平成１３年７月２９日

［正七角形］

太郎さんは、校内の実力テスト問題を考えている中で、こんな問題を作りました。
　一辺の長さが１０ｃｍの正七角形ＡＢＣＤＥＦＧがあります。図の中にある２つの対角線ＤＦとＣＧの長さをｘｃｍ、ｙｃｍとするとき、
１／ｘ＋１／ｙの値を求めてください。

答え　１/１０

ＮＯ３＜浜田＞さんからの解答　7/13；8時35分受信　更新7/15

解答が出そろったようなので，投稿します．プログラムで解く方法は邪道です。
精度の高い計算が必要になるだろうと，ＵＢＡＳＩＣで解きました．

この正七角形を，単位円に内接し，Ｅ(１，０)，Ａ，Ｆ，Ｇのｙ座標は正と仮定します．ＥＦの長さを求め，本来は１０cmであることから，相似比を求めます．Ｆ，Ｇのｙ座標の２倍がそれぞれｘ，ｙなので，それらを相似比を使ってます．後は１／ｘ＋１／ｙを計算するのみ．

ＮＯ4＜ kashiwagit＞さんからの解答　7/13；11時55分受信　更新7/15

　当初、正弦や余弦定理を使い、方程式を解けばと思っていましたが、
線の延長できれいに、簡単に解けるのですね。美しさに簡単致しました。

解答
正７角形の中心をOとする。
７個の二等辺三角形の頂角をα、底角をβとする。
CとE、EとGを結び三角形ECGを考えると斜辺がX、底辺がYの二等辺三角形となる。
この三角形の頂角は４β−１８０゜となる。
AGとBCを延長し、その交点をHとすると、∠HABと∠HBAは各々１８０゜−２βなので
三角形HABも二等辺三角形となる。しかも頂角は４β−１８０゜である。
よって、三角形HCGとECGは斜辺がX、底辺がYの合同な二等辺三角形となる。
　三角形HABにおいてHA＝HB＝X−１０であり、三角形HABとHGCは相似であるから、
　X−１０／１０＝Ｘ／Y、これより変形して、１／Ｘ　＋　１／Ｙ　＝１／１０となる。

ＮＯ５＜ 水の流れ＞実力テストの解答　更新7/15

　半径Ｒの円に内接する正七角形を作り、１辺が１０ｃｍの中心角を２θとおく。
（ここで、θ＝180゜/7　となる。）
すると、Ｒsin θ＝５　，ｘ＝２Ｒsin 2θ，ｙ＝２Ｒsin 3θ＝２Ｒsin 4θ
よって、１÷ｘ＋１÷ｙ＝１÷２Ｒsin 2θ＋１÷２Ｒsin 3θ
　　　　　　　　　　　＝（sin 2θ＋sin 3θ）÷（２Ｒsin 2θ×sin 3θ）
　　　　　　　　　　　＝（sin 2θ＋sin 4θ）÷（２Ｒsin 2θ×sin 3θ）・・・この変形が大切
　　　　　　　　　　　＝２sin 3θ×cos θ÷（２Ｒsin 2θ×sin 3θ）
＝１÷２Ｒsin θ
　　　　　　　　　　　＝1/10

皆さんの解答に図を入れると良かったのですが、お許しください。

ＮＯ６＜ 水の流れ＞幾何での解答　更新7/29

皆さんは、円に内接する四角形ＡＢＣＤについて、「トレーミの定理」があることをご存じですか。
　２組の対辺の長さの積の和が２つの対角線の長さの積に等しいというものです。
　ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＡＤ＝ＡＣ・ＢＤ

ＮＯ7＜ Ｈｉｄｅ＞さんからの複素数での解答　H14年２月19日受信　更新H14年２月20日

ホームページ拝見しました。応募期間が過ぎているのですが、連続応募問題のNo.78について、よろしいでしょうか。
同じ問題が証明問題として予備校のテキストで出題されていたものですから。
解答　正七角形ABCDEFGのABの中点をMとし、MEを虚軸、外接円の中心を原点とする複素数平面を考えると
1/10 = 1/x + 1/y　
という関係が非常に簡単に出てきます。

ＮＯ8＜ Ｈｉｄｅ＞さんからの複素数での詳細な解答　H14年２月20日受信　更新H14年２月21日

zのn+1乗を z^(n+1)と書きます。複素数平面で単位円に内接する正七角形ABCDEFGを考えます。
　Aが1を表す点としますと、B,C,D,E,F,Gは　z = cos(2π/7) + isin(2π/7)としてそれぞれ　z,z^2,z^3,z^4,z^5,z^6 と表せます。
ここで、今示したいのは　1/BG + 1/CF = 1/DE です。
ここでは、1/BG + 1/CF - 1/DE = 0 を示す事にします。
どの線分も虚軸に平行な事を考えて複素数で書き換えると、
1/(z^6-z)i + 1/(z^5-z^2)i - 1/(z^4-z^3)i = 0　となります。
あとは両辺i倍したのち通分し、左辺の分子が0となれば成立です。
(通分したあとの分子)
=(z^5-z^2)(z^4-z^3)+(z^4-z^3)(z^6-z)-(z^6-z)(z^5-z^2)
=z^9-z^8-z^6+z^5+z^10-z^5-z^9+z^4-z^11+z^8+z^6-z^3
=z^10-z^11+z^4-z^3
　ここでz^(n+7)=z^n (nは整数)より
z^10 = z^3, z^11 = z^4
∴(分子)=0　となります。
よって、78の問題では 1/x + 1/y = 1/10 となります。（終）
＜この方法を見たとき、複素数の便利さを痛感しました。非常に簡単な考え方と計算で証明ができてしまいます。＞