平成１３年１１月１日
[流れ星]
第８６回数学的な応募問題
＜解答募集期間：１１月１日〜１１月１５日＞
［囲まれた面積］
今、太郎さんは学校で積分法を教えています。過去の入試問題を眺めていたら、東京工業大学に次のような問題がありました。
少し改題して紹介します。
第１象限内の曲線：ｘa＋ｙｂ＝１とｘ軸、ｙ軸で囲まれた部分の面積をＳとする。
問題１：ａ＝ｂ＝２のとき、曲線は円になる。このときの面積Ｓを求めよ。
問題２：ａ＝ｂ＝１のとき、曲線は直線になる。このときの面積Ｓを求めよ。
問題３：ａ＝ｂ＝１／２のとき、曲線は放物線になる。このときの面積Ｓを求めよ。
問題４：ａ＝ｂ＝２／３のとき、曲線はアステロイドになる。このときの面積Ｓを求めよ。
ここからが、入試問題です。
ｍ，ｎを自然数とする。第１象限内の曲線：ｘ１／ｍ＋ｙ１／ｎ＝１とｘ軸、ｙ軸で囲まれた部分の面積をＳ（ｍ，ｎ）とする。
問題５：Ｓ（ｍ，１）を求めよ。
問題６：Ｓ（ｍ，ｎ＋１）をＳ（ｍ＋１，ｎ）とｍ，ｎを用いて表せ。
問題７：Ｓ（ｍ，ｎ）をｍ，ｎを用いて表せ
（別解はベーター関数を利用しても解けます）
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
