平成１３年１２月１５日
[流れ星]
第８８回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１２月１日～１２月１５日＞
［複素数の平方根］
今、太郎さんは学校で生徒に複素数平面を教えています。平方根の性質を拡張して次のことが成り立ちます。
（１）ａ、ｂがa＞０、ｂ＜０のとき、
が成立する。
（２）ａ＞０のとき、
が成立する。
（３）ｚ２＝ａ２の解は、ｚ＝±ａ である。
また、複素数ｚをａ＋ｂｉで表して、ａ、ｂがともの整数のとき、ｚを複素整数という。ここで、問題です。
（もちろん、ｉは虚数単位を表している。）
問題１：ｚ２＝４８＋１４ｉ のとき、複素数ｚを求めよ。
問題２：上の問題を２重根号のはずし方を利用して、解いてください。
問題３：ｚ２＝ａ＋ｂｉのとき、複素数ｚをａ、ｂで表してください。（ただし、ａ、ｂは実数とする）
問題４：ｚ２＝ａ＋ｂｉで、ｂ＝２００２のとき、複素整数ｚを求めてください。
＜ＮＯ１＞「 (^o^)BossF 」さんからの解答 12/01:19:51分受信 更新12/15
問題1[解]
z=x+yi (x,y∈R)とおくと、
z^2=(x^2-y^2)+2xyi
∴ x^2-y^2=48…① xy=7…②
②より、y=7/x これを①に代入して分母を払い、整理すると
x^4-48x^2-49=0
x∈Rだから
x^2=24+√(24^2+49)
=24+√625
=49
i.e. x=±7
よって、z=±(7+i) …答
問題1
[解その2]
z=r (cosθ+i sinθ) (r＞0) とおきます。
48+14i=50(24/25+(7/25)i)だから
cosα=(24/25) sinα(7/25) なる第1象限の角αを用いて
z^2=r^2(cos2θ+i sin2θ)=50(cosα+i
sinα)
∴ r^2=50 2θ=α+2nπ i.e. r =5√2 ,θ=(α/2)+π
ここで、(cos(α/2))^2=(1+cosα)/2=49/50
i.e. cos(α/2)=7/(5√2) sin(α/2)=1/(5√2)
よって、z=±5√2(7/(5√2)+i/(5√2))
=±(7+i) …答
問題2
[解]
48+14i=(49-1)+2x7x1xi=(7+i)^2
i.e. z^2=(7+i)^2
∴ z=±(7+i) (∵(3)) …答
題意の理解は合ってるでしょうか？この解が問題1の解として最初にぱっと浮かんだ
ので、問題2は，ちょっと困ってしまいました。
＜水の流れ：コメント＞今の受験生は、複素数というと、z=x+yi
(x,y∈R)とおいたり、 z=r (cosθ+i sinθ) (r＞0) とおいたり します。
したがって、２重根号をはずす方法でもより簡単に、できることを知ってもらいたかったからです。
「 (^o^)BossF 」 さん の場合 先に問題２の解法が浮かんだことは さすがです。受験技術マスターって感じです。その意味では 、何もない指示のない形式がいいかもね。
問題3
[解]
まず、b=0 のとき、z=±√a
つぎに、b≠0 のとき
z=x+yi (x,y∈R)とおくと、
z^2=(x^2-y^2)+2xyi
∴ x^2-y^2=a…① 2xy=b…②
ここで、b≠0 よりy≠0 だから
②より、y=b/(2x) …②’
これを①に代入して分母を払い、整理すると
x^4-ax^2-(b^2)/4=0
x∈Rだから
x^2={a+√(a^2+b^2)}/2
i.e. x=±√{a+√(a^2+b^2)}/√2
これを②’に代入整理して
ｙ=±b/lbl・√｛√(a^2+b^2)-a}/√2
∴z=±1/√2・[√{a+√(a^2+b^2)}+i b/lbl・√｛√(a^2+b^2)-a}]…答
＜水の流れ：コメント＞ b/lbl この値は ｂが正の数のとき、＋
b/lbl この値は ｂが負の数のとき、ー となり、ますね。
そうです。表現に工夫の跡があります。 このように、決めておかないといけません。よく わかりました。・・・、正解になっています。
問題4は、a の条件はないのでしょうか？
つまり、z を a で表せということですか？
そのつもりでときます。
問題4
[解]
b=2002 を問題3の結果に代入して
z=±1/√2・[√{a+√(a^2+4008004)}+i √｛√(a^2+4008004)-a}]…答
こんなんでいいのかな…
＜水の流れ：コメント＞ 問題文の中にも 書いてありますが、ｚ は複素整数 なんです。したがって、ａ、ｂも整数 となりまして、ｚが求まります。
２００２年にちなんで 問題を考えていたときの 到達したんです。
＜ＮＯ＞２「 (^o^)BossF
」さんからの解答 12/04 :5:26分受信 更新12/15
「解」z=p+qi とすると z＾2=p＾2-q＾2+2pqiだから
2pq=2002 i.e.pq=1001 なる整数p,qを見つければ好い
ところで、1001=7x11x13 したがって
(p,q)=(±7,±143),(±143,±7),(±13,±77),(±77,±13),(±11,±91),(±91,±11)
、(±1001,±1),(±1,±1001)
(複号同順）よって
z=±20400+2002i,±5760+2002i,±8160+2002i 、±1002000+2002i …答
＜ＮＯ＞３「kashiwagi」さんからの解答 12/03 :8:23分受信 更新12/15
問１ｚ＝a＋ｂi（a,bは実数）とし、二乗すると、
ｚ２＝a２－ｂ２＋２abi＝48＋14i
因って、この連立方程式を解くと、a＝±7、ｂ＝±1（複号同順）
従って、ｚ＝7＋ｉとｚ＝－７－Iが求めるものである。
問２ 問１よりｚ＝±√（48＋14i）
＝±√〔48＋2√（49i２）〕
＝±√〔(49＋i２)＋2√（49i２）〕
＝±（√49＋√i２）
＝±（7＋ｉ）
＜水の流れ：コメント＞足して４８ 掛けてー４９となる数字をみつけて欲しかったのです。
問３ ｚ＝ｘ＋ｙiと置き、問１と全く同様にして計算すると、
ｚ＝±√{〔a＋√(a２+ｂ２)〕／2}±bi／√{2〔a＋√(a２+ｂ２)〕となる。
＜水の流れ：コメント＞ｚ＝±√{〔a＋√(a２+ｂ２)〕／2}±bi／√{2〔a＋√(a２+ｂ２)〕となる。
実部の部分は正解ですが、虚部のbi／√{2〔a＋√(a２+ｂ２)〕が 私の答えとあっていません。もう一度お願いします。
こちらの、理解不足なら、お許しください。
問４ ｚ＝A＋Biと置くと、AB＝ｂ／２＝1001＝7×11×13となる。A,Bは整数であるから、
下記に示す８個の解がある。
ｚ＝1+1001i
ｚ＝7+143i
ｚ＝11+91i
ｚ＝13+77i
ｚ＝77+13i
ｚ＝91+11i
ｚ＝143+7i
ｚ＝1001+i
＜ＮＯ＞４「kashiwagi」さんからの解答 12/0４ :11:05分受信 更新12/15
問３について再考してみました。私は ｙ(superscript: ２)＝ｂ
(superscript: ２)／４ｘ(superscript: ２)にｘを代入して計算致しました。
ところが、ｘ(superscript: ２)＝ｙ(superscript: ２)－aから計算すると、ｙ＝±√{〔－a＋√(a２+ｂ２)〕／2}となります。
そこで考えてみました。そうです、私の解答の±bi／√{2〔a＋√(a２+ｂ２)〕}の分母に√{〔－a＋√(a２+ｂ２)〕／2}をかけて
分母のルートを消去すると全く同じ解答になります。
やはり＜水の流れ＞さんのおっしゃる様に分母に二重根号では汚い式ですし、綺麗な形にするのが、最終解なのでしょうね
＜水の流れ：コメント＞問題３の答えは、２重根号の形になっていまして、あまり綺麗な式とはいきませんでした。
ただ、複素数の平方根の公式みたいに、覚えてもらえたら と 思って出題しました。
実際には、与えられた数字で解いてもらえれば それでいいのですけど。
＜ＮＯ＞５「浜田」さんからの解答 12/0４ :11:00分受信 更新12/15
問題１：
ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂは実数）とすると，
ｚ^2＝(ａ＋ｂｉ)^2＝(ａ^2－ｂ^2)＋２ａｂｉ＝４８＋１４ｉ
ａ^2－ｂ^2，２ａｂは実数なので，
ａ^2－ｂ^2＝４８………(1)
２ａｂ＝１４………(2)
(2)から，ａｂ＝７………(2)'
∴ａ^2(－ｂ)^2＝－４９………(3)
(1)，(3)から，ａ^2，－ｂ^2は，２次方程式
ｔ^2－４８ｔ－４９＝(ｔ＋１)(ｔ－４９)＝０
の２解である．
ｔ＝－１，４９であり，ａ^2≧０，－ｂ^2≦０であるから，
ａ^2＝４９，－ｂ^2＝－１
∴ａ＝±７，ｂ＝±１
(2)'から，ａ＝±７，ｂ＝±１（複号同順）
∴ｚ＝±(７＋ｉ)
問題２：
ｚ^2＝４８＋１４ｉ＝(７^2＋ｉ^2)＋２・７・ｉ＝(７＋ｉ)^2
∴ｚ＝±(７＋ｉ)
問題３：
ⅰ). (ａ，ｂ)＝(０，０)のとき，ｚ^2＝０から，ｚ＝０
ⅱ). (ａ，ｂ)≠(０，０)のとき，
ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)（ｒ＞０）………(1)
とすると，
ｚ^2＝ｒ^2(cos２θ＋ｉsin２θ)
ａ＋ｂｉ＝(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)・(cosα＋ｉsinα)
ただし，
cosα＝ａ／(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)，
sinα＝ｂ／(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)（０≦α＜２π）
である．
ｚ^2＝ａ＋ｂｉ
であるから，
ｒ^2＝(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)………(2)
２θ＝α＋２ｎπ（ｎは整数）………(3)
(2)から，ｒ＞０であるから，
ｒ＝(ａ^2＋ｂ^2)^(1/4)………(2)'
(3)から，
θ＝α／２＋ｎπ………(3)'
(2)'，(3)'を(1)に代入すると，
ｚ＝(ａ^2＋ｂ^2)^(1/4)・{cos(α／２＋ｎπ)＋ｉsin(α／２＋ｎπ)}
＝±(ａ^2＋ｂ^2)^(1/4)・{cos(α／２)＋ｉsin(α／２)}………(4)
ア). ０≦α／２≦π／２のとき，
cos(α／２)≧０，sin(α／２)≧０
∴cos(α／２)＝{(１＋cosα)／２}^(1/2)
＝[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}／{２(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)}]^(1/2)，
sin(α／２)＝{(１－cosα)／２}^(1/2)
＝[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}／{２(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)}]^(1/2)
(4)に代入すると，
∴ｚ＝±(ａ^2＋ｂ^2)^(1/4)・（[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}／{２(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)}]^(1/2)＋ｉ[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}／{２(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)}]^(1/2)）
＝±(ａ^2＋ｂ^2)^(1/4)・[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}^(1/2)＋ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}^(1/2)]／{２(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)}^(1/2)
＝±[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}^(1/2)＋ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}^(1/2)]／２^(1/2)
このとき，
ｚ^2＝[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}＋２ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}^(1/2){(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}^(1/2)－{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}]／２
＝[２ａ＋２ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)－ａ^2}^(1/2)]／２
＝ａ＋ｉ(ｂ^2)^(1/2)
０≦α≦πであるから，sinα＝ｂ／(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)≧０
∴ｂ≧０
∴ｚ^2＝ａ＋ｂｉ
故に題意を満たす．
イ). π／２＜α／２＜πのとき，
cos(α／２)＜０，sin(α／２)＞０
∴cos(α／２)＝－{(１＋cosα)／２}^(1/2)，
sin(α／２)＝{(１－cosα)／２}^(1/2)
同様に，
ｚ＝±[－{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}^(1/2)＋ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}^(1/2)]／２^(1/2)
＝±[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}^(1/2)－ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}^(1/2)]／２^(1/2)
∴ｚ^2＝ａ－ｉ(ｂ^2)^(1/2)
π＜α＜２πであるから，sinα＝ｂ／(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＜０
∴ｂ＜０
∴ｚ^2＝ａ－(－ｂ)ｉ＝ａ＋ｂｉ
故に題意を満たす．
ア)，イ)をまとめると，
ｂ≧０のとき，
ｚ＝±[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}^(1/2)＋ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}^(1/2)]／２^(1/2)
ｂ＜０のとき，
ｚ＝±[{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)＋ａ}^(1/2)－ｉ{(ａ^2＋ｂ^2)^(1/2)－ａ}^(1/2)]／２^(1/2)
これはⅰ)の場合を含む．
＜水の流れ：コメント＞正解です。もっとしっきりした求め方がありますけど。大変でしたね。２重根号の表記は困ります。
出した本人は、皆さんに、表現方法について、ご迷惑をかけていることは、お許しください。
問題４：
ｚ^2＝ａ＋ｂｉ，ｂ＝２００２
問題の条件にはないが，おそらく ａは実数だと思われるので，そのように答える．
＜水の流れ：コメント＞ ｚ＝ａ＋ｂｉは複素整数と書いておいたので、ａ、ｂは整数と思ってもらえる考え、。断らなかったのです。
ｚは明らかに虚数なので，
ｚ＝±(ｃ＋ｄｉ)（ｃ，ｄは整数，ｄ＞０）とすると，
ｚ^2＝(ｃ^2－ｄ^2)＋２ｃｄｉ＝ａ＋２００２ｉ
ａ，ｃ^2－ｄ^2，２ｃｄは実数なので，
ｃ^2－ｄ^2＝ａ………(1)
２ｃｄ＝２００２………(2)
(2)から，
ｃｄ＝１００１＝７×１１×１３
ｃ，ｄは整数，ｄ＞０なので，
{ｃ，ｄ}＝{１，１００１}，{７，１４３}，{１１，９１}，{１３，７７}
(1)から，
{ｃ，ｄ}＝{１，１００１}のとき，ａ＝±１００２０００
{ｃ，ｄ}＝{７，１４３}のとき，ａ＝±２０４００
{ｃ，ｄ}＝{１１，９１}のとき，ａ＝±８１６０
{ｃ，ｄ}＝{１３，７７}のとき，ａ＝±５７６０
∴ｚ＝±(１＋１００１ｉ)，±(７＋１４３ｉ)，±(１１＋９１ｉ)，±(１３＋７７ｉ)，±(７７＋１３ｉ)，±(９１＋１１ｉ)，±(１４３＋７ｉ)，±(１００１＋ｉ)
＜水の流れ：コメント＞ありがとうございました。 全部見つかりました。２００２年にちなんで 問題を考えていたとき、 到達したんです
