平成２７年２月８日

[流れ星]

　　　　　第31６回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：1月1１日〜２月８日＞

［平方の和と差］

皆さん！明けましておめでとうございます。2015年も引き続きご愛顧賜りますようよろしくお願いたします。

０＝３^２＋４^２−５^２、１＝４^２＋７^２−８^２、２＝５^２＋１１^２−１２^２、３＝４^２＋６^２−７^２・・・のように３数の平方の和と差で表すことができます。

ただし、ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２は　ａ≨ｂ≨ｃで正整数とする。

問題１：４，５，６，７をａ^２＋ｂ^２−ｃ^２（ａ≨ｂ≨ｃで正整数）の形で表してください。

問題２：一般に任意の０以上の整数がａ^２＋ｂ^２−ｃ^２（ａ≨ｂ≨ｃで正整数）の形で表されるか否かを考察ください。　

＜参考文献：数学オリンピックへの道３　数論の精選104問（朝倉書店）＞

「uchinyan」 01/11 17時38分　受信

「uchinyan」 01/12 14時55分　受信

「uchinyan」 01/12 17時23分　受信

「uchinyan」 01/13 12時39分　受信

「uchinyan」 01/14 15時44分　受信 更新 2/8

(考察1)の特殊解の一つとして次を導きました。

2n = (3n)^2 + (4n - 1)^2 - (5n - 1)^2

2n + 1 = (3n - 1)^2 + (4n - 4)^2 - (5n - 4)^2

このうち，2n + 1 の方で，

n = 13 のとき，27 = 38^2 + 48^2 - 61^2

n = 55 のとき，111 = 164^2 + 216^2 - 271^2

となって，水の流れさんの例を再現できます。

どうやら，背景の恒等式はこれのようですね。

「uchinyan」 01/18 13時27分　受信 更新 2/8

問題１：

4 = 5^2 + 10^2 - 11^2 = .7^2 + 22^2 - 23^2 = ..

5 = 4^2 + 5^2 - 6^2 = 6^2 + 15^2 - 16^2 = ...

6 = 5^2 + 9^2 - 10^2 = 7^2 + 21^2 - 22^2 = ...

7 = 6^2 + 14^2 - 15^2 = 8^2 + 28^2 - 29^2 = ...

問題２：

n = a^2 + b^2 - c^2，n は 0 以上の整数，a，b，c は 0 < a < b < c となる整数

これは，常に可能です。例えば，次のようにすればいいでしょう。

b = k，c = k + 1 とします。すると，b < c で，

n = a^2 + k^2 - (k + 1)^2 = a^2 - 2k - 1

a < b より，a < k，- 2a > - 2k，となって，

n = a^2 - 2k - 1 < a^2 - 2a - 1，(a - 1)^2 > n + 2，a > 1 + √(n + 2)

そこで，m を m > 1 + √(n + 2) で，n が偶数のとき m を奇数，n が奇数のとき m を偶数，に取り，

a = m，b = k = (m^2 - n - 1)/2，c = k + 1 = (m^2 - n + 1)/2，として，

a，b，c は 0 < a < b < c となる整数，で，

a^2 + b^2 - c^2

= m^2 + ((m^2 - n - 1)/2)^2 - ((m^2 - n + 1)/2)^2

= m^2 + (((m^2 - n)^2 - 2(m^2 - n) + 1) - ((m^2 - n)^2 + 2(m^2 - n) + 1))/4

= m^2 + (- 4(m^2 - n))/4

= m^2 - (m^2 - n)

= n

となります。

この構成法より明らかですが，m の取り方は無数にあるので，こうなる解は無数にあります。

また，もちろん，b = k，c = k + d，d >= 1，で同様のことを考えられるので，

より複雑になりますが，これ以外の構成も可能です。

(考察1)

若干，問題とは離れますが，b = k，c = k + d，d は 1 以上の整数，を考えてみました。

同様にして，a < b，a < k，- 2da > - 2dk，より，

n = a^2 + k^2 - (k + d)^2 = a^2 - 2dk - d^2 < a^2 - 2da - d^2，

(a - d)^2 > n + 2d^2，a > d + √(n + 2d^2)

そこで，m を m > d + √(n + 2d^2) に取り，

a = m，b = k = (m^2 - n - d^2)/(2d)，c = k + d = (m^2 - n + d^2)/(2d)

ただし，b，c は整数なので，与えられた n に対して d を決めたら m をそのように選ぶ必要があります。

これは必ずしも可能ではありません。m^2 ≡ n + d^2 (mod 2d) でなければなりません。

これは平方剰余として知られている話ですが，難しい話はここではせずに例で考えてみましょう。

d = 1 のときは，先ほど見たように，すべての n に対して必ず解があります。

n = 7，d = 5 としてみましょう。

すると，mod 10 で，m^2 ≡ 7 + 25 ≡ 32 ≡ 2，これは解がありません。

n = 7，d = 9 では，mod 18 で，m^2 ≡ 7 + 81 ≡ 88 ≡ 16，m ≡ ±4，で，

m > 9 + √(7 + 2(9^2)) = 9 + √169 = 9 + 13 = 22，m = 32，とできて，

a = 32，b = (32^2 - 7 - 9^2)/18 = 52，c = 52 + 9 = 61，

7 = 32^2 + 52^2 - 61^2

と書けます。

「私の一日NO74，NO2：2015年1月11日（日) 」にある例，

＞本日の111を平方の和と差で表すと、111＝164＾2＋432＾2−541＾2が成り立ちます。

＞また、平成27年は２７＝38＾2＋48＾2−61＾2として表されます。

を，この方法で再現できるか，調べてみます。

n = 27，d = 13，mod 26，m^2 ≡ 27 + 13^2 ≡ 196，m ≡ ±14，

m > 13 + √(27 + 2(13^2)) = 13 + √365 = 13 + 19.1… = 32.1…，m = 38，とできて，

a = 38，b = (38^2 - 27 - 13^2)/26 = 48，c = 48 + 13 = 61，

27 = 38^2 + 48^2 - 61^2

n = 111，d = 109，mod 218，m^2 ≡ 111 + 109^2 ≡ 11992 ≡ 2

これを解くのはかなり難しいのですが，m = 2x とおくと，mod 109 で，

2x^2 ≡ 1，x^2 ≡ 55，mod 109 の 109 は素数

ここで，平方剰余の定理を使って調べると，どうも解はないようです！

しかし，

＞111＝164＾2＋432＾2−541＾2が成り立ちます。

と書かれているので，おかしいなぁ，と思って，右辺を計算してみると，

164^2 + 432^2 - 541^2 = 26896 + 186624 - 292681 = - 79161 ≠ 111

となってしまいました。何か記載ミスかな？

その後，訂正が入りましたね。

「私の一日NO74，NO3：2015年1月12日（月)」にある例，

＞111＝164＾2＋216＾2−271＾2が正当です。

これならば．．．

n = 111，d = 55，mod 110，m^2 ≡ 111 + 55^2 ≡ 3136 ≡ 56

これを解くのに，m = 2x とおくと，mod 55 で，

2x^2 ≡ 28，x^2 ≡ 14，これは地道に調べて，x ≡ ±17,±27，m ≡ ±34,±54 mod 110

m > 55 + √(111 + 2(55^2)) = 55 + √6161 = 55 + 78.4… = 133.4…，m = 164，とできて，

a = 164，b = (164^2 - 111 - 55^2)/110 = 216，c = 216 + 55 = 271，

111 = 164^2 + 216^2 - 271^2

と再現できます。

もちろん，これ以外にも無数の解がありますが，まぁ，それはいいことにしましょう。

いずれにせよ，このような式をポンと書けるということは，背景に何かありますね。

その後に，「ラマヌジャン」，「恒等式」，というキーワードがあるので，

彼が見つけた恒等式があるのでしょうか。

そう思ってネットで少し探してみたのですが，見つかりませんでした。

(考察2)

実用上はあまり意味はありませんが，

常に解のある d = 1 の場合をもう少し恒等式らしく書いておきましょうか。

d = 1 の場合は，

m を m > 1 + √(n + 2) で，n が偶数のとき m を奇数，n が奇数のとき m を偶数，に取り，

a = m，b = k = (m^2 - n - 1)/2，c = k + 1 = (m^2 - n + 1)/2

でした。そこで，

n が偶数のとき

n -> 2n，m -> 2m + 1，と置き換えると，

m > √(2n + 2)/2

a = 2m + 1，b = k = 2m^2 + 2m - n ，c = k + 1 = 2m^2 + 2m - n + 1

2n = (2m + 1)^2 + (2m^2 + 2m - n)^2 - (2m^2 + 2m - n + 1)^2

n が奇数のとき

n -> 2n + 1，m -> 2m，と置き換えると，

m > (1 + √(2n + 3))/2

a = 2m，b = k = 2m^2 - n - 1 ，c = k + 1 = 2m^2 - n

2n + 1 = (2m)^2 + (2m^2 - n - 1)^2 - (2m^2 - n)^2

と書けます。

そこで，例えば，m = n + 2 とすれば，すべての 0 以上の整数 n で条件の不等式は成立するので，

2n = (2n + 5)^2 + (2n^2 + 9n + 12)^2 - (2n^2 + 9n + 13)^2

2n + 1 = (2n + 4)^2 + (2n^2 + 7n + 7)^2 - (2n^2 + 7n + 8)^2

となります。

実は，2015年1月12日(月)に，水の流れさんからメールを頂き，

二度漬け白菜さんから次の恒等式の情報を頂いた，とありました。

＞「A Collection of Algebraic Identities」というサイトには

＞多くの恒等式が紹介されています．

＞https://sites.google.com/site/tpiezas/Home

＞このサイトで次のような恒等式を見つけました．

＞2*n=(2*m+1)^2+(2*m^2+2*m-n)^2-(2*m^2+2*m-n+1)^2，

＞2*n-1=(2*m)^2+(2*m^2-n)^2-(2*m^2-n+1)^2．

＞(https://sites.google.com/site/tpiezas/003)

＞この2つの恒等式において例えば m=n+2 とすれば

＞それがそのまま問題2の解答になっています．

最初見たときには「わーすごいなぁ」と思ったのですが，

よく見ると，これは d = 1 の場合で，私の手法で既に導けているのでは，と思い確認してみました。

最初の式は全く同じで，２番目の式は私の式で n -> n - 1 としたものですね。

(考察3)

(考察1)では，与えられた n と任意の d に対して m を求める方法を考えました。

これには次の条件式を解く必要がありした。

m > d + √(n + 2d^2)，m^2 ≡ n + d^2 (mod 2d)

これらに解がある場合には，

a = m，b = (m^2 - n - d^2)/(2d)，c = b + d = (m^2 - n + d^2)/(2d)，

n = a^2 + b^2 - c^2

と書けます。しかしながら，解が存在しないこともありました。

ただ，そもそもは，n = a^2 + b^2 - c^2 となる a，b，c を n で表せれば十分なので，

与えられた n に対して条件式を満たすように d と m を決めれば十分です。

実際，d = 1 のときはこれが可能なことを問題２：と(考察2)で示しました。

ここでは一般に d が 1 以外も含む特殊解を導いてみましょう。

n = 0 の場合は，a，b，c としてピタゴラス数とすればいいです。

n = 1 の場合は，ちょっとうまくいっていないので，ひとまず，d = 1 で妥協します (^^;

以下では，n >= 2 とします。

まず，m^2 ≡ n + d^2 (mod 2d) を考えます。

今，s を 0 以上の整数として，m = n + d + 2ds 又は m = d - n + 2ds としてみます。

すると，どちらも，n^2 ≡ n，n(n - 1) ≡ 0 (mod 2d)，となります。

ここで，n(n - 1) は常に偶数なので，n(n - 1) = 2d，d = n(n - 1)/2，と決めることができ，

そうすれば合同式の条件は n >= 2 で常に満たします。

次に，m > d + √(n + 2d^2)，を考えます。

(1) m = n + d + 2ds の場合

n + d + 2ds > d + √(n + 2d^2)，n + 2ds > √(n + 2d^2)

明らかに，n >= 2，s >= 1 で常に成立します。そこで，n >= 2，s >= 1，で，

a = n + (2s + 1)d = (s + 1/2)n^2 - (s - 1/2)n

b = ((n + (2s + 1)d)^2 - n - d^2)/(2d) = (2s + 1)n + (2s^2 + 2s)d + 1 = s(s + 1)n^2 - (s^2 - s - 1)n + 1

c = b + d = (2s + 1)n + (2s^2 + 2s + 1)d + 1 = (s^2 + s + 1/2)n^2 - (s^2 - s - 1/2)n + 1

n = ((s + 1/2)n^2 - (s - 1/2)n)^2 + (s(s + 1)n^2 - (s^2 - s - 1)n + 1)^2 - ((s^2 + s + 1/2)n^2 - (s^2 - s - 1/2)n + 1)^2

(2) m = d - n + 2ds の場合

d - n + 2ds > d + √(n + 2d^2)，- n + 2ds > √(n + 2d^2)，s > (n + √(n + 2d^2))/(2d)

この範囲の n，s に対して，

a = - n + (2s + 1)d = (s + 1/2)n^2 - (s + 3/2)n

b = ((- n + (2s + 1)d)^2 - n - d^2)/(2d) = - (2s + 1)n + (2s^2 + 2s)d + 1 = s(s + 1)n^2 - (s^2 + 3s + 1)n + 1

c = b + d = - (2s + 1)n + (2s^2 + 2s + 1)d + 1 = (s^2 + s + 1/2)n^2 - (s^2 + 3s + 3/2)n + 1

n = ((s + 1/2)n^2 - (s + 3/2)n)^2 + (s(s + 1)n^2 - (s^2 + 3s + 1)n + 1)^2 - ((s^2 + s + 1/2)n^2 - (s^2 + 3s + 3/2)n + 1)^2

ただし，n = 2 の場合には，d = 1 となります。

これは少し複雑なので，もう少し簡潔な式を求めてみましょう。

先ほどの，n(n - 1) ≡ 0 (mod 2d)，において，t を 0 以上の自然数として次のようにできます。

(1) m = n + d + 2ds の場合

(1-1) n が偶数，n = 2t，の場合

n = 2d，d = t と決めることができ，こうすれば合同式は n >= 2 で常に成立します。

そして，m = n + d + 2ds = 3t + 2st，です。

次に，m > d + √(n + 2d^2)，を考えます。

3t + 2st > t + √(2t + 2t^2)，2t + 2st > √(2t + 2t^2)

明らかに，n = 2t >= 2，s >= 1 で常に成立します。そこで，n >= 2，s >= 1，で，

a = 3t + 2st = (2s + 3)t

b = (((2s + 3)t)^2 - 2t - t^2)/(2t) = (2s^2 + 6s + 4)t - 1

c = b + t = (2s^2 + 6s + 5)t - 1

n = 2t = ((2s + 3)t)^2 + ((2s^2 + 6s + 4)t - 1)^2 - ((2s^2 + 6s + 5)t - 1)^2

ただし，n = 2 の場合には，d = 1 となります。

(1-2) n が奇数，n = 2t + 1，の場合

n - 1 = 2d，d = t と決めることができ，こうすれば合同式は n >= 3 で常に成立します。

そして，m = n + d + 2ds = 3t + 1 + 2st，です。

次に，m > d + √(n + 2d^2)，を考えます。

3t + 1 + 2st > t + √(2t + 1 + 2t^2)，2t + 1 + 2st > √(2t + 1 + 2t^2)

明らかに，n = 2t + 1 >= 3，s >= 1 で常に成立します。そこで，n >= 3，s >= 1，で，

a = 3t + 1 + 2st = (2s + 3)t + 1

b = (((2s + 3)t + 1)^2 - (2t + 1) - t^2)/(2t) = (2s^2 + 6s + 4)t + (2s + 2)

c = b + t = (2s^2 + 6s + 5)t + (2s + 2)

n = 2t + 1 = ((2s + 3)t + 1)^2 + ((2s^2 + 6s + 4)t + (2s + 2))^2 - ((2s^2 + 6s + 5)t + (2s + 2))^2

ただし，n = 3 の場合には，d = 1 となります。

(2) m = d - n + 2ds の場合

(2-1) n が偶数，n = 2t，の場合

n = 2d，d = t と決めることができ，こうすれば合同式は n >= 2 で常に成立します。

そして，m = d - n + 2ds = - t + 2st，です。

次に，m > d + √(n + 2d^2)，を考えます。

- t + 2st > t + √(2t + 2t^2)，s > (2t + √(2t^2 + 2t))/(2t)，t > 1/(2(s - 1)^2 - 1)

これらの範囲の s，t に対して，

a = - t + 2st = (2s - 1)t

b = (((2s - 1)t)^2 - 2t - t^2)/(2t) = (2s^2 - 2s)t - 1

c = b + t = (2s^2 - 2s + 1)t - 1

n = 2t = ((2s - 1)t)^2 + ((2s^2 - 2s)t - 1)^2 - ((2s^2 - 2s + 1)t - 1)^2

ただし，n = 2 の場合には，d = 1 となります。

(2-2) n が奇数，n = 2t + 1，の場合

n - 1 = 2d，d = t と決めることができ，こうすれば合同式は n >= 3 で常に成立します。

そして，m = d - n + 2ds = - t + 2st - 1，です。

次に，m > d + √(n + 2d^2)，を考えます。

- t + 2st - 1 > t + √(2t + 1 + 2t^2)，s > (2t + 1 + √(2t^2 + 2t + 1))/(2t)，t > (2(s - 1) + 1)/(2(s - 1)^2 - 1)

これらの範囲の s，t に対して，

a = - t + 2st - 1 = (2s - 1)t - 1

b = (((2s - 1)t - 1)^2 - (2t + 1) - t^2)/(2t) = (2s^2 - 2s)t - 2s

c = b + t = (2s^2 - 2s + 1)t - 2s

n = 2t + 1 = ((2s - 1)t - 1)^2 + ((2s^2 - 2s)t - 2s)^2 - ((2s^2 - 2s + 1)t - 2s)^2

ただし，n = 3 の場合には，d = 1 となります。

まとめると，適切な s，t の範囲で，

2t = ((2s + 3)t)^2 + ((2s^2 + 6s + 4)t - 1)^2 - ((2s^2 + 6s + 5)t - 1)^2

2t + 1 = ((2s + 3)t + 1)^2 + ((2s^2 + 6s + 4)t + (2s + 2))^2 - ((2s^2 + 6s + 5)t + (2s + 2))^2

又は

2t = ((2s - 1)t)^2 + ((2s^2 - 2s)t - 1)^2 - ((2s^2 - 2s + 1)t - 1)^2

2t + 1 = ((2s - 1)t - 1)^2 + ((2s^2 - 2s)t - 2s)^2 - ((2s^2 - 2s + 1)t - 2s)^2

特に，これらの式で，

s = 1

2t = (5t)^2 + (12t - 1)^2 - (13t - 1)^2，t >= 1

2t + 1 = (5t + 1)^2 + (12t + 4)^2 - (13t + 4)^2，t >= 1

s = 2

2t = (7t)^2 + (24t - 1)^2 - (25t - 1)^2，t >= 1

2t + 1 = (7t + 1)^2 + (24t + 6)^2 - (25t + 6)^2，t >= 1

又は

2t = (3t)^2 + (4t - 1)^2 - (5t - 1)^2，t >= 2

2t + 1 = (3t - 1)^2 + (4t - 4)^2 - (5t - 4)^2，t >= 4

s = 3

2t = (9t)^2 + (40t - 1)^2 - (41t - 1)^2，t >= 1

2t + 1 = (9t + 1)^2 + (40t + 8)^2 - (41t + 8)^2，t >= 1

又は

2t = (5t)^2 + (12t - 1)^2 - (13t - 1)^2，t >= 1

2t + 1 = (5t - 1)^2 + (12t - 6)^2 - (13t - 6)^2，t >= 1

．．．

そして，s = 2 の

2t + 1 = (3t - 1)^2 + (4t - 4)^2 - (5t - 4)^2，t >= 3

において，

t = 13，27 = 38^2 + 48^2 - 61^2

t = 55，111 = 164^2 + 216^2 - 271^2

となって，水の流れさんの「私の一日」にある例が再現できます。

背景にあったのはこの不等式ですね。

(感想)

最初は妙に簡単に思い，題意を勘違いしていないかちょっと心配だったりしました。

その後，水の流れさんとのメールのやり取りで，題意の理解は正しいものの，

むしろ，背景にある恒等式を探すことに興味がわいてきて，

(考察1)の最後に書いたように，一般の解を与える恒等式を探すのが課題になりました。

実際，d = 1 の場合は(考察2)で示したように容易に恒等式を導けます。

d が 1 以外の場合も，一部ですが，(考察3)で示すことができました。

ただ，さらに一般の d の場合は，

m > d + √(n + 2d^2)，m^2 ≡ n + d^2 (mod 2d)

に解がある場合には，

a = m，b = (m^2 - n - d^2)/(2d)，c = b + d = (m^2 - n + d^2)/(2d)，

n = a^2 + b^2 - c^2

と書けますが，解が存在しないこともあります。

そこらを詰めるのは，私には難しそうで，ちょっと思い付かないです (^^;

なお，ちなみに，例えば，導いた恒等式のいくつかを使って，

27

= 8^2 + 18^2 - 19^2

= 1026^2 + 1324^2 - 1675^2

= 66^2 + 160^2 - 173^2

= 92^2 + 318^2 - 331^2

= 38^2 + 48^2 - 61^2

= …

2015

= 46^2 + 50^2 - 51^2

= 6085300^2 + 8110376^2 - 10139481^2

= 5036^2 + 12088^2 - 13095^2

= 7050^2 + 24174^2 - 25181^2

= 3020^2 + 4024^2 - 5031^2

= …

などとと書けますね。

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 01/11 21時20分　受信 更新 2/8

回答

問題2から解いて求める。

問題２：一般に任意の０以上の整数がａ^２＋ｂ^２−ｃ^２（ａ≨ｂ≨ｃで正整数）の形で表されるか否かを考察ください。

c-b=k, c+b=2b+k

a^2-k(2b+k)=a^2-k^2-2bk=b^2・・・a<b なので…2≦b

a^2=(k+b)^2

　b=2・・・(k+2)^2-k(4+k)

　k=1・・・3^2-(4+1)=4

　k=2・・・4^2-2(4+2)=4

平方数は表せることはわかるが…

k=1のときを考えると…

以下のようにすべての場合で可能なことがわかる ^^

a^2-(2b+1)=m

a^2=2b+1+m はいつでも存在できる…

mが偶数なら、aは奇数=(2n-1)　

(2n-1)^2=(2b+1)+m・・・mは偶数

(4n^2-4n-m)/2=b

mが奇数なら…aは偶数=2n

(2n)^2=(2b+1)+m…b=(4n^2-1-m)/2

・m=4なら…

(2n-1)^2=2b+5…b=(4n^2-4n-4)/2=2n^2-2n-2

2n-1<2n^2-2n-2

4n+1<2n^2…n=3 は満たす…

5^2+10^2-11^2=4

・ m=5 なら…

(2n)^2=2b+6…b=(4n^2-6)/2=2n^2-3

2n<2n^2-3…n=2 は満たす…

4^2+5^2-6^2=5

・ m=6 なら…

(2n-1)^2=2b+7…b=(4n^2-4n-6)/2=2n^2-2n-3

2n-1<2n^2-2n-3

4n+2<2n^2…n=3 は満たす…

5^2+9^2-10^2=6

・ m=7 なら…

(2n)^2=2b+8…b=(4n^2-8)/2=2n^2-4

2n<2n^2-4…n=3 は満たす…

6^2+14^2-15^2=7

今回は自信あり ^^♪

「二度漬け白菜」 01/12 08時10分　受信 更新 2/8

ペンネーム：二度漬け白菜

第316回数学的な応募問題の解答を送ります．
よろしくお願いいたします．

問題1：

4=19^2+178^2-179^2
5=28^2+389^2-390^2
6=39^2+757^2-758^2
7=52^2+1348^2-1349^2  (答)

問題2：
任意の整数は，a^2+b^2-c^2 (a，b，c は正整数であって，a＜b＜cを満たす)
という形に表すことが可能である．(答)

以下に示すように，任意の整数 n は，平方の和と差の形にかける．

n = (n^2+3)^2 + (3*n^2+4+(1/2)*(n^4-n))^2 - (3*n^2+5+(1/2)*(n^4-n))^2．

ここで，n^2+3，3*n^2+4+(1/2)*(n^4-n)，3*n^2+5+(1/2)*(n^4-n) はすべて
正の整数であることがわかる．
また，不等式 n^2+3 ＜ 3*n^2+4+(1/2)*(n^4-n) ＜ 3*n^2+5+(1/2)*(n^4-n)
が成り立っていることもわかる．
よって任意の整数 n は，
n=a^2+b^2-c^2 (a，b，cは正整数であって，a＜b＜cを満たす)
という形にかけることが示せた．

問題2について：
問題文は「任意の0以上の整数」となっていますが，実際には，上に述べたように
「任意の整数」が a^2+b^2-c^2 (0＜a＜b＜c) という形にかけると思います．
任意の整数nに対して，y^2-n が4以上の偶数になるような正整数yが(無数に)存在します．
そこで y^2-n=2*x (xは2以上の整数)としておけば，
恒等式 n=(1+y)^2+(x+y)^2-(1+x+y)^2 が成り立ちます．
y=n^2+2 としたものが上記の解答です．

「A Collection of Algebraic Identities」というサイトには
多くの恒等式が紹介されています．
https://sites.google.com/site/tpiezas/Home
このサイトで次のような恒等式を見つけました．

2*n=(2*m+1)^2+(2*m^2+2*m-n)^2-(2*m^2+2*m-n+1)^2，

2*n-1=(2*m)^2+(2*m^2-n)^2-(2*m^2-n+1)^2．

(https://sites.google.com/site/tpiezas/003)

この2つの恒等式において例えば m=n+2 とすれば
それがそのまま問題2の解答になっています．

「浜田明巳」 01/14 13時25分　受信 更新 2/8

問題２を最初に解く．
　ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２＝ｎ，ａ，ｂ，ｃは正整数，ａ＜ｂ＜ｃ，ｎは非負整数とする．
i). ｎ＝２ｍ（ｍは非負整数）のとき，
　ａ＝２ｋ＋１（ｋは非負整数）とすると，
　　ｃ^２−ｂ^２＝ａ^２−ｎ＝(２ｋ＋１)^２−２ｍ
　　∴(ｃ＋ｂ)(ｃ−ｂ)＝４ｋ^２＋４ｋ＋１−２ｍ
　ここで，
　　ｃ＋ｂ＝４ｋ^２＋４ｋ＋１−２ｍ，ｃ−ｂ＝１
とすると，
　　ｃ＝２ｋ^２＋２ｋ＋１−ｍ，ｂ＝２ｋ^２＋２ｋ−ｍ
　明らかに，ｂ＜ｃであり，
　　ｂ−ａ＝(２ｋ^２＋２ｋ−ｍ)−(２ｋ＋１)＝２ｋ^２−ｍ−１
　ａ＜ｂであるから，
　　２ｋ^２−ｍ−１＞０
　　∴ｋ^２＞(ｍ＋１)／２
　ｋ≧０から，ｋ＞{(ｍ＋１)／２}^１／２＝(ｎ＋２)^１／２／２
　このとき，正整数ａ，ｂ，ｃは存在する．

ii). ｎ＝２ｍ＋１（ｍは非負整数）のとき，
　ａ＝２ｋ（ｋは正整数）とすると，
　　ｃ^２−ｂ^２＝ａ^２−ｎ＝(２ｋ)^２−(２ｍ＋１)
　　∴(ｃ＋ｂ)(ｃ−ｂ)＝４ｋ^２−２ｍ−１
　ここで，
　　ｃ＋ｂ＝４ｋ^２−２ｍ−１，ｃ−ｂ＝１
とすると，
　　ｃ＝２ｋ^２−ｍ，ｂ＝２ｋ^２−ｍ−１
　明らかに，ｂ＜ｃであり，
　　ｂ−ａ＝(２ｋ^２−ｍ−１)−２ｋ＝２ｋ^２−２ｋ−(ｍ＋１)
　ａ＜ｂであるから，
　　２ｋ^２−２ｋ−(ｍ＋１)＞０
　　∴ｋ＜{１−(２ｍ＋３)^１／２}／２，{１＋(２ｍ＋３)^１／２}／２＜ｋ
　ここで，ｍ≧０から，(２ｍ＋３)^１／２≧√３＞１
　　∴{１−(２ｍ＋３)^１／２}／２＜０，{１＋(２ｍ＋３)^１／２}／２≧(１＋√３)／２＞０
　ｋ＞０から，ｋ＞{１＋(２ｍ＋３)^１／２}／２＝{１＋(ｎ＋２)^１／２}／２
　このとき，正整数ａ，ｂ，ｃは存在する．

　まとめると，以下のとき，正整数ａ，ｂ，ｃが存在する．
　　ｎが偶数のとき，(ａ，ｂ，ｃ)＝(２ｋ＋１，２ｋ^２＋２ｋ−ｎ／２，２ｋ^２＋２ｋ＋１−ｎ／２)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｋ＞(ｎ＋２)^１／２／２，ｋは整数）
　　ｎが奇数のとき，(ａ，ｂ，ｃ)＝(２ｋ，２ｋ^２−(ｎ＋１)／２，２ｋ^２−(ｎ−１)／２)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｋ＞{１＋(ｎ＋２)^１／２}／２，ｋは整数）

問題１
　問題２より，ｎ＝４のとき，ｋ＞√６／２
　　∴ｋ≧２
　　∴(ａ，ｂ，ｃ)＝(５，１０，１１)，(７，２２，２３)，(９，３８，３９)，………
　ｎ＝５のとき，ｋ＞(１＋√７)／２
　　∴ｋ≧２
　　∴(ａ，ｂ，ｃ)＝(４，５，６)，(６，１５，１６)，(８，２９，３０)，………
　ｎ＝６のとき，ｋ＞√２
　　∴ｋ≧２
　　∴(ａ，ｂ，ｃ)＝(５，９，１０)，(７，２１，２２)，(９，３７，３８)，………
　ｎ＝７のとき，ｋ＞２
　　∴ｋ≧３
　　∴(ａ，ｂ，ｃ)＝(６，１４，１５)，(８，２８，２９)，(１０，４６，４７)，………
　まとめると，
　　４＝５^２＋１０^２−１１^２＝７^２＋２２^２−２３^２＝９^２＋３８^２−３９^２＝………
　　５＝４^２＋５^２−６^２＝６^２＋１５^２−１６^２＝８^２＋２９^２−３０^２＝………
　　６＝５^２＋９^２−１０^２＝７^２＋２１^２−２２^２＝９^２＋３７^２−３８^２＝………
　　７＝６^２＋１４^２−１５^２＝８^２＋２８^２−２９^２＝１０^２＋４６^２−４７^２＝………

「浜田明巳」 01/15 13時59分　受信

「浜田明巳」 01/30 11時13分　受信 更新 2/8

　例の
　　１１１＝１６４^２＋２１６^２−２７１^２
から，分かるように，
　　ｂ＋１＜ｃ
である解は存在する．
　私の解法では，
　　ｂ＋１＝ｃ
を前提に解いており，その場合の解はすべて求めた．
　ｂ＋１＜ｃの場合について考えてみる．
　前回のＥｘｃｅｌのマクロの
　　c>b
の部分を
　　c>b+1
とするだけでよい．
　０≦ｎ≦１０００の範囲では，すべてのｎについて，ａ，ｂ，ｃが少なくとも１組存在することが分かる．
　　(n,a,b,c)=(0,6,8,10),(1,7,11,13),(2,25,41,48),(3,12,22,25),(4,6,7,9),
　　　　　　　(5,7,10,12),(6,9,11,14),(7,10,14,17),(8,8,13,15),(9,7,9,11),
　　　　　　　(10,11,17,20),(11,14,16,21),(12,8,12,14),(13,7,8,10),(14,17,25,30),
　　　　　　　(15,12,20,23),(16,8,11,13),(17,9,15,17),(18,15,33,36),(19,10,12,15),20,8,10,12), ...
　ｃ−ｂの値はいろいろ存在し，残念ながら，まだ規則性は見い出してはいない．

　ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２＝ｎ，ａ，ｂ，ｃは正整数，ａ＜ｂ＜ｃ，ｎは非負整数とする．
　　∴ｃ^２−ｂ^２＝ａ^２−ｎ
　　∴(ｃ＋ｂ)(ｃ−ｂ)＝ａ^２−ｎ
　ここで，ａ^２−ｎ＝ｐｑ（ｐ，ｑは正整数，ｐ≧ｑ）とする．
　ｃ＋ｂ＞ｃ−ｂから，
　　ｃ＋ｂ＝ｐ，ｃ−ｂ＝ｑ
　　∴(ｃ，ｂ)＝((ｐ＋ｑ)／２，(ｐ−ｑ)／２)
　ｂ＝(ｐ−ｑ)／２＞０から，ｐ＞ｑ
　(ｐ＋ｑ)／２，(ｐ−ｑ)／２が整数なので，
　　ｐ，ｑの偶奇は一致する
　ａ^２−ｎ＝ｐｑ，ａ＞０から，
　　ａ＝(ｎ＋ｐｑ)^１／２
　ｃ＝(ｐ＋ｑ)／２＞(ｐ−ｑ)／２＝ｂであり，
　　ａ＝(ｎ＋ｐｑ)^１／２＜(ｐ−ｑ)／２＝ｂ
　　∴４(ｎ＋ｐｑ)＜(ｐ−ｑ)^２
　　∴ｎ＜(ｐ^２−６ｐｑ＋ｑ^２)／４
　まとめると，ｐ，ｑは正整数，ｐ＞ｑ，ｐ，ｑの偶奇が一致し，
　　(ｎ＋ｐｑ)^１／２
が正整数であり（ｎ＋ｐｑは平方数），
　　ｎ＜(ｐ^２−６ｐｑ＋ｑ^２)／４
のとき，
　　(ａ，ｂ，ｃ)＝((ｎ＋ｐｑ)^１／２，(ｐ−ｑ)／２，(ｐ＋ｑ)／２)
となる．

　ｎ＝０のとき，
　　ｐ，ｑは正整数，ｐ＞ｑ，ｐ，ｑの偶奇が一致，ｐｑは平方数，０＜ｐ^２−６ｐｑ＋ｑ^２
であるから，
　　(ｐ，ｑ)＝(９，１)，(２５，１)，(４９，１)，・・・，
　　　　　　　(１８，２)，(３２，２)，・・・
などの解が存在する．

　ｎ＜(ｐ^２−６ｐｑ＋ｑ^２)／４から，
　　ｐ(ｐ−６ｑ)＋(ｑ^２−４ｎ)＞０
　故にｐ＞６ｑ＞６・２ｎ^１／２，ｎ＋ｐｑは平方数，ｐ，ｑの偶奇が一致となるように正整数ｐ，ｑを選べばよい．
　しかし，このようなｐ，ｑが確かに存在するかどうかまでは分からない．

　４つの平方数の和について．
　Ｅｘｃｅｌのマクロで計算させたところ，
2015=1²+3²+18²+41²=...=19²+21²+22²+27²
(61通り)
20152015=1²+2²+1081²+4357²=...=2214²+2227²+2229²+2307²
(572604通り)
という大量の答が現れた．

「早起きのおじさん」 01/18 16時57分　受信 更新 2/8

ただし、a＜b＜c、n≧0とします。

●n＝0のときは、3数a、b、cはピタゴラス数になります。

　p、qを正の整数として、次の3数です。

p²−q²、2pq、p²＋q²　 (p＞q)

　p²−q²＝2pqとすると、 なので

　p＜ のときは、a＝p²−q²、ｂ＝2pq、c＝p²＋q²

　p＞ のときは、a＝2pq、ｂ＝p²−q²、c＝p²＋q²

●n≠0の場合を調べます。

問題１

ここで、cとbとの差をd とおきます。(c＝b＋d、d＞0)

すると、

2行目の式をbについて解きます。

　････(1)

このグラフは右のようになります。

a＜bなので、放物線の右上の太い赤線部分が対象になります。

式(1)で、a＝b＝αとおきます。

よって、

がaの条件になります。

・cとbとの差d＝1のとき、

がaの条件になります。

　････(2)

なので、bが整数のとき、分子は2の倍数です。

nが奇数ならaは偶数、nが偶数ならaは奇数です。

　n＝4なら、 なので、a＝5、7、9、･･･などが適します。

　式(2)に代入して、(a,b,c)は、(5,10,11)、(7,22,23)、(9,38,39)、･･･、

一般には、p≧3として、(2p−1, 2p²−2p−2, 2p²−2p−1)

　n＝5なら、 なので、a＝4、6、8、･･･などが適します。

　式(2)に代入して、(a,b,c)は、(4,5,6)、(6,15,16)、(8,29,30)、･･･

一般には、p≧3として、(2p, 2p²−3, 2p²−2)

　n＝6なら、 なので、a＝5、7、9、･･･などが適します。

　式(2)に代入して、(a,b,c)は、(5,9,10)、(7,21,22)、(9,37,38)、･･･

一般には、p≧3として、(2p−1, 2p²−2p−3, 2p²−2p−2)

　n＝7なら、 なので、a＝6、8、10･･･などが適します。

　式(2)に代入して、(a,b,c)は、(6,14,15)、(8,28,29)、(10,46,47)、･･･

一般には、p≧3として、(2p, 2p²−4, 2p²−3)

・d＝2のとき、

がaの条件になります。

　････(3)

　なので、分子は4の倍数です。

　(4p)²＝16p²＝4×4p²、

(4p＋1)²＝16p²＋8p＋1＝4×(4p²＋2p)＋1、

(4p＋2)²＝16p²＋16p＋4＝4×(4p²＋4p＋1)、

(4p＋3)²＝16p²＋24p＋9＝4×(4p²＋6p＋2)＋1、

なので、n＝4k、4k＋1の形の数でないとうまくいきません。

n＝4k なら、

a＝4pとして、 、

a＝4p＋2として、 、 、

n＝4k＋1なら、

a＝4p＋1として、 、

a＝4p＋3として、 、

　と整数になりますが、n＝4k＋2、4k＋3の形の数では、bが整数にはなりません。

　n＝4なら、 なので、a＝6、8、･･･などが適します。

　式(3)に代入して、(a,b,c)は、(6,7,9)、(8,14,16)、･･･

　n＝5なら、 なので、a＝7、9、･･･などが適します。

　式(3)に代入して、(a,b,c)は、(7,10,12)、(9,18,20)、･･･

　n＝6、7はうまくいきません。

・d＝3のとき、

がaの条件になります。

　････(4)

　なので、分子は6の倍数です。

(6p)²＝36p²＝6×6p²、

(6p＋1)²＝36p²＋12p＋1＝6×(4p²＋2p)＋1、

(6p＋2)²＝36p²＋24p＋4＝6×(4p²＋4p)＋4、

(6p＋3)²＝36p²＋369p＋9＝6×(4p²＋6p＋1)＋3、

(6p＋4)²＝36p²＋48p＋16＝6×(4p²＋4p＋2)＋4、

(6p＋5)²＝36p²＋60p＋25＝6×(4p²＋6p＋4)＋1、

なので、n＝6k＋3、6k＋4、6k、6k＋1の形の数でないとうまくいきません。

n＝6k＋3 なら、

a＝6pとして、 、

n＝6k＋4なら、

a＝6p＋1として、 、c

a＝6p＋5として、 、

n＝6k なら、

a＝6p＋3として、 、

n＝6k＋1なら、

a＝6p＋2として、 、

a＝6p＋4として、 、

　と整数になりますが、n＝6k＋2、6k＋5の形の数では、bが整数にはなりません。

　n＝4なら、 なので、a＝11、13、･･･などが適します。

　式(4)に代入して、(a,b,c)は、(11,18,21)、(13,26,29)、･･･

n＝6なら、 なので、a＝9、15、･･･などが適します。

　式(4)に代入して、(a,b,c)は、(9,11,14)、(15,35,38)、･･･

　n＝7なら、なので、a＝10、14、･･･などが適します。

　式(4)に代入して、(a,b,c)は、(10,14,17)、(14,30,33)、･･･

　n＝5、8はうまくいきません。

　n＝9なら、なので、a＝12、18、･･･などが適します。

　式(4)に代入して、(a,b,c)は、(12,21,24)、(18,51,54)、･･･

問題２（おおまかなお話として）

ここで、n＝4、5、6、7から放れます。

・cとbの差がdのとき、

がaの条件になります。

　････(5)

　なので、分子は2dの倍数です。

　具体的にnが決まると、aの条件を調べることができます。

●例えば、n＝2015(＝5×13×31)としてみます。

　dとしては、nの約数が考えやすいので、d＝5としてみます。

がaの条件になります。

　2d＝10なので、10の倍数a＝60を候補にし、式(5)に代入してみます。

すると、a＝60、、c＝161

　次に、d＝13としてみます。

がaの条件になります。

　2d＝26なので、26の倍数a＝78を候補にし、式(5)に代入してみます。

すると、a＝78、、c＝163

　次に、d＝31としてみます。

がaの条件になります。

　2d＝62なので、62の倍数a＝124を候補にし、式(5)に代入してみます。

すると、a＝124、、c＝231

※ この例は、nとdが奇数なのでうまくいきます。

●次に、n＝2016(＝2⁵×3²×7)としてみます。

　d＝7としてみます。

がaの条件になります。

　2d＝14なので、14の倍数a＝56を候補にし、式(5)に代入してみます。

すると、当然のことながら、 と整数になりません。

　そこで、式(5)の分子をみて、dを偶数のd＝2としてみます。

がaの条件になります。

　2d＝4なので、4の倍数a＝48を候補にし、式(5)に代入してみます。

すると、a＝48、、c＝73

　次にd＝6としてみます。

がaの条件になります。

　2d＝12なので、12の倍数a＝60を候補にし、式(5)に代入してみます。

すると、a＝60、、c＝135

　次に、d＝14としてみます。

がaの条件になります。

　2d＝28なので、28の倍数a＝84を候補にし、式(5)に代入してみます。

すると、a＝84、、c＝187

●nが与えられたなら、nを素因数分解します。

そして式(5)の様子を見ながら、dを決めていけば、3数a、b、cを見つけられるようです。

※cとbとの差で考えましたが、bとaとの差で考えると、グラフが双曲線になり難しくなります。

「Iga」 　　　　　　 01/19 00時02分　受信 更新 2/8

第３１６回

０＝３²＋４²−５²、１＝４²＋７²−８²、２＝５²＋１１²−１２²、

３＝４²＋６²−７²

・・・のように３数の平方の和と差で表すことができます。

ただし、ａ²＋ｂ²−ｃ²は　ａ≨ｂ≨ｃで正整数とする。

問題１：４，５，６，７をａ²＋ｂ²−ｃ²（ａ≨ｂ≨ｃで正整数）の形で表してください。

問題２：一般に任意の０以上の整数がａ²＋ｂ²−ｃ²（ａ≨ｂ≨ｃで正整数）の形で表されるか否かを考察ください。　

こんにちは、Ｉｇａです。久しぶりの訪問ですが、よろしくお願いいたします。

問題１　

　４＝５²＋１０²−１１²＝６²＋７²−９²＝７²＋２２²−２３²

　５＝４²+５²−６²　　　　　　　　　 ＝８²＋２９²−３０²

６＝５²＋９²−１０²　　　　　　 ＝９²＋３７²−３８²

７＝６²＋１４²−１５²　　　　　　　＝１０²＋４６²−４７²

問題２

　　以下、　ａ²＋ｂ²−ｃ²　を（ａ，ｂ，ｃ）と表します

０＝（３,４,５）

１＝（４,７,８）

２＝（５，１１，１２）

これを眺めていたら、ａが１ずつ増えていて、ｂとｃの差が１なのが気になって、３もａが６のものがあるんじゃないかと探してみたら、

　３＝（６,１６,１７）

を見つけました。また、ｂは３、４、５と増えていますので、階和で表せそうです。

整数ｎを表すａ、ｂ、ｃは

　ａ＝ｎ＋３，　ｂ＝Σ（ｎ＋２）＋１，　ｃ＝Σ（ｎ＋２）＋２

となります。確かめてみると、

　　（ｎ＋３）²＋（（ｎ＋３）（ｎ＋２）／２＋１）²−（（ｎ＋３）（ｎ＋２）／２＋２）²

＝ｎ²＋６ｎ＋９＋（（ｎ＋３）（ｎ＋２）＋３）×（−１）

＝ｎ²＋６ｎ＋９−（ｎ²＋５ｎ＋９）

＝ｎ

となり、数は大きくなりますが、任意の０以上の整数がａ²＋ｂ²−ｃ²（ａ≨ｂ≨ｃで正整数）の形で表されることがわかりました。このパターンで求めたものが、問題１の右端の解答です。

もっと小さい数で表す方法のパターンを探ろうと、また並べてみました。

０＝（３，４，５）

１＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４，７，８）

２＝（５，１１，１２）

　３＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４，６，７）　＝（６，１６，１７）

　４＝（５，１０，１１）＝（７，２２，２３）

　５＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４，５，６）　＝（６，１５，１６）

　６＝（５，９，１０）＝（７，２１，２２）

　７＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６，１４，１５）

　８＝（５，８，９）　＝（７，２０，２１）

　９＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６，１３，１４）

１０＝（５，７，８）　＝（７，１９，２０）

１１＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６，１２，１３）

１２＝（５，６，７）　＝（７，１８，１９）

１３＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６，１１，１２）

１４＝　　　　　　　　　（７，１７，１８）

奇数と偶数でそれぞれの流れになっていて、ｂとｃが１ずつ減っていき、

（３，４，５）、（４，５，６）のように、（ａ，ａ＋１，ａ＋２）の形になると、これ以上は減らせないので、ａを２増やして次の数のパターンに移行するようです。式化を試みたのですが、うまくいきませんでした。

また、４＝６²＋７²−９²のように、ｂとｃの差が１でないパターンもあるようです。

とりあえずここまでを送ります。

「三角定規」 01/24 00時02分　受信 更新 2/8

● 第316回応募問題解答＜三角定規＞

[問題１]　3つずつ例を上げますが，他にいくらでも作ることが可能です。

　 4＝52＋102−112 (c＝b＋1)

　 ＝72＋222−232 ( 〃 )

　 ＝112＋182−212 (c＝b＋3)

　　5＝42＋52−62 (c＝b＋1)

　　 ＝62＋152−162 ( 〃 )

　　 ＝72＋102−122 (c＝b＋2)

　　6＝52＋92−102 (c＝b＋1)

　　 ＝72＋212−222 ( 〃 )

　　 ＝92＋112−142 (c＝b＋3)

　　7＝62＋142−152 (c＝b＋1)

　　 ＝82＋282−292 ( 〃 )

　　 ＝102＋142−172 (c＝b＋3)

[問題２] すべての整数N (≧0) は，自然数a, b, c (a＜b＜c) を用いて

　　　　　　　N＝a2＋b2−c2 …�@

と表すことができる。

《証明》 c＝b＋1，すなわち　N＝a2＋b2−(b＋1)2 …�A の形の場合を証明する。

�Aより， N＝a2−(2b＋1) …�B

a＜b より 0≦N＜a2−2a−1＝(a−1)2−2

(1) aが奇数 a＝2k＋1 (k＝1, 2, …) のとき

�Bより　N＝(2k＋1)2−(2b＋1)＝2(2k2＋2k−b)≧0 ∴ b≦2k(k＋1)

　　また a＜b より 2k＋2≦bで, b＝2k＋2 のとき N＝4(k2−1) だから

　　bが2k＋2≦b≦2k(k＋1) の範囲の値をとるとき, �BのNは0≦N≦4(k2−1) のすべての偶数値をとる。k はいくらでも大きくなれるから，�Bは，どのような偶数値Nをも表すことができる。

(2) aが偶数 a＝2k (k＝1, 2, …) のとき

�Bより　N＝(2k)2−(2b＋1)＝2(2k2−b−1/2)≧0 ∴ b＜2k2 ∴ b≦2k2−1

　　また a＜b より 2k＋1≦bで, b＝2k＋1 のとき N＝4k2−4k−3だから

　　bが2k＋1≦b≦2k2−1 の範囲の値をとるとき, �BのNは1≦N≦4k2−4k−3 のすべての奇数値をとる。k はいくらでも大きくなれるから，�Bは，どのような奇数値Nをも表すことができる。

　　以上で証明された。[了]

「・。・」　　　　　 01/27 20時18分　受信 更新 2/8

はじめまして、・。・と申します。

時間がありましたら次回以降も投稿いたしますので、

よろしくお願いいたします

（１）4=5^2+10^2−11^2

5=4^2+5^2−6^2

6=5^2+9^2−10^2

　　　7=6^2+14^2−15^2

（２）C=B+1とおく。

また、F(A,B)=A^2+B^2−(B+1)^2とおく。

これを整理すると、F(A,B)=A^2−2B−1。

Aを定数と見ると、

Bの値が１増えるとF（A,B）の値は−２小さくなる事が分かる。

F(A,B)は０以上かつ整数であることとA＜Bから、

あるAについて、F（A,B）の取りうる値の範囲を、Aを用いると、

Aが奇数の時、

0≦F(A,B)≦F(A,A+1)= A^2−2A−3　・・・（１）

Aが偶数の時、

1≦F（A,B）≦F（A,A+1）＝A^2−2A−3　・・・（２）

と表せる。

F（A,B）の取りうる値は、

（１）より、Aが奇数の時、

F（A,B）＝0 ,2 ,・・・, A^2−2A−3

（２）より、Aが偶数の時、

F（A,B）＝1 ,3 ,・・・,A^2−2A−３

ある値が与えられた時に、Aを十分大きくする事で、

F（A,B）はその値を取りうる。

よって、一般に任意の０以上の整数は　

A^2＋B^2−C^2（ａ≨ｂ≨ｃで正整数）の形で表せる。

ひとりごと　（他サイト様の内容を含みますので、掲載する場合はご注意ください。）

a^3+b^3-c^3について考える＆調べていたら、

任意の正の有理数 r に対して、r = (a³ + b³)/(c³ + d³)　となるような正の整数 a，b，c，d が存在する

こんなのを発見。凄い。

ａｔ 氏「有理数を表す分数式」　（２０１５年１月２７日閲覧）

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun486.html

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。