平成１３年３月１８日

［余弦のｎ倍角］

太郎さんは、先日、教科書「数学�U」にある「三角関数」で、加法定理から、正弦、余弦、正接の２倍角の公式を導きました。
さらに、発展させて３倍角の公式をも紹介し、証明しました。
参考に、公式を書いておきます。正接は省略します。
【加法定理】
（１）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
（２）sin(α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ
（３）cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ
（４）cos(α−β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
【２倍角の公式】
（１）sin２α＝２sinαcosα
（２）cos２α＝２cos ^２α−１
【３倍角の公式】
（１）sin３α＝３sinα−４sin ^３α＝sinα(４cos ^２α−１)
（２）cos３α＝４cos ^３α−３cosα

そこで、生徒から、「先生！では、４倍角、５倍角、・・・、の定理を教えてください」と、嬉しい質問を受けました。
そのときは、「あるよ、でもあまり使わないからね、加法定理や２倍角、３倍角を使って導くことはできます。
自分でやってチャレンジしておいてください。」とその場をやり過ごしましたが、気になっています。

　太郎さんは、生徒の質問に答えねばなりません。太郎さんが高校生のときのノートを見ていたら、【ド・モアブルの定理】が書きてありました。そこに、ヒントらしきものがありました。
（cosθ＋ｉsinθ）^ｎ＝cos (ｎθ)＋ｉsin (ｎθ)

さらに、cos (ｎθ)を　cosθ＝ｘの多項式で表したｎ次式をＴ_ｎ(ｘ)とします。
sin (ｎθ)を sinθ×｛cosθ＝ｘの多項式｝＝sinθ×Ｇ_ｎ(ｘ)とします。
では、問題です。
問題１：ｎ＝２のとき、Ｔ_２(ｘ)、Ｇ_２(ｘ)をｘで表してください。
問題２：ｎ＝３のとき、Ｔ_３(ｘ)、Ｇ_３(ｘ)をｘで表してください。
問題３：ｎ＝４のとき、Ｔ_４(ｘ)、Ｇ_４(ｘ)をｘで表してください。
問題４：Ｔ_ｎ(ｘ)をＴ_ｎ―１(ｘ)とＧ_ｎ―１(ｘ)の漸化式で表してください。
問題５：Ｇ_ｎ(ｘ)をＴ_ｎ―１(ｘ)とＧ_ｎ―１(ｘ)の漸化式で表してください。
問題６：Ｔ_ｎ(ｘ)をＴ_ｎ―１(ｘ)とＴ_ｎ―２(ｘ)の漸化式で表してください。
問題７：Ｇ_ｎ(ｘ)をＧ_ｎ―１(ｘ)とＧ_ｎ―２(ｘ)の漸化式で表してください。

皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。