平成１４年４月１３日
[流れ星]
第９５回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：４月１日〜４月１５日＞
［正方形の辺に色を塗る］
太郎さんは、今年度３年理系クラスの担任になりました。大学入試問題を解く機会が多くありそうです。
型にはまった解法なら、うまく指導できますが、未知の解法となると苦労するのではないかと心配しています。
さて、ここに１つの正方形とｎ色のペンキがあります。この４つの辺にｎ色のどれかのペンキを塗ります。ただし、回転して同じになる塗り方は同一とみなします。ただ、反転して同じになる虚像体（一方を鏡に映した像が他方になるもの）は別のものと考えます。このとき、全体で何種類の色つき正方形ができるでしょう。
順に、設問にそって考えてください。
設問１：１色のペンキのとき。
設問２：２色のペンキのとき。
設問３：３色のペンキのとき。
設問４：４色のペンキのとき。
設問５：最後に、全体で何種類の色つき正方形ができるか。
＜「ベクトル ハラ」さんから、１５日に指摘がありました。ホームページ上の問題は「設問4」があるけど、こんなことにこだわっていたら、立派な人にはなれないだろうから、きっと設問5なんだろうと考えておきました。＞
＜コメント：ありがとうございます。作問していたときには、気がつきませんでした。感謝します。これからもよろしくお願いします。１５日夜訂正しました。＞
ＮＯ１＜kashiwagit＞さんからの解答 4/1：8時14分受信 更新4/13
第9５回解答
問１．ｎ色から１色選ぶのはｎC１であるから求めるものはｎである。
問２．ｎ色から２色選ぶのはｎC２である。この２色を２づつ使うか、３，１ないし１，３づつ使うかしかないので円順列の考え方で一つを固定すると４種類しかない。因って求めるものはｎC２×４＝２ｎ(ｎ−１)
問３．ｎ色から３色選ぶのはｎC３である。この３色のうち２箇所に塗る色は３C１である。選んだ色をAABCとすると、一つのAを固定して円順列の考え方を使うと３種類しかない。因って求めるものはｎC３×３C１×３＝３ｎ(ｎ−１)(ｎ−２) ／２
問４．ｎ色から４色選ぶのはｎC４である。これに円順列を使うと(４−１)！因って求めるものはｎC４×３！＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２) (ｎ−３)／４
問５．以上の解を加え整理すると、ｎ(ｎ＋１)(ｎ２−ｎ＋２)／４
＜水の流れ：コメント＞問２に場合分けが必要な所ですね。
ＮＯ２＜ベクトル ハラ＞さんからの解答 4/15：11時19分受信 更新4/15
設問１ n通り
ｎ色ある中から、1色選ぶのはn!。
その絵の具での塗り方は1通り。
ｎ×1＝ｎ
設問２ 2*n*(n-1)通り
ｎ色ある中から、2色選ぶのは、n!/{(n-2)!*2!｝
組み合わせの（エヌ・シー・2）と書きたいけど、書けないので許して下さい。
2色で塗る塗り方は、同じ色が、ニの字型、L字型、コの字型の3種。
ニの字型、L字型は、もう一つの色もそれぞれ、ニの字型、L字型で、
回してしまえば、同じになりますが、
コの字型では、色を変えれば、別物になるので、
選び出された2色で塗る塗り方は、4通り。
n!/{(n-2)!*2!}*4＝2*n*(n-1)
設問３ (3/2)*n*(n-1)*(n-2)
ｎ色ある中から、3色選ぶのは、n!/{(n-3)!*3!｝
3色で塗る塗り方は、
2辺を塗る色選びで、3通り。
その色で塗られるのは、ニの字型、L字型の2種。
ニの字型では、残りの2色の塗り方の違いも、
回せば同じになってしまいますが、
L字型では、裏返さないと同じにはなりませんが、
これは、禁じ手なので、3通り。
n!/{(n-3)!*3!}*3*3=3/2*n*(n-1)*(n-2)
設問４ (1/4)*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)
ｎ色ある中から、4色選ぶのは、n!/{(n-4)!*4!｝
4色で塗る塗り方は、円順列で、(4-1)!
n!/{(n-4)!*4!}*3!=1/4*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)
設問５ (1/4)*(n^4+n^2+2n)
正方形の辺を塗っていくのだから、
使うペンキは、1色、2色、3色、4色のいずれかである。
（5色とか、3.2色なんてことは無いし、1色であり、かつ3色なんてことも無い。）
ということで、それぞれを足し合わせて、
n+2*n*(n-1)+3/2*n*(n-1)*(n-2)+1/4n*(n-1)*(n-2)*(n-3)
=1/4*(n^4+n^2+2n)
右肩に小さく書けないので、これで許して下さい。
あと、ホームページ上の問題は「設問4」があるけど、
こんなことにこだわっていたら、立派な人にはなれないだろうから、
きっと設問5なんだろうと考えておきました。
＜コメント：ありがとうございます。作問していたときには、気がつきませんでした。感謝します。これからもよろしくお願いします。１５日夜訂正しました。＞
