平成１３年１１月３０日
[流れ星]
第８７回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１１月１６日～１１月３０日＞
［正(2n+1)角形］
今、太郎さんは学校で理系の生徒に積分法を、文系の生徒には複素数平面を教えようとしています。過去の大学入試問題を眺めていたら、弘前大学で次のような問題がありました。興味深い事実に感嘆しながらご紹介します。
問題１：複素数平面上の原点Ｏを中心とする半径１の円周上に、複素数 α，β，γ，δがこの順に並んでいる。
α，β，γ，δでできている四角形の対角線が直交する条件は、αγ＋βδ＝０ であることを証明せよ。
問題２：原点を中心とし、半径１の円周上に頂点をもつ正（２ｎ＋１）角形（ｎは自然数）の対角線は、どれも直交しないこと を証明せよ。
Ｎｏ１＜kashiwagi＞さんからの解答 11月20日８時27分受信 更新11月30日
問１
直交するのだから（β－δ）／（α－γ）の値は純虚数である。即ち、共役なものを加えると０となる。
・・・・・（β－δ）／（α－γ）＋（β－δ）／ （α－γ）＝０ ・・・（ア）
又、題意よりα、β、γ及びδは半径１の円周上にあるので、各々の絶対値は１。
因って、α ２＝α α＝１、即ち α＝１／α、これはβ、γ及びδについても成り立つので①式に代入して、整理すると、
［１＋（αγ／βδ）］・（β－δ）／（α－γ）＝０
ここで（β－δ）／（α－γ）≠０であるから、［１＋（αγ／βδ）］＝０が必要である。即ち、αγ＋βδ＝０が４点よりなる２本の対角線が直交する条件である。
問２
複素数平面に於ける正（２ｎ＋１）角形の各々の頂点をＺ１、Ｚ２、・・・・・・、Ｚ２ｎ＋１とし、これらの任意の２点づつを結んでできる対角線の中で少なくとも２本が直交すると仮定し、その対角線をＺ１ＺｎとＺ２Ｚ２ｎとする。
問１の結果から直交する条件は、（Ｚ２－Ｚ２ｎ）／（Ｚ１－Ｚｎ）の値が純虚数である、即ち、Ｚ１Ｚｎ＋Ｚ２Ｚ２ｎ＝０、これを変形し、
（Ｚ２ ／Ｚ１）＋（Ｚｎ／Ｚ２ｎ）＝0 ・・・（イ）
ここで正（２ｎ＋１）角形の中心角をθとすると、
θ＝３６０゜／（２ｎ＋１） ・・・（ウ）
（イ）式を絶対値と偏角表示すると、
cosθ + cos nθ + i (sinθ －sin nθ) = 0 ・・・（エ）
この式を和積の公式で変形すると、cos （n＋１）･θ／２ ＝０となる。
因って、（ウ）式と（n＋１）･θ／２＝９０゜、２７０゜、４５０゜、・・・より
ｎの値を求めると、負の分数にしかならない。これはｎが自然数であると言う最初の
命題に反する。即ち、これら２本の対角線が直交するとした仮定が間違っていたこととなる。つまり、最初の仮定である少なくとも２本が直交すると言う命題が間違えていたことになり、この命題の対偶である全ての対角線は直交しないと言う命題が正しいことが証明された。
即ち、正（２ｎ＋１）角形の対角線のどれもが直交しないと言える。
追伸：問２は１を利用し、命題の対偶を論証し、強引に結論までもっていきましたが、何かすっきりしません。最エレガントな解法があるのでしょうね。お教え頂けると幸いです。
以 上．
Ｎｏ２＜(^o^)BossF＞さんからの解答 11月27日16時53分受信 更新11月30日
α,β,γ,δは異なる0でない点であるから…(*)
αγ⊥βδ
⇔(α-γ)/(β-δ)+(~α-~γ)/(~β-~δ)=0
⇔(α-γ)(~β-~δ)+(~α-~γ)(β-δ)=0…①
ここで、ｌαl=lβl=lγl=lδl=1だから
①⇔(α-γ)(1/β-1/δ)+(1/α-1/γ)(β-δ)=0
⇔(α-γ)(δ-β)/βδ+{(γ-α)/γα}(β-δ)=0
⇔(α-γ)(δ-β)(1/βδ+1/γα)=0…②
再び(*)に注意して
⇔(1/βδ+1/γα)=0
⇔αγ＋βδ＝0
問題２[解] 一つの頂点が１であるとしても一般性は失わない
このとき、各頂点は1から左回りにｚ、z^2,z^3,…ｚ^2nと置ける。(ｚ＾(2ｎ+1)=1である…①ことに注意する)
対角線z^p:z^qとz^r:z^s (p,q,r,sは互いに異なる0以上2ｎ以下の整数)が直交する条件は問題1より
z^p・z^q+z^r・z^s=0
⇔z^p・z^q=-z^r・z^s
⇔z^(p+q-r-s)=-1…②
②の両辺を2n+1乗すると
左辺=(z^2n+1)^(p+q-r-s)=1(∵①)
右辺=(-1)^(2n+1)=-1
よって②は明らかに成り立たない
i.e.対角線は、どれも直交しない
う～ん、複素数も、表しにくいですね・・・
＜水の流れ：コメント＞実は、共役な複素数の表し方が、Ｗｅｂ上では表せそうにないのです。この表現方法に工夫がいるのです。「(^o^)BossF」さんの解答には 「Aと共役なものは~A」と表してあります。
