平成２７年２月８日

[流れ星]

　　　　　第31７回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：２月８日〜３月８日＞

［垂足三角形の面積］

垂足三角形というのは、三角形において頂点から対辺に下ろした３つの垂線の足を結ぶ三角形のことです。しかし、ここでは意味を広げ、任意の一点Ｐからの三角形の3辺またはその延長上に下ろした垂線を結び三角形をＰの垂足三角形とよぶことにし、その面積をＳ（Ｐ）で表すことにする。
　今後、三角形ＡＢＣにおいて、一点Ｐから３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに下ろした垂線の足をそれぞれＬ，Ｍ，Ｎで表す。また、三角形ＡＢＣの面積をＳ、外心をＯ、内心をＩ、さらに、外接円の半径をＲ、内接円の半径をｒとする。

問題１：点Ｐが外心Ｏのとき、垂足三角形の面積Ｓ（Ｏ）をＳで表せ。

問題２：点Ｐが内心Ｉのとき、垂足三角形の面積Ｓ（Ｉ）をＳ、Ｒ，ｒで表せ。

問題３：任意の点Ｐの垂足三角形の面積Ｓ（Ｐ）は、点Ｐの位置によって変わる。ここで、点Ｐと外心Ｏとの距離をｄとすれば、
等式　Ｓ（Ｐ）＝（１／４Ｒ^２）Ｓ（Ｒ^２−ｄ^２）　が成り立つことを次の順に示せ。

（１）∠ＬＭＮ＝θとおくと、Ｓ（Ｐ）＝（１／２）ＡＰ・ＣＰsinθsinＡsinＣ

（２）直線ＡＰと外接円との交点をＱとし、ＣとＰ、ＣとＱを結んで三角形ＣＰＱにおいて、
Ｓ（Ｐ）＝（１／２）ＡＰ・ＰＱsinＡsinＢsinＣ

（３）Ｓ（Ｐ）＝（１／４Ｒ^２）Ｓ（Ｒ^２−ｄ^２）

注意：任意の点Pですが、図のように三角形ＡＢＣの内部にあるときのＰとして考えてください。

問題４：三角形ＡＢＣの外接円上の点Ｐから３辺に下ろした垂線の足は一直線上にあることを示せ。また、この逆も成り立つ。＜シムソン線の定理＞

問題５：次の等式　ＯＩ^２＝Ｒ^２−２Ｒｒを示せ。＜オイラーの定理（平面幾何学＞＞

＜参考文献：数学ひとり旅　数学＝不思議発見　石谷　茂（現代数学社）＞

皆さん、問題に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。