平成１４年２月２８日
[流れ星]
第９２回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：２月１１日～２月２８日＞
［三角形の内接円］
太郎さんは最近、与えられた問題の逆を考えようになっています。
ここで問題です。
問１：３辺の長さが３，４，５である三角形の内接円の半径を求めよ。
問２：三角形の内接円の半径が１，かつ三辺の長さが整数である３辺の長さを求めよ。
ＮＯ１＜こざっば＞さん 2/11：1時19分受信 更新2/28
問１：３辺が３，４，５の三角形は直角三角形で面積は６。・・・①
一方、三辺と内接円の半径は接点で直角に交わるので、
内接円の半径をｒ、元の三角形の面積をＳとすれば、
（３辺をそれぞれ底辺とし、高さｒの３つの三角形の面積の和になり）
Ｓ＝３ｒ／２＋４ｒ／２＋５ｒ／２・・・・・・・・・・・②
①と②より、ｒ＝１となります。
問２：問１より、三辺の長さが３，４，５であれば、題意を満たすので
これが解答、、、、なんてのは許されるのでしょうか。終わり
＜水の流れ：コメント＞ 題意は命題の逆を丁寧に扱ってもらいたいという意図があります。
ＮＯ２＜kashiwagi＞さん 2/11：14時25分受信 更新2/28
こんにちは、毎回お世話になります。今回の問題は問１はそれ程難しくないのですが、逆を証明する
問２は少々骨がありました。従来から逆も当然真として、証明など考えた事がありませんでしたので良い勉強をさせて頂きました。
問２のポイントは３数が全て整数と言うところですね。ここに解決の糸口がひそんでおりました。
最初はaを消去し、ｂとｃの関係でと思ったのですが、角度が消えず、２つの式を俯瞰しておりましたら気づきました。
論理的にも良いのではと思っております。ご指導の程宜しくお願い申し上げます。
本来は図を書けば良いのですが、PCではかえって面倒なので省かせて頂きました。その分お分かりになりづらい点はご容赦下さい。
９２回解答
問１．
三角形ABCの三辺の長さを各々a,b,cとし、内接円の半径をｒとする。
三角形の面積をSとすると、
S＝r(a＋ｂ＋ｃ)／２――－①
又、条件より、a＋ｂ＋ｃ＝12且つ直角三角形であるから、S＝６である。
これらを①に代入し、計算するとｒ＝１となる。
問２．
①にｒ＝１を代入すると、
２S＝a＋ｂ＋ｃ ――－②
辺の長さの長い順にa,b,cとしその対角をA,B,Cとする。すると、面積の関係から
２S＝ｂｃsinA ――－③
又、内接円の接点、円の中心及び点Aでできる三角形について着目し,ｂ－cot(A/2)と
ｃ－cot(A/2)を加えたものがaであるから、
a＝ｂ＋ｃ－2cot(A/2) ――－④
ここで、②と③より a＝ｂｃsinA－ｂ－ｃ――－⑤
ここで④より両辺が整数であるから、cot(A/2)のとり得る値は決まり、更にtan(A/2)＝ｔと置くと、sinA＝2ｔ／（１＋ｔ２）であること，及び各Aが１８０度以下であることに注意すると、以下の様になる。
|
cot(A/2) |
sinA |
|
１／２ |
４／５ |
|
１（A＝90度） |
１ |
|
２ |
４／５ |
ここで、cot(A/2)＝１の時は、A＝90度であるから問１に帰結する。
又、cot(A/2)＝１／２の時は、sinA＝４／5であり、⑤よりｂｃ＝５でなければならない。
これより、ｂもｃも整数になるには各々１と５でなければならず、これを⑤に代入すると
a＝－２となる。辺の長さは正であるから、この値は不適である。cot(A/2)＝２の時も全く同様である。因って求める整数は３，４，５のみである。
＜水の流れ：コメント＞⑤から、ｂｃ＝５になる過程がしっくりきません。
多分、ｓｉｎＡ＝４／５で分母が５よりと思われますが、整数だけを考えれば、ｂｃは５の倍数としかなりませんが・・・・ ｂｃ＝１０，１５，２０，・・・
と考えて見る必要がありそうです。
予定していた方法ではなかったので 考えてみてください。私の理解不足ならお許しください。
ＮＯ３＜teki＞さん 2/12：13時53分受信 更新2/28
問１ １ｃｍ
＜解法＞三角形は辺の比３：４：５の直角三角形であるから、その面積は３×４÷２＝６ｃｍ2
一方、内接円の半径を ｘ とおくと、三角形の面積は、（３＋４＋５）× ｘ ÷２であるから ｘ ＝ １ となる。
問２ ３ｃｍ ４ｃｍ ５ｃｍ
＜解法＞ ヘロンの公式から計算した三角形の面積と内接円の半径＝１から計算した面積
が 等しいので、この整数解を求めると３，４，５以外に存在しない。
＜水の流れ：コメント＞ 題意は命題の逆を丁寧に扱ってもらいたいという意図があります。で、答えは３，４，５だけですが・・・
ＮＯ４＜kashiwagi＞さん 2/18：8時33分受信 更新2/28
問１．三角形ABCの三辺の長さを各々a,b,cとし、内接円の半径をｒとする。
三角形の面積をSとすると、S＝r(a＋ｂ＋ｃ)／２――－①
又、条件より、a＋ｂ＋ｃ＝12且つ直角三角形であるから、S＝６である。
これらを①に代入し、計算するとｒ＝１となる。
問２．
①にｒ＝１を代入すると、
２S＝a＋ｂ＋ｃ ――－②
辺の長さの長い順にa,b,cとしその対角をA,B,Cとする。すると、面積の関係から
２S＝ｂｃsinA ――－③
又、内接円の接点、円の中心及び点Aでできる三角形について着目し,ｂ－cot(A/2)と
ｃ－cot(A/2)を加えたものがaであるから、
a＝ｂ＋ｃ－2cot(A/2) ――－④
ここで、②と③より a＝ｂｃsinA－ｂ－ｃ――－⑤
以下を修正させて頂きます。
ここで三角形の３辺の長さに於ける関係よりｂ＋ｃ＞aであるから、④よりcot(A/2)は正の値しかとれない。即ち、0°＜A＜180°となる。
因ってsinAも正の値のみとり得る。
更にtan(A/2)＝ｔと置くと、sinA＝2ｔ／（１＋ｔ２）であることより以下のCASEしか起こり得ない。
|
CASE |
cot(A/2) |
sinA |
|
１ |
１／２ |
４／５ |
|
２ |
１（A＝90度） |
１ |
|
３ |
２ |
４／５ |
ここで、CASE２のcot(A/2)＝１の時は、A＝90度であるから問１に帰結する。
又、CASE１のcot(A/2)＝１／２の時は、sinA＝４／5であり、
④よりa＝ｂ＋ｃ－１、
⑤よりa＝４ｂｃ／５－ｂ－ｃであるから、これらの式よりaを消去し、整理すると
４ｂｃ＝５（２ｂ＋２ｃ－１）となる。
因って、ｂｃ＝５M及び２ｂ＋２ｃ－１＝４Nでなければならない。
ところが、２ｂ＋２ｃ－１は必ず奇数となるので４の倍数ではありえない。即ち、cot(A/2)＝１／２の場合は成立しない。
更に、CASE3の場合も同様な検討をすると、
cot(A/2)＝２の場合は、A/2が３０度より小くなければならない。即ち、Aが６０砮より小さくなければ成立しない。
ところが、辺aが一番長いという前提で議論を進めており、明らかに矛盾する。即ち、CASE３も成立しない。
因って求める整数はCASE２の場合の３，４，５のみである。
＜水の流れ：コメント＞内心と面積の関係を利用し、整数解の解き方でこちらはいました。
ＮＯ５＜やぎ＞さん 2/22：2時27分受信 更新2/28
各辺がａ、ｂ、ｃの三角形においてｓ＝（ａ+ｂ+ｃ）／２ 面積をＳ，内接円の半径をｒとする。
すると Ｓ＝ｓｒ
Ｓ＝ｓｑｒ（ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）） となり
ｒ＝ｓｑｒ（（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）／ｓ）・・・・・・（１）となる。
ここで（１）式に ａ＝５，ｂ＝４，ｃ＝３を代入すると、ｒ＝１となる。
次にｒ＝１となる三角形の条件は次式である。
ｓ＝（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）・・・・（２）
（２）式でｓが整数とならなければ等式が成立しないので ｓ＝整数
ここでａ＋２ｘ＝ｂ+ｃ・・・（３） すると ｓ＝ａ＋ｘ・・・（４）
（２）（４）式より
ａ+ｘ＝ｘ（ａ＋ｘ－ｂ）（ａ+ｘ-ｃ）・・・（５）
（３）式より ａ＝ｂ+ｃ-２ｘ これを（５）式に代入して整理すれば
ｘ（ｂ-ｘ）（ｃ-ｘ）＝ｘ+（ｂ-ｘ）+（ｃ-ｘ）・・・・（６）
（６）式より３個の数の積と和が等しいがこれが成立するためには少なくとも３個のうち１個は１でなければならない。
そこでｘ＝１とおくと
（ｂ-1）（ｃ-1）＝1+（ｂ-1）+（ｃ-1）
∴ （ｂ－２）（ｃ－２）＝2・・・・（７）
（７）（３）式より
ｂ＝４、ｃ＝３，ａ＝５となる。
また、他の数値の組み合わせはａ，ｂ，ｃが相互に入れ替わる場合を除いて存在しない。
＜水の流れ：コメント＞こちらの予定していた解法どおりでした。感謝します。
