＝８３（個）
（６）３で割った余りで、分類します。
Ａ０＝｛０，３，６｝，Ａ１＝｛１，４｝，Ａ２＝｛２，５｝とおくと、Ｎが３の倍数であることは、
各位の数字の和が３の倍数ということと同じ。
そこで、余りが和が３の倍数であればよい。Ａ０＋Ａ０＋Ａ０ 、Ａ０＋Ａ１＋Ａ２、の場合しかないので、
（ａ、ｂ、ｃ）の組としては、Ａ０＋Ａ０＋Ａ０ からの（０，３，６）の ３Ｃ３＝１
Ａ０＋Ａ１＋Ａ２からは、 ３Ｃ１× ２Ｃ１× ２Ｃ１＝３×２×２＝１２
さて、上の組の中で、０を含むものはＡ０ から０を取ってきたときだから ４組ある。
従って、計５組は０を１つ含んでいる。ここから３桁の整数は２×２×１＝４
また、残りの８組からは０が無いので、３桁の整数は３！＝６
よって、 ４×５＋６×８＝６８（個）
＜浜田＞さんからの解答 ２月２０日１１時１７分受信 ２月２０日更新
遅くなりました．
規則性は見えなかったのですが，とりあえずプログラムだけ送ります．エクセルのマクロで作りました．
問題１〜３
k=1 -> 1/3
k=2 -> 1/3
k=3 -> 5/14
k=4 -> 1/3
k=5 -> 1/3
k=6 -> 5/14
k=7 -> 1/3
k=8 -> 1/3
k=9 -> 1
問題５
1/13
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim j(9) As Integer
Dim kosuu(1, 9) As
Long
Dim g As Long
Dim i As Integer
For i = 1 To 9
Cells(i,
1).Value = I
Cells(i,
2).Value = ""
Cells(i,
3).Value = ""
kosuu(0,
i) = 0
kosuu(1,
i) = 0
Next I
Call check(1, j(),
kosuu())
For i = 1 To 9
g =
GCM(kosuu(0, i), kosuu(1, i))
Cells(i,
2).Value = kosuu(1, i) / g
Cells(i, 3).Value = kosuu(0, i) / g
Next I
End Sub
Sub check(ByVal n As Integer, ByRef j() As Integer, ByRef kosuu() As Long)
Dim wa As Integer
Dim i As Integer
j(n) = 1
While j(n) <= 9
If dame(n, j()) = 0
Then
kosuu(0, n) =
kosuu(0, n) + 1
wa = 0
For i = 1 To n
wa = (wa + j(i)) Mod
3
Next I
If wa = 0 Then
kosuu(1, n) =
kosuu(1, n) + 1
End If
If n < 9 Then
Call check(n + 1,
j(), kosuu())
End If
j(n) = j(n) + 1
Wend
End Sub
Private Function dame(ByVal n As Integer, ByRef j() As Integer) As Integer
Dim i As Integer
dame = 0
i = 1
While dame = 0 And i
< n
dame =
-(j(i) = j(n))
i = i + 1
Wend
End Function
Private Function GCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long) As Long
If b = 0 Then
GCM = a
Else
GCM =
GCM(b, a - Int(a / b) * b)
End If
End Function
Sub Macro2()
Dim j(3) As Integer
Dim kosuu(1) As Long
Dim g As Long
Dim i As Integer
Cells(1, 1).Value =
""
Cells(1, 2).Value =
""
kosuu(0) = 0
kosuu(1) = 0
Call check(1, j(),
kosuu())
g = GCM(kosuu(0),
kosuu(1))
Cells(1, 1).Value =
kosuu(1) / g
Cells(1, 2).Value =
kosuu(0) / g
Sub check(ByVal n As Integer, ByRef j() As Integer, ByRef kosuu() As Long)
Dim wa As Integer
Dim i As Integer
j(n) = 1
While j(n) <= 13
If dame(n, j()) = 0
Then
If n < 3 Then
Call check(n + 1,
j(), kosuu())
Else
kosuu(0) = kosuu(0) +
1
wa = 0
For i = 1 To 3
wa = (wa + j(i)) Mod
13
Next I
If wa = 0 Then
kosuu(1) = kosuu(1) +
1
End If
End If
End If
j(n) = j(n) + 1
Wend
End Sub
Private Function dame(ByVal n As Integer,
ByRef j() As Integer) As Integer
Dim i As Integer
dame = 0
i = 1
While dame = 0 And i
< n
dame = -(j(i) = j(n))
i = i + 1
Wend
End Function
Private Function GCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long) As Long
If b = 0 Then
GCM = a
Else
GCM = GCM(b, a -
Int(a / b) * b)
End If
End Function
＜水の流れ：コメント＞２０日記入
皆さんに感謝しています。さて、規則性ですが、ｋが３と互いに素なら、３の倍数ができる確率は同じ１／３になります。時間をいただければ、その訳を書きたいとおもっています。
＜水の流れ：規則性の解説＞２５日記入
３で割った余りで、分類します。Ａ０＝｛３，６，９｝，Ａ１＝｛１，４，７｝，Ａ２＝｛２，５，８｝とおくと，３で割った余りが０，１，２であるものが同数です。
ｋ＝２の場合を説明します。任意の１つの整数を取り出し、それがたとえば２５だとします。この２５から出発して
各位の数字を１つずつ大きくする（ただし、９→１）ことを繰り返すと、
２５→３６→４７→５８→６９→７１→８２→９３→１４→２５
となり、最初の２５に戻る。２５を含めて９個の整数が得られる。これら９個を１つのグループと考えると、
９Ｐ２個の２桁の整数は、９Ｐ２÷９＝８個のグループに排反に分けられる。
さて、上のグループの場合、３で割った余りは
１→０→２→１→０→２→１→０→２→１ と「１，０，２の繰り返し」になりますが、どのようなグループも
「１，０，２の繰り返し」か「０，２，１の繰り返し」か「２，１，０の繰り返し」となります。上の青の操作により、９で割った余りは２ずつ大きくなり、３で割った余りも２ずつ大きくなる。
ということで、ｋ＝２の場合は３で割った余りが０，１，２のものが同数となるわけです。この考え方からわかるように、ｋが３と互いに素ならば、“同数”がいえて、求める確率は１／３となる。
ｋ＝３，６場合は、３の余りを考えて組み合わせてください。
ｋ＝９のときは、各位の和が１＋２＋３＋・・・＋８＋９＝４５で３の倍数ですから、当然、全部３で割り切れる。確率は１。
次に、問題５についても、最初に３枚のカードを取り出して、それぞれに１を加えていくと、１４個目に戻ってしまう。
同じような考えで、最初に取り出したカードの数の和をｎとすると、
ｎ，ｎ＋３，ｎ＋６，ｎ＋９，ｎ＋１２，ｎ＋１５，ｎ＋１８，ｎ＋２１，ｎ＋２４，ｎ＋２７，ｎ＋３０，ｎ＋３３，ｎ＋３６ の１３個の数を１３で割った余りはすべて異なり、０から１２の１３通りある。この証明は、背理法でおこなう必要があるが。
よって、和が１３の倍数となるような３枚の取り出し方は、すべての取り出し方の１／１３である。
したがって、その確率は、１／１３となる。
