平成１３年６月１５日
[流れ星]
第７６回数学的な応募問題
＜解答募集期間：６月１日〜６月１５日＞
［√ｎに近い整数］
太郎さんは、√ｎ（整数ｎの正の平方根）にもっとも近い整数をａｎと表して、数列｛ａｎ｝を作りました。
実際に、数列を作ってみると、こんな問題ができます。
問題１：ａｎ＝ｋとなるｎの値の範囲をｋで表せ。
問題２：ａｎ＝ｋとなるｎの個数をｋで表せ。
問題３：初項から第2001項までの逆数の和Ｓを求めよ。
すなわち、Ｓ＝1/ａ１＋1/ａ２＋1/ａ３＋・・・＋1/ａ2001
ＮＯ１＜清川(kiyo)＞さんの解答5月31日21：09受信 ６月１５日更新
いつもお世話になっています。kiyoです。
A(n)=|0.5+sqrt(n)|
1) k*(k-1)<n<=k*(k+1)
2) 2k
3) k*(k+1)<=2001 を満たす最大のkは、
k=44
44*45=1980
2001-1980=21
したがって、S=2*44+21/45=1327/15
今後とも宜しくお願いします。
ＮＯ＜浜田＞さんの解答6月1日12：49受信 ６月１５日更新
最も近い整数を，小数点以下を四捨五入してできた整数と解釈する．
問題１：条件から，
０＜ｋ−１／２≦√ｎ＜ｋ＋１／２ であるから，
(ｋ−１／２)^2≦ｎ＜(ｋ＋１／２)^2
ｋ^2−ｋ＋１／４≦ｎ＜ｋ^2＋ｋ＋１／４
ｎ，ｋは整数なので，
ｋ^2−ｋ＋１≦ｎ≦ｋ^2＋ｋ
故にｎはｋ^2−ｋ＋１以上，ｋ^2＋ｋ以下の整数である．
問題２： 問題１から，答は
(ｋ^2＋ｋ)−(ｋ^2−ｋ＋１)＋１＝２ｋ（個）
問題３：
問題２から，ｋ＝１となるｎは２個，ｋ＝２となるｎは４個，ｋ＝３となるｎは６個，……，となる．
ｍを自然数とし，１≦ｋ≦ｍのときのｎの総数が２００１個以下であるとすると，
２＋４＋６＋……＋２ｍ＝ｍ(ｍ＋１)≦２００１
ここで，
４４×４５＝１９８０＜２００１＜４５×４６＝２０７０
であるので，ｍの最大値は４４である．
故に求める和は，
Ｓ＝２／１＋４／２＋６／３＋……＋２×４４／４４＋(２００１−１９８０)／４５
＝２×４４＋２１／４５
＝１３２７／１５
ちなみに問題３は，以下のＵＢＡＳＩＣのプログラムで解くことができる．
10 'asave "76.ub"
20 Wa=0:for N=1 to 2001:Wa+=1//int(sqrt(N)+0.5):next:print
Wa:end
