平成１１年２月１４日
＜バレンタイデーに「Ｐｉｃｋの定理」の証明をしました＞
問題 三辺の長さが√２９、√２６、３√５ である三角形の面積を求めよ。

＜解説＞
この問題を作問した意図は、３辺の長さが無理数でも、答えの面積は有理数（分母は２）
になる不思議さを知ってもらい、なぜだろうと疑問を抱せたかったのです。
さらには、この三角形を座標平面上で書くと、３頂点がすべて、格子点になるように取れ
て、後は小学生にでも解けるようになります。
　勿論、他の解法は一杯あって、別解を見つけるには楽しくなるはずです。
そして、とっておきは、今から述べるピックの定理です。１８９９年、オーストリヤの数
学者Ｇ．Ｐｉｃｋ によって、発見された定理を使うと、鮮やかに解けます。
尚、この定理の証明は、県の研究会で同席した各務原市内にある高校の先生から頂
いたノートを参考にして、書いてあります。（この先生も今では、原本がどこから
か忘れられたとのことです）
　　　　＜解答＞
　　　　　　２９＝５＾２＋２＾２
　　　　　　２６＝５＾２＋１＾２
　　　　　　４５＝６＾２＋３＾２
に着目して、座標平面上に、 点Ａ（−２，５），点Ｂ（０，０），点Ｃ（３，６）
のように３頂点を格子点上に取ります。
＜図１＞


図のように２辺が５と６の長方形の面積から、３つの三角形の面積を引いてみると、
　　　　△ＡＢＣ＝６×５−（２×５＋５×１＋３×６）÷２＝３０−３３／２＝２７／２（答）

「Ｐｉｃｋの定理」：平面上の格子多角形Ｍにおいて、辺上にある格子点の個数をｂ
Ｍの内部にある格子点の数をｃとすると、その面積Ｓ(Ｍ) は次の式で表される。
Ｓ(Ｍ)＝（ｃ−１）＋ｂ／２
次の３つの命題から、順に分けて証明していきます。
命題１：（頂点のみが格子点である三角形の場合）
内部にも辺上にも格子点がなく、頂点のみが格子点である三角形▲（以下基本
三角形と呼ぶ）の面積は１／２である。 すなわち、Ｓ(▲)＝１／２・・・@
図２のような、基本三角形の面積はすべて１／２である。
＜図２＞



　　　　　次に、図３のように座標平面上で、点Ａ（ｐ，ｑ）と取り、線分ＯＡを正の向きに
　　　　回転して，線分ＯＢになるように、点Ｂ（ｒ，ｓ）を取る。

＜図３＞



このとき、３点Ｏ，Ａ，Ｂでできる三角形の面積Ｓ（△ＯＡＢ）はよく知られているよう
に 、Ｓ（△ＯＡＢ）＝（ｐｓ−ｑｒ）／２ ・・・A
　　　　である。
そこで、△ＯＡＢが基本三角形であるとき、ｐｓ−ｑｒ＝１であることを以下に示す。
多角形Ｍの内部（辺上は含まない）にある格子点の数をＬ（Ｍ）と書く。
△ＯＡＢを含む最小の長方形ＯＥＢＧを書く。長方形ＯＥＢＧに含まれる格子点は全部
で（ｒ＋１）（ｓ＋１）個であるが、そのうち辺ＯＥ，ＥＢ，ＢＧ，ＧＯ上にあるのは
全部で、２（ｒ＋１）＋２（ｓ＋１）−４＝２（ｒ＋ｓ）個である。
よって、Ｌ（□ＯＥＢＧ）＝ （ｒ＋１）（ｓ＋１）−２（ｒ＋ｓ）
　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｒ−１）（ｓ−１）
したがって、Ｌ（△ＯＢＥ）＝Ｌ（□ＯＥＢＧ）／２＝（ｒ−１）（ｓ−１）／２
同様に，Ｌ（△ＯＡＤ）＝（ｐ−１）（ｑ−１）／２
Ｌ（△ＡＢＦ）＝（ｒ−ｐ−１）（ｓ−ｑ−１）／２
Ｌ（□ＡＤＥＦ）＝（ｒ−ｐ−１）（ｑ−１）
図３から分かるように、
Ｌ（△ＯＢＥ）＝Ｌ（△ＯＡＢ）＋Ｌ（△ＯＡＤ）＋ Ｌ（△ＡＢＦ）＋Ｌ（□ＡＤＥＦ） ＋Ｌ（ＯＡ）＋Ｌ（ＡＢ）＋Ｌ（ＡＤ）＋Ｌ（ＡＦ）＋１
最後の＋１は点Ａのことである。
△ＯＡＢが基本三角形より、Ｌ（△ＯＡＢ）＝Ｌ（ＯＡ）＝ Ｌ（ＡＢ）＝０であるから
（ｒ−１）（ｓ−１）／２
　　　　　　＝（ｐ−１）（ｑ−１）／２ ＋（ｒ−ｐ−１）（ｓ−ｑ−１）／２
　　　　　　　＋（ｒ−ｐ−１）（ｑ−１）＋（ｑ−１）＋（ｒ−ｐ−１）＋１

これを計算して、ｐｓ−ｑｒ＝１ ・・・B
これで、命題１のＳ(▲)＝１／２が証明された。

命題２：格子多角形は基本三角形に分割できる。

＜解説＞ その方法は、まず格子多角形を格子三角形に分割し、格子三角形を基本三角形に分割
すればよい。基本三角形への分割の手続きは次のようになる。
例えば、＜図４＞をみます。



（分割１） 格子三角形の内部にある１つの格子点と３つの頂点を結んで三角形を３つに分割する。
（分割２） 三角形の内部に格子点がないときは、辺上の格子点と反対側の頂点とを結ぶ。
（分割操作１）を繰り返すことによって、内部に格子点を含まない三角形にまで分割でき、
　　　さらに，
（分割操作２）を繰り返せば基本三角形にまで分割できる。

命題３：格子多角形Ｍを基本三角形に分割したとき、
三角形の数は２ｃ＋ｂ−２ である。
ただし、ｃはＭの内部にある格子点の数、ｂは辺上にある格子点の数である。


＜証明＞ 多面体におけるオイラーの定理を使って、証明します。
基本三角形に分割したときの頂点の数をｄとすると、
ｄ＝ｃ＋ｂ・・・・・・C
辺の数をｅ，面の数（三角形の数）をｆとすると
　　　　ｅ＝ｅ’＋ｅ” ここで、ｅ’はＭの内部の辺の数、ｅ”はＭの辺上の辺の数である。

＜図４＞の例では、ｅ’＝１４，ｅ”＝８ である。
ところで、ｅ”＝ｂ、また１つの三角形の辺の数は３つであるから、
３ｆ＝２ｅ’＋ｅ”
したがって、３ｆ＝２（ｅ−ｅ”）＋ｅ”＝２（ｅ−ｂ）＋ｂ
ゆえに、 ｅ＝（３ｆ＋ｂ）／２・・・D
そして、C、Dをオイラーの公式 ｄ−ｅ＋ｆ＝１ へ代入して
ｃ＋ｂ−（３ｆ＋ｂ）／２ ＋ｆ＝１
ゆえに、ｆ＝２ｃ＋ｂ−２ で命題３の証明終わり。

以上の命題１，命題２，命題３から、
Ｓ（Ｍ）＝（２ｃ＋ｂ−２）／２ ＝（ｃ−１）＋ｂ／２
となり、Ｐｉｃｋの公式が証明できた。

最後に、問題に適用します。＜図１＞をみて、
内部にある格子点の数ｃと辺上にある格子点の数ｂを数えると、
ｃ＝１２、ｂ＝５ だから、
求める面積はピックの公式より、
（１２−１）＋５／２＝２７／２・・・（答）

＜感想：こんなに、素晴らしく美しい定理を大学入試に使ってもよいのかなー。＞

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