平成１４年２月１０日
[流れ星]
第９１回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１月１６日〜２月１０日＞
［交代級数の和（２）］
前回に続き、次のような無限級数の和を求めています。
今回は、必要な関数は見つけて、考えてください。
今日は、１月２３日です。ここで、ヒントになる関数を言います。微分してください。
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
今回、募集期間を長くしたのは、月末に修学旅行で、２泊３日、東京市内見物とディズニーシーへの予定だからです。
ＮＯ１＜ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ＞さんからの解答 1月26日18時01分 受信 2月10日更新
１６日から５日間程考えたのですが、関数を見つけることができませんでした。
それであきらめておりました。ところが本日開くとヒントがあるではないですか。
誘導に素直に従い解いてみると、うーん意外と簡単なのですね。しかし、自分の
数学的センスのなさを痛感させられました。
ｆ(ｘ)をヒントのように置き、微分し、ｋに数値を代入すると、
ｆ’(ｘ)＝(ｘ２＋２ｘ＋２){１−ｘ４/４＋ｘ８/４２−ｘ１２/４３＋―――}
後ろの括弧内は公比−ｘ４/４の無限級数であるから、以下の様に書ける。
ｆ’(ｘ)＝(ｘ２＋２ｘ＋２){１／(１＋ｘ４/４)
}
ところで１／(１＋ｘ４/４)＝４／(ｘ４＋４)＝４／(ｘ２＋２ｘ＋２)
(ｘ２−２ｘ＋２)
であるから、
ｆ’(ｘ)＝４／(ｘ２−２ｘ＋２)＝４／{(ｘ−１)２＋１}
ｆ(ｘ)はｆ’(ｘ)を積分したものであり、求めるものはｆ(１)であるから、
ｆ(１)＝∫１０４／{(ｘ−１)２＋１}ｄｘ
ここでｘ−１＝Ｘとおくと、Ｘは−１から０の値をとるから、
ｆ(１)＝∫０−１４／{Ｘ２＋１}ｄＸ＝4〔tan−１Ｘ〕０−１＝４〔０− (−π/４)〕＝π
以 上．
＜水の流れ：コメント＞全くこちらの予定していた解法と同じです。ありがとうございます。
