平成２７年９月２７日

[流れ星]

　　　　　第325回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：8月30日〜9月27日＞

［ﾔｰｺﾌﾟ･ﾍﾞﾙﾇｰｲの無限級数］

「数学超絶難問」日本実業出版社（小野田博一著）を読んでいて、ヤーコプ・ベルヌーイ（1654年〜1705年）が下記の無限級数の値を求めていたと書いてありました。

　

参考：彼の弟にヨハン・ベルヌーイ（1667年〜1748年）がいます。オイラー（1707〜1783年）の恩師に弟のヨハンがいます。

NO1「二度漬け白菜」 08/30 09時49分　受信 更新 9/27

第325回数学的な応募問題の解答を送ります．
よろしくお願いします．

(答)
問1: 2
問2: 6
問3: 26
問4: 150

正整数 n と整数 k (0≦k) に対して，A(n,k)を次のように定義する．
A(n,k)=Σ[j=0..k]((-1)^j)*comb(n+1,j)*(k-j)^n.

(k>nのときは A(n,k)=0となる．)
このとき，Σ[k≧0]A(n,k)*t^k は次のようになる．

Σ[k≧0]A(n,k)*t^k
=Σ[k≧0](Σ[j=0..k]((-1)^j)*comb(n+1,j)*(k-j)^n)*t^k
=Σ[k≧0](Σ[j=0..k]((-1)^(k-j))*comb(n+1,k-j)*j^n)*t^k
=Σ[j≧0]Σ[k≧j]((-1)^(k-j))*comb(n+1,k-j)*j^n)*t^k
=Σ[j≧0](j^n)*(t^j)Σ[k≧j]comb(n+1,k-j)*t^(k-j)
=Σ[j≧0](j^n)*(t^j)*(1-t)^(n+1).

よって，
Σ[j≧0](j^n)*(t^j) = (1-t)^(-n-1)*Σ[k≧0]A(n,k)*t^k.

任意の正整数 m に対して，
f(m)=Σ[k≧1](k^m)/(2^k) とすると，
f(m)=Σ[k≧0](k^m)/(2^k)
=Σ[j≧0](j^m)*((1/2)^j)
=(1-1/2)^(-m-1)*Σ[k≧0]A(m,k)*(1/2)^k
=(1/2)^(-m-1)*Σ[k=0..m](1/2)^k*(Σ[j=0..k]((-1)^j)*comb(m+1,j)*(k-j)^m).

この計算式を使って計算すると，
f(1)=2,f(2)=6,f(3)=26,f(4)=150.

また例えば，
f(100)
=11133509631364650299699656360843806862971167990688281554425819235539210812744
137555815269127221215916681393895912461647364346849254775983678654845346975177
59492540384054716630.

NO2「uchinyan」 08/30 16時11分　受信

「uchinyan」 09/04 11時38分　受信 更新 9/27

少し一般的に考えてみます。

以下では，k，n を 1 以上の整数，m を 0 以上の整数，r を -1 < r < 1 の実数とします。

まず，lim[n->∞]{n^m * r^n} = 0，です。

これは，r = 0 の場合は明らかなので，0 < |r| < 1 を示せばいいです。

そこで，a を正の実数として，|r| = 1/(1 + a)，(1 + a)^n = Σ[i=0,n]{nCi * a^i}，となり，

n が m よりも十分に大きい正の整数の場合には，

(1 + a)^n > nC(m+1) * a^(m+1) = n(n-1)(n-2)…(n-m)/(m+1)! * a^(m+1)，

0 < n^m * |r|^n = n^m/(1 + a)^n < n^m/(nC(m+1) * a^(m+1)) = (m+1)!/a^(m+1) * 1/(n(1 - 1/n)(1 - 2/n)…(1 - m/n))，

0 <= lim[n->∞]{n^m * |r|^n} <= (m+1)!/a^(m+1) * lim[n->∞]{1/n} * lim[n->∞]{1/(1 - 1/n)(1 - 2/n)…(1 - m/n))} = 0，

lim[n->∞]{n^m * |r|^n} = 0，

これより，- |r| <= r <= |r|，- n^m * |r|^n <= n^m * r^n <= n^m * |r|^n，なので，

lim[n->∞]{n^m * r^n} = lim[n->∞]{n^m * |r|^n} = 0，

結局，r = 0 も含めて，

lim[n->∞]{n^m * r^n} = 0，

がいえます。

さて，Sm(n) = Σ[k=1,n]{k^m * r^k}，Sm = lim[n->∞]{Sm(n)} = Σ[k=1,∞]{k^m * r^k}，とします。

m = 0

S0(n) = Σ[k=1,n]{r^k} = r(1 - r^n)/(1 - r)，

S0 = lim[n->∞]{S0(n)} = r/(1 - r)，

m = 1

S1(n) = Σ[k=1,n]{k * r^k}，r * S1(n) = Σ[k=1,n]{k * r^(k+1)}，

(1 - r)S1(n) = Σ[k=1,n]{(k - (k-1))r^k} - n * r^(n+1) = Σ[k=1,n]{r^k} - n * r^(n+1) = S0(n) - n * r^(n+1)，

(1 - r)S1 = S0 - 0 = S0 = r/(1 - r)，

S1 = r/(1 - r)^2，

m = 2

S2(n) = Σ[k=1,n]{k^2 * r^k}，r * S2(n) = Σ[k=1,n]{k^2 * r^(k+1)}，

(1 - r)S2(n) = Σ[k=1,n]{(k^2 - (k-1)^2)r^k} - n^2 * r^(n+1)

= Σ[k=1,n]{(2k - 1)r^k} - n^2 * r^(n+1)

= 2 * Σ[k=1,n]{k * r^k} - Σ[k=1,n]{r^k} - n^2 * r^(n+1)

= 2 * S1(n) - S0(n) - n^2 * r^(n+1)，

(1 - r)S2 = 2 * S1 - S0 - 0 = 2 * S1 - S0 = 2r/(1 - r)^2 - r/(1 - r)，

S2 = 2r/(1 - r)^3 - r/(1 - r)^2 = r(r + 1)/(1 - r)^3，

m = 3

S3(n) = Σ[k=1,n]{k^3 * r^k}，r * S3(n) = Σ[k=1,n]{k^3 * r^(k+1)}，

(1 - r)S3(n) = Σ[k=1,n]{(k^3 - (k-1)^3)r^k} - n^3 * r^(n+1)

= Σ[k=1,n]{(3k^2 - 3k + 1)r^k} - n^3 * r^(n+1)

= 3 * Σ[k=1,n]{k^2 * r^k} - 3 * Σ[k=1,n]{k * r^k} + Σ[k=1,n]{r^k} - n^3 * r^(n+1)

= 3 * S2(n) - 3 * S1(n) + S0(n) - n^3 * r^(n+1)，

(1 - r)S3 = 3 * S2 - 3 * S1 + S0 - 0 = 3 * S2 - 3 * S1 + S0 = 3r(r + 1)/(1 - r)^3 - 3r/(1 - r)^2 + r/(1 - r)，

S3 = 3r(r + 1)/(1 - r)^4 - 3r/(1 - r)^3 + r/(1 - r)^2 = r(r^2 + 4r + 1)/(1 - r)^4，

m = 4

S4(n) = Σ[k=1,n]{k^4 * r^k}，r * S34(n) = Σ[k=1,n]{k^4 * r^(k+1)}，

(1 - r)S4(n) = Σ[k=1,n]{(k^4 - (k-1)^4)r^k} - n^4 * r^(n+1)

= Σ[k=1,n]{(4k^3 - 6k^2 + 4k - 1)r^k} - n^4 * r^(n+1)

= 4 * Σ[k=1,n]{k^3 * r^k} - 6 * Σ[k=1,n]{k^2 * r^k} + 4 * Σ[k=1,n]{k * r^k} +- Σ[k=1,n]{r^k} - n^4 * r^(n+1)

= 4 * S3(n) - 6 * S2(n) + 4 * S1(n) - S0(n) - n^4 * r^(n+1)，

(1 - r)S4 = 4 * S3 - 6 * S2 + 4 * S1 - S0 - 0 = 4 * S3 - 6 * S2 + 4 * S1 - S0

= 4r(r^2 + 4r + 1)/(1 - r)^4 - 6r(r + 1)/(1 - r)^3 + 4r/(1 - r)^2 - r/(1 - r)，

S4 = 4r(r^2 + 4r + 1)/(1 - r)^5 - 6r(r + 1)/(1 - r)^4 + 4r/(1 - r)^3 - r/(1 - r)^2

= r(r^3 + 11r^2 + 11r + 1)/(1 - r)^5，

一般式を書き下すのは難しそうですが，漸化式として，明らかに，

Sm = (Σ[i=0,m-1]{mCi * (-1)^(m-1-i) * Si})/(1 - r)

と書けますね。

これらの式の導出には微分を使う方法もあります。

Sm+1(n) = Σ[k=1,n]{k^(m+1) * r^k} = r * d(Σ[k=1,n]{k^m * r^k})/dr = r * d(Sm(n))/dr，

Sm+1 = lim[n->∞]{Sm+1(n)} = lim[n->∞]{r * d(Sm(n))/dr}，

を利用します。ここで，一般に，f(r) を r^n を含まない式として，r^n * f(r) を考えると，

r * d(r^n * f(r))/dr = nr^n * f(r) + r^n * r * df/dr

となって，再び r^n を含む式になります。

そこで，lim[n->∞]{n^m * r^n} = 0，から，n->∞ ではこの項は 0 になります。

つまり，r^n を含む項は，lim[n->∞]{r * d(…)/dr} の計算結果には効かないので，

最初からこの項を除いて計算していいことになります。

以上のことを踏まえて計算します。

m = 0

S0(n) = Σ[k=1,n]{r^k} = r(1 - r^n)/(1 - r) = r/(1 - r) - r^(n+1)/(1 - r)

S0 = lim[n->∞]{S0(n)} = r/(1 - r)，

この式から分かりますが，r^n を含む項は，これ以降も S0(n) の r^n を含む項からしか現れません。

そこで，以下の計算で必要なのは S0(n) の最初の項だけで，これは S0 で，しかも S0 には n が現れません。

つまり，以下の計算では，n->∞ なしで，S0 を順次 r * d(…)/dr するだけでいいことになります。

これは，結局，Sm+1 = r * d(Sm)/dr，と等価です。

m = 1

S1 = r * d(S0)/dr = r * d(r/(1 - r))/dr = r/(1 - r)^2，

m = 2

S2 = r * d(S1)/dr = r * d(r/(1 - r)^2)/dr

= r((1 - r)^2 - r(2(1 - r)(-1)))/(1 - r)^4 = r(r + 1)/(1 - r)^3，

m = 3

S3 = r * d(S2)/dr = r * d(r(r + 1)/(1 - r)^3)/dr

= r((2r + 1)(1 - r)^3 - r(r + 1)(3(1 - r)^2(-1)))/(1 - r)^6

= r(r^2 + 4r + 1)/(1 - r)^4，

m = 4

S4 = r * d(S3)/dr = r * d(r(r^2 + 4r + 1)/(1 - r)^4)/dr

= r((3r^2 + 8r + 1)(1 - r)^4 - r(r^2 + 4r + 1)(4(1 - r)^3(-1)))/(1 - r)^8

= r(r^3 + 11r^2 + 11r + 1)/(1 - r)^5，

これも，計算方法は単純かつ明らかですが，一般式を書き下すのは難しそうです。

結局，

S0 = r/(1 - r)，

S1 = r/(1 - r)^2，

S2 = r(r + 1)/(1 - r)^3，

S3 = r(r^2 + 4r + 1)/(1 - r)^4，

S4 = r(r^3 + 11r^2 + 11r + 1)/(1 - r)^5，

になります。

問１：

S1 で r = 1/2 とすればよく，

S1 = (1/2)/(1 - 1/2)^2 = 2

問２：

S2 で r = 1/2 とすればよく，

S2 = (1/2)(1/2 + 1)/(1 - 1/2)^3 = 2(1 + 2) = 6

問３：

S3 で r = 1/2 とすればよく，

S3 = (1/2)((1/2)^2 + 4(1/2) + 1)/(1 - 1/2)^4 = 2(1 + 8 + 4) = 26

問４：

S4 で r = 1/2 とすればよく，

S4 = (1/2)((1/2)^3 + 11(1/2)^2 + 11(1/2) + 1)/(1 - 1/2)^5 = 2(1 + 22 + 44 + 8) = 150

(別解)

Sm = (Σ[i=0,m-1]{mCi * (-1)^(m-1-i) * Si})/(1 - r)

を利用します。この式と S0 = r/(1 - r) を r = 1/2 で使います。

Sm = 2 * Σ[i=0,m-1]{mCi * (-1)^(m-1-i) * Si}，

S0 = 1

問１：

S1 = 2 * (1C0 * (-1)^0 * S0) = 2 * 1 = 2

問２：

S2 = 2 * (2C0 * (-1)^1 * S0 + 2C1 * (-1)^0 * S1) = 2 * (- 1 + 4) = 2 * 3 = 6

問３：

S3 = 2 * (3C0 * (-1)^2 * S0 + 3C1 * (-1)^1 * S1 + 3C2 * (-1)^0 * S2)

= 2 * (1 - 6 + 18) = 2 * 13 = 26

問４：

S4 = 2 * (4C0 * (-1)^3 * S0 + 4C1 * (-1)^2 * S1 + 4C2 * (-1)^1 * S2 + 4C3 * (-1)^0 * S3)

= 2 * (- 1 + 8 - 36 + 104) = 2 * 75 = 150

(考察)

その後，一般式をもう少し考えてみました。いまひとつの感じもありますが，一応，書いておきます。

微分を使う方法で考えます。

Sm = r * d(Sm-1)/dr，

S0 = r/(1 - r) = - 1 + 1/(1 - r)，

S1 = r * d(S0)/dr = r * d(- 1 + 1/(1 - r))/dr

= r/(1 - r)^2 = - 1/(1 - r) + 1/(1 - r)^2，

S2 = r * d(S1)/dr = r * d(- 1/(1 - r) + 1/(1 - r)^2)/dr

= - r/(1 - r)^2 + 2r/(1 - r)^3 = 1/(1 - r) - 3/(1 - r)^2 + 2/(1 - r)^3

S3 = r * d(S2)/dr = r * d(1/(1 - r) - 3/(1 - r)^2 + 2/(1 - r)^3)/dr

= r/(1 - r)^2 - 6r/(1 - r)^3 + 6r/(1 - r)^4

= - 1/(1 - r) + 7/(1 - r)^2 - 12/(1 - r)^3 + 6/(1 - r)^4，

S4 = r * d(S3)/dr = r * d(- 1/(1 - r) + 7/(1 - r)^2 - 12/(1 - r)^3 + 6/(1 - r)^4)/dr

= - r/(1 - r)^2 + 14r/(1 - r)^3 - 36r/(1 - r)^4 + 24r/(1 - r)^5

= 1/(1 - r) - 15/(1 - r)^2 + 50/(1 - r)^3 - 60/(1 - r)^4 + 24/(1 - r)^5

…

これらの計算から，m >= 1 で Sm = Σ[n=1,m+1]{a(m,n)/(1 - r)^n}，とおけて，

a(m+1,n) = (n-1) * a(m,n-1) - n * a(m,n)，a(0,1) = 1，n <= 0 又は n >= m+2 で a(m,n) = 0，

となります。この漸化式は次のようにして解くことができます。

a(m+1,1) = - a(m,1)，a(0,1) = 1，

a(m,1) = (-1)^m，

a(m+1,2) = a(m,1) - 2 * a(m,2) = (-1)^m - 2 * a(m,2)，

a(m+1,2)/(-2)^(m+1) - a(m,2)/(-2)^m = 1/(-2) * (1/2)^m，a(0,2) = 0，

a(m,2)/(-2)^m = 1/(-2) * Σ[k=0,m-1]{(1/2)^k} = 1/(-2) * (1 - (1/2)^m)/(1 - 1/2) = (1/2)~m - 1，

a(m,2) = (-1)^m * (1 - 2^m)，

a(m+1,3) = 2 * a(m,2) - 3 * a(m,3) = 2 * (-1)^m * (1 - 2^m) - 3 * a(m,3)，

a(m+1,3)/(-3)^(m+1) - a(m,3)/(-3)^m = 2/(-3) * ((1/3)^m - (2/3)^m)，a(1,3) = 0，

a(m,3)/(-3)^m = 2/(-3) * Σ[k=1,m-1]{(1/3)^k - (2/3)^k}

= 2/(-3) * ((1/3)(1 - (1/3)^(m-1))/(1 - 1/3) - (2/3)(1 - (2/3)^(m-1))/(1 - 2/3))

= 1/(-3) * ((1 - (1/3)^(m-1)) - 4(1 - (2/3)^(m-1)))

= (1/3)^m - 2(2/3)^m + 1

a(m,3) = (-1)^m * (1 - 2 * 2^m + 3^m)，

a(m+1,4) = 3 * a(m,3) - 4 * a(m,4) = 3 * (-1)^m * (1 - 2 * 2^m + 3^m) - 4 * a(m,4)，

a(m+1,4)/(-4)^(m+1) - a(m,4)/(-4)^m = 3/(-4) * ((1/4)^m - 2 * (2/4)^m + (3/4)^m)，a(2,4) = 0，

a(m,4)/(-4)^m = 3/(-4) * Σ[k=2,m-1]{(1/4)^k - 2 * (2/4)^k + (1/4)^k}

= 3/(-4) * ((1/4)^2 * (1 - (1/4)^(m-2))/(1 - 1/4) - 2 * (2/4)^2 * (1 - (2/4)^(m-2))/(1 - 2/4)

+ (3/4)^2 * (1 - (3/4)^(m-2))/(1 - 3/4))

= 1/(-4^2) * ((1 - (1/4)^(m-2)) - 12(1 - (2/4)^(m-2)) + 27(1 - (3/4)^(m-2)))

= (1/4)^m - 3(2/4)^m + 3(3/4)^m - 1

a(m,4) = (-1)^m * (1 - 3 * 2^m + 3 * 3^m - 4^m)，

…

ここまで計算すると，

a(m,n) = (-1)^m * Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1) * (n-1)C(k-1) * k^m}，

ではないか，と予想できます。これを数学的帰納法で確認しましょう。

n = 1 〜 4 は今までの計算より成立するのは明らか。

n-1 で正しいとして，

a(m+1,n) = (n-1) * a(m,n-1) - n * a(m,n)

= (n-1) * (-1)^m * Σ[k=1,n-1]{(-1)^(k-1) * (n-2)C(k-1) * k^m} - n * a(m,n)，

a(m+1,n)/(-n)^(m+1) - a(m,n)/(-n)^m

= (n-1)/(-n) * Σ[k=1,n-1]{(-1)^(k-1) * (n-2)C(k-1) * (k/n)^m}，a(n-2,n) = 0，

a(m,n)/(-n)^m = (n-1)/(-n) * Σ[i=n-2,m-1]{Σ[k=1,n-1]{(-1)^(k-1) * (n-2)C(k-1) * (k/n)^i}}

= (n-1)/(-n) * Σ[k=1,n-1]{(-1)^(k-1) * (n-2)C(k-1) * (k/n)^(n-2) * (1 - (k/n)^(m -(n-2)))/(1 - k/n)}

= (n-1) * Σ[k=1,n-1]{(-1)^k * (n-2)C(k-1) * ((k/n)^(n-2) - (k/n)^m)/(n-k)}

= Σ[k=1,n-1]{(-1)^k * (n-1)C(k-1) * ((k/n)^(n-2) - (k/n)^m))}

= Σ[k=1,n-1]{(-1)^(k-1) * (n-1)C(k-1) * (k/n)^m)}

+ Σ[k=1,n-1]{(-1)^k * (n-1)C(k-1) * (k/n)^(n-2)}

ここで，第２項は，

Σ[k=1,n-1]{(-1)^k * (n-1)C(k-1) * (k/n)^(n-2)}

= Σ[k=0,n-1]{(-1)^k * nCk * k^(n-1)}/n^(n-1)

と書け，この分子は，

(1 - x)^n = Σ[k=0,n]{(-1)^k * nCk * x^k)}

を x で微分し x を掛ける，x * d/dx，を n-1 回行って x = 1 とおいた式のうち k = n を除いた式です。

k = n も入れた全体は，(1 - x)^n に対して n-1 回の微分では 1 - x が残ってしまうので，x = 1 で 0 です。

k = n の項はこの操作で (-1)^n * n^(n-1) となるので，結局，

Σ[k=0,n-1]{(-1)^k * nCk * k^(n-1)} + (-1)^n * n^(n-1) = 0，

Σ[k=0,n-1]{(-1)^k * nCk * k^(n-1)} = (-1)^(n-1) * n^(n-1)，

です。そこで，

Σ[k=1,n-1]{(-1)^k * (n-1)C(k-1) * (k/n)^(n-2)}

=Σ[k=0,n-1]{(-1)^k * nCk * k^(n-1)}/n^(n-1)

= (-1)^(n-1) * n^(n-1)/n^(n-1) = (-1)^(n-1) = (-1)^(n-1) * (n-1)C(n-1) * (n/n)^m，

a(m,n)/(-n)^m

= Σ[k=1,n-1]{(-1)^(k-1) * (n-1)C(k-1) * (k/n)^m)}

+ Σ[k=1,n-1]{(-1)^k * (n-1)C(k-1) * (k/n)^(n-2)}

= Σ[k=1,n-1]{(-1)^(k-1) * (n-1)C(k-1) * (k/n)^m)}

+ (-1)^(n-1) * (n-1)C(n-1) * (n/n)^m

= Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1) * (n-1)C(k-1) * (k/n)^m)}，

a(m,n) = (-1)^m * Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1) * (n-1)C(k-1) * k^m)}

となって，成立します。これで，a(m,n) の一般式が求まりました。そこで，

Sm = Σ[n=1,m+1]{(-1)^m * Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1) * (n-1)C(k-1) * k^m)}/(1 - r)^n}，

となります。一応は求まったとはいえ簡単ではないですね。

なお，この式を使って今回の問題を解くと，r = 1/2，1/(1 - r) = 2，なので，

S1 = - 1/(1 - r) + 1/(1 - r)^2

-> - 2 + 2^2 = - 2 + 4 = 2，

S2 = 1/(1 - r) - 3/(1 - r)^2 + 2/(1 - r)^3

-> 2 - 3 * 2^2 + 2 * 2^3 = 2 - 12 + 16 = 6，

S3 = - 1/(1 - r) + 7/(1 - r)^2 - 12/(1 - r)^3 + 6/(1 - r)^4

-> - 2 + 7 * 2^2 - 12 * 2^3 + 6 * 2^4 = - 2 + 28 - 96 + 96 = 26，

S4 = 1/(1 - r) - 15/(1 - r)^2 + 50/(1 - r)^3 - 60/(1 - r)^4 + 24/(1 - r)^5

-> 2 - 15 * 2^2 + 50 * 2^3 - 60 * 2^4 + 24 * 2^5= 2 - 60 + 400 - 960 + 768 = 150

となります。当然ですが，以前の結果と一致します。

(感想)

微分を使った解法は，大学レベルの知識を使えば，

S0 = Σ[k=1,∞]{r^k} = r/(1 - r)，

が，収束半径 1 をもち，この範囲で一様絶対収束することから，より厳密かつ容易にいえることです。

ここでは，それを使わずに，高校レベルでまとめてみました。

無限級数の理論は実数の厳密な定義と相まって完成した経緯があり，

ヤーコブ・ベルヌーイが活躍した頃はまだ発展途上と思われます。

我々は多くの先人たちの叡智のおかげで大分楽をさせてもらっているな，と改めて思います。

なお，上記の方法では一般式を書き下したり一般の値を求めるのは難しそうです。

何かうまい工夫がないものかな，とも思います。

その後，一般式の導出をを考察しました。ただ，うまくいっているとはいいがたいのですが。

NO3「早起きのおじさん」 08/31 14時13分　受信 更新 9/27

325解答　早起きのおじさん

問題１

とおき、Sから を引くと、差が等比級数になります。

よって、

問題2

とおき、問題1と同様に考えます。

ここで、

とおきます。

よって、

この値を知って式（A）に代入し、計算します。

問題3

とおきます。

ここで、

とおきます。

よって、

この値を知って式（B）に代入し、計算します。

問題4

とおきます。

ここで、

とおきます。

あらかじめ、

をふまえて次の計算をします。

よって、

次に、

とおきます。

あらかじめ、

をふまえて次の計算をします

よって、

この値を知って式（C）に代入し、計算します。

NO4「浜田明巳」 09/02 16時35分　受信 更新 9/27

VBSCRIPTにて位落ちしないところまで計算し，解を求めた．

s1=0
s2=0
s3=0
s4=0
for j=1 to 1000
   s1=s1+j/2^j
   s2=s2+j*j/2^j
   s3=s3+j*j*j/2^j
   s4=s4+j*j*j*j/2^j
next
msgbox s1&chr(13)&s2&chr(13)&s3&chr(13)&s4

それぞれ部分和の極限を求めればよい．
問１．ｎ＞１とする．
　第ｎ部分和
　　Ｓ_ｎ＝１／２＋２／２^２＋３／２^３＋・・・＋ｎ／２^ｎ・・・(1)
について，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１／２^２＋２／２^３＋・・・＋(ｎ−１)／２^ｎ＋ｎ／２^ｎ＋１・・・(2)
　(1)−(2)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１／２＋１／２^２＋１／２^３＋・・・＋１／２^ｎ−ｎ／２^ｎ＋１
　　　　　　　　＝１／２・{１−(１／２)^ｎ}／(１−１／２)−ｎ／２^ｎ＋１
　　　　　　　　＝１−(１／２)^ｎ−ｎ／２^ｎ＋１
　　∴Ｓ_ｎ＝２{１−(１／２)^ｎ}−ｎ／２^ｎ・・・(3)
　ここで，二項定理とｎ＞１より，
　　２^ｎ＝(１＋１)^ｎ＝_ｎＣ_０＋_ｎＣ_１＋_ｎＣ_２＋・・・＋_ｎＣ_ｎ＞_ｎＣ_２＝{ｎ(ｎ−１)}／２＞０
　　∴０＜１／２^ｎ＜２／{ｎ(ｎ−１)}
　　∴０＜ｎ／２^ｎ＜２／(ｎ−１)→０（ｎ→∞）
　はさみうちの原理より，
　　lim_ｎ→∞ｎ／２^ｎ＝０
　(3)から，
　　lim_ｎ→∞Ｓ_ｎ＝lim_ｎ→∞[２{１−(１／２)^ｎ}−ｎ／２^ｎ]＝２・・・(答)

問２．ｎ＞２とする．
　第ｎ部分和
　　Ｓ_ｎ＝１^２／２＋２^２／２^２＋３^２／２^３＋４^２／２^４＋・・・＋ｎ^２／２^ｎ・・・(1)
について，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１^２／２^２＋２^２／２^３＋３^２／２^４＋・・・＋(ｎ−１)^２／２^ｎ＋ｎ^２／２^ｎ＋１・・・(2)
　(1)−(2)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１／２＋３／２^２＋５／２^３＋７／２^４＋・・・＋(２ｎ−１)／２^ｎ−ｎ^２／２^ｎ＋１・・・(3)
　　∴Ｓ_ｎ＝１＋３／２＋５／２^２＋７／２^３＋・・・＋(２ｎ−１)／２^ｎ−１−ｎ^２／２^ｎ・・・(4)
　(4)−(3)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１＋２／２＋２／２^２＋２／２^３＋・・・＋２／２^ｎ−１
　　　　　　　　　　＋(−ｎ^２−２ｎ＋１)／２^ｎ＋ｎ^２／２^ｎ＋１
　　　　　　　　＝１＋１＋１／２＋１／２^２＋・・・＋１／２^ｎ−２＋{２(−ｎ^２−２ｎ＋１)＋ｎ^２)／２^ｎ＋１
　　　　　　　　＝１＋{１−(１／２)^ｎ−１}／(１−１／２)＋(−ｎ^２−４ｎ＋２)／２^ｎ＋１
　　　　　　　　＝１＋２{１−(１／２)^ｎ−１}＋(−ｎ^２−４ｎ＋２)／２^ｎ＋１
　　　　　　　　＝３−(１／２)^ｎ−２＋(−ｎ^２−４ｎ＋２)／２^ｎ＋１
　　∴Ｓ_ｎ＝６−(１／２)^ｎ−３＋(−ｎ^２−４ｎ＋２)／２^ｎ・・・(5)
　ここで，二項定理とｎ＞２より，
　　２^ｎ＝_ｎＣ_０＋_ｎＣ_１＋_ｎＣ_２＋_ｎＣ_３＋・・・＋_ｎＣ_ｎ＞_ｎＣ_３＝{ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)}／６＞０
　　∴０＜１／２^ｎ＜６／{ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)}
　　∴０＜｜(−ｎ^２−４ｎ＋２)／２^ｎ｜＜６｜(−ｎ^２−４ｎ＋２)／{ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)}｜
　　　　　　　　　　　　　　　＝６｜(−１−４／ｎ＋２／ｎ^２)／{(１−１／ｎ)(ｎ−２)}｜→０（ｎ→∞）
　はさみうちの原理より，
　　lim_ｎ→∞(−ｎ^２−４ｎ＋２)／２^ｎ＝０
　(5)から，
　　lim_ｎ→∞Ｓ_ｎ＝lim_ｎ→∞{６−(１／２)^ｎ−３＋(−ｎ^２−４ｎ＋２)／２^ｎ}＝６・・・(答)

問３．
　問１，２と同様に，lim_ｎ→∞(ｎの２次式)／２^ｎ＝lim_ｎ→∞(ｎの３次式)／２^ｎ＝０である．
　ここで，Ｒ_ｉ(ｎ)＝(ｎのｍ次式)／２^ｎ（lim_ｎ→∞Ｒ_ｉ(ｎ)＝０）とする．
　ｎ＞３とする．
　第ｎ部分和
　　Ｓ_ｎ＝１^３／２＋２^３／２^２＋３^３／２^３＋４^３／２^４＋５^３／２^５＋・・・＋ｎ^３／２^ｎ・・・(1)
について，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１^３／２^２＋２^３／２^３＋３^３／２^４＋４^３／２^５＋・・・＋(ｎ−１)^３／２^ｎ＋ｎ^３／２^ｎ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　・・・(2)
　(1)−(2)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１／２＋７／２^２＋１９／２^３＋３７／２^４＋６１／２^５＋・・・＋(３ｎ^２−３ｎ＋１)／２^ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　−ｎ^３／２^ｎ＋１・・・(3)
　　∴Ｓ_ｎ＝１＋７／２＋１９／２^２＋３７／２^３＋６１／２^４＋・・・
　　　　　　　　　　　　＋(３ｎ^２−３ｎ＋１)／２^ｎ−１−ｎ^３／２^ｎ・・・(4)
　(4)−(3)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１＋６／２＋１２／２^２＋１８／２^３＋２４／２^４＋・・・
　　　　　　　　　　＋[(３ｎ^２−３ｎ＋１)−{３(ｎ−１)^２−３(ｎ−１)＋１}]／２^ｎ−１＋Ｒ_１(ｎ)
　　　　　　　　＝１＋３{１＋２／２＋３／２^２＋４／２^４＋・・・＋(ｎ−１)／２^ｎ−２}＋Ｒ_１(ｎ)
　　∴Ｓ_ｎ＝２＋６{１＋２／２＋３／２^２＋４／２^３＋・・・＋(ｎ−１)／２^ｎ−２}＋２Ｒ_１(ｎ)・・・(5)
　　∴１／２・Ｓ_ｎ＝１＋６{１／２＋２／２^２＋３／２^３＋４／２^４＋・・・＋(ｎ−１)／２^ｎ−１}＋Ｒ_１(ｎ)
　　　　　　　　　　　　　　　・・・(6)
　(5)−(6)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１＋６{１＋１／２＋１／２^２＋１／２^３＋・・・＋１／２^ｎ−２
　　　　　　　　　　　　　　　−(ｎ−１)／２^ｎ−１}＋Ｒ_１(ｎ)
　　　　　　　＝１＋６・{１−(１／２)^ｎ−１}／(１−１／２)＋Ｒ_２(ｎ)
　　　　　　　＝１＋１２{１−(１／２)^ｎ−１}＋Ｒ_２(ｎ)
　　　　　　　＝１３−１２(１／２)^ｎ−１＋Ｒ_２(ｎ)
　　∴Ｓ_ｎ＝２６−２４(１／２)^ｎ−１＋２Ｒ_２(ｎ)→２６（ｎ→∞）

問４．ｎを十分大きな正整数とする．
　第ｎ部分和
　　Ｓ_ｎ＝１^４／２＋２^４／２^２＋３^４／２^３＋４^４／２^４＋５^４／２^５＋６^４／２^６＋・・・＋ｎ^４／２^ｎ・・・(1)
について，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１^４／２^２＋２^４／２^３＋３^４／２^４＋４^４／２^５＋・・・＋(ｎ−１)^４／２^ｎ＋ｎ^４／２^ｎ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　・・・(2)
　(1)−(2)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１／２＋１５／２^２＋６５／２^３＋１７５／２^４＋３６９／２^５＋・・・
　　　　　　　　　　　　　　　＋(４ｎ^３−６ｎ^２＋４ｎ−１)／２^ｎ−ｎ^４／２^ｎ＋１・・・(3)
　　∴Ｓ_ｎ＝１＋１５／２＋６５／２^２＋１７５／２^３＋３６９／２^４＋６７１／２^５＋・・・
　　　　　　　　　　　　＋(４ｎ^３−６ｎ^２＋４ｎー１)／２^ｎ−１−ｎ^４／２^ｎ・・・(4)
　(4)−(3)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１＋１４／２＋５０／２^２＋１１０／２^３＋１９４／２^４＋３０２／２^５＋・・・
　　　　　　　　＋[(４ｎ^３−６ｎ^２＋４ｎ−１)−{４(ｎ−１)^３−６(ｎ−１)^２＋４(ｎ−１)−１}]／２^ｎ−１
　　　　　　　　＋Ｒ_１(ｎ)
　　　　　　　　　＝１＋７＋２５／２＋５５／２^２＋９７／２^３＋１５１／２^４＋・・・
　　　　　　　　　　＋(６ｎ^２−１２ｎ＋７)／２^ｎ−２＋Ｒ_１(ｎ)・・・(5)
　　∴Ｓ_ｎ＝２・８＋２５＋５５／２＋９７／２^２＋１５１／２^３＋・・・
　　　　　　　　　　　　＋(６ｎ^２−１２ｎ＋７)／２^ｎ−３＋２Ｒ_１(ｎ)・・・(6)
　(6)−(5)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝３３＋３０／２＋４２／２^２＋５４／２^３＋・・・
　　　　　　　　　　　　　　　＋[{(６ｎ^２−１２ｎ＋７)−{６(ｎ−１)^２−１２(ｎ−１)＋７}]／２^ｎ−３＋Ｒ_２(ｎ)
　　　　　　　　＝３３＋１５＋２１／２＋２７／２^２＋・・・＋(６ｎ−９)／２^ｎ−４＋Ｒ_３(ｎ)
　　∴Ｓ_ｎ＝２・４８＋２１＋２７／２＋・・・＋(６ｎ−９)／２^ｎ−５＋２Ｒ_３(ｎ)
　　　　　＝９６＋３{７＋９／２＋・・・＋(２ｎ−３)／２^ｎ−５}＋２Ｒ_３(ｎ)・・・(7)
　　∴１／２・Ｓ_ｎ＝４８＋３{７／２＋９／２^２＋・・・＋(２ｎ−３)／２^ｎ−４}＋Ｒ_３(ｎ)・・・(8)
　(7)−(8)より，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝４８＋３(７＋２／２＋２／２^２＋・・・＋２／２^ｎ−４)＋Ｒ_４(ｎ)
　　　　　　　　＝４８＋２１＋３(１＋１／２＋・・・１／２^ｎ−５)＋Ｒ_４(ｎ)
　　　　　　　　＝６９＋３・{１−(１／２)^ｎ−４}／(１−１／２)＋Ｒ_４(ｎ)
　　　　　　　　＝６９＋６{１−(１／２)^ｎ−４}＋Ｒ_４(ｎ)
　　　　　　　　＝７５−６(１／２)^ｎ−４＋Ｒ_４(ｎ)
　　∴Ｓ_ｎ＝１５０−１２(１／２)^ｎ−４＋２Ｒ_４(ｎ)→１５０（ｎ→∞）

NO5「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 09/02 17時23分　受信 更新 9/27

今回は最初の２問が解けたと思いますのでそこまでをば Orz

(1)

1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…

=1/2+1/2^2+1/2^3+…・・・(1/2-(1/2)^n)/(1-1/2)=S=1

+1/2^2+1/2^3+…・・・(1/2)*S

+1/2^3+1/2^4+…・・・(1/2^2)*S

+1/2^4+…・・・(1/2^3)*S

…

=S*(1+1/2+1/2^2+…)

=S*(S+1)

=1*2=2

(2)

1/2+2^2/2^2+3^3/2^3+…

=1/2+1/2^2+1/2^3+…

+3*(1/2^2+1/2^3+…

+5*(1/2^3+1/2^4+…

…

=S*(1+3/2++5/2^2+7/2^3+9/2^4+…)

1+1/2+1/2^2+…=1+S=2

+2*(1/2++1/2^2+…・・・S

+2*(1/2^2+1/2^3+…・・・S/2

+2*(1/2^3+1/2^4+…・・・S/2^2

=S*(1+1+1/2+1/2^2+…)

=S*(2+S)

=1*3=3

(3),(4) は、おそらく、4,5 になるのだろうけどわからず…^^;

ζ函数のようにπ絡みかと思ってましたが…無関係のようですね …^^

＜水の流れ：残念ながら（２）は正解に至って・・・＞

NO6「にいばりZ12」 09/09 23時41分　受信 更新 9/27

準備

�@　a=Σ_k=1〜∞1/2^k=1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・=(1/2)/(1-1/2)=1(等比級数の公式)

�A　n^p-(n-1)^p= n^p-Σ_i=0〜p｛_p C _{p -i} (-1) ^i-1n^p｝=-Σ_i=1〜p｛_p C _{p -i} (-1) ⁱn^p-1｝（二項定理）？

問1　この問題は先ず式変形で普通に考えました

Σ_k=1〜∞k/2^k=  1/2+2/2²+3/2³+4/2⁴+5/2⁵+・・・・

　　　　　=  1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +   1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +　      1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +                +1/2⁵+・・・・

・

・

　　　　　=  1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             + 1/2(1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+・・・・)

             +     1/2²(1/2+1/2²+1/2³+・・・・)       

             +          1/2³(1/2+1/2²+・・・・)

             +               1/2⁴(1/2+・・・・)

・

・

Σ_k=1〜∞1/2^k=1・・・準備�@より

=a+(1/2+2/2²+3/2³+4/2⁴+5/2⁵+・・・・)a=a+a²=2・・・回答

すこし、解りにくいかもしれませんが、「・・・」を使わないで書くと

Σ_k=1〜∞k/2^k=(Σ_k=1〜∞1/2^k)(1+(Σ_k=1〜∞1/2^k )(Σ_k=1〜∞1/2^k))=2となります。（蛇足）

問2　問1と同様に式変形で考えると次のようになります。

Σ_k=1〜∞k²/2^k=  1/2+2²/2²+3²/2³+4²/2⁴+5²/2⁵+・・・・

　　　　　=  1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +   1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +   1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +   1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +　      1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +　      1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +　      1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +　      1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +　      1/2³+1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +            1/2⁴+1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

             +                1/2⁵+・・・・

・

・

　　　　　=  a(1²-0)+a(2²-1)・1/2+ a(3²-2²)・1/2²+ a(4²-3²)・1/2³+ a(5²-4²)・1/2⁴+・・・・

　　　　　= 1+(2²-1)・1/2+(3²-2²)・1/2²+(4²-3²)・1/2³+(5²-4²)・1/2⁴+・・・・

ここでn²-(n-1)²の数列を考えると

準備�Aから2n-1となるのでn=1から考えると奇数列となります。

よって

Σ_k=1〜∞k²/2^k= (1/2)⁰+3(1/2)¹+5(1/2)²+7(1/2)³+9(1/2) ⁴+11(1/2)⁵+・・・・=Σ_k=1〜∞(2k-1)/2^(k-1)

Σ_k=1〜∞k²/2^k=Σ_k=1〜∞2k/2^(k-1) -Σ_k=1〜∞1/2^(k-1) =4Σ_k=1〜∞k/2^k –2(Σ_k=1〜∞1/2^k)

Σ_k=1〜∞k/2^k=2・・・問1より

Σ_k=1〜∞1/2^k=1・・・準備�@より

Σ_k=1〜∞k²/2^k=4Σ_k=1〜∞k/2^k –2(Σ_k=1〜∞1/2^k) =4×2−2×1＝6・・・・・回答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

問3　問2赤字と同様に表現すると次のようになります。

Σ_k=1〜∞k³/2^k　=  a(1³-0)+a(2³-1)・1/2+ a(3³-2³)・1/2²+ a(4³-3³)・1/2³+ a(5³-4³)・1/2⁴+・・・・

ここでn³-(n-1)³の数列は準備�Aから

3n²-3n+1

よって

Σ_k=1〜∞k³/2^k　=3Σ_k=1〜∞k²/2^k-1−3Σ_k=1〜∞k/2^k-1+Σ_k=1〜∞1/2^k-1

Σ_k=1〜∞k²/2^k=6・・・問2より

Σ_k=1〜∞k/2^k=2・・・問1より

Σ_k=1〜∞1/2^k=1・・・準備より

Σ_k=1〜∞k³/2^k　=2×（3×6−3×2+1）＝26・・・・・回答

問4　問3赤字と同様に表現すると次のようになります。

Σ_k=1〜∞k⁴/2^k　=  a(1⁴-0)+a(2⁴-1)・1/2+ a(3⁴-2⁴)・1/2²+ a(4⁴-3⁴)・1/2³+ a(5⁴-4⁴)・1/2⁴+・・・・

ここでn⁴-(n-1)⁴は問3と同様に

4n³-6n²+4n-1

よって

Σ_k=1〜∞k⁴/2^k　=4Σ_k=1〜∞k³/2^k-1−6Σ_k=1〜∞k²/2^k-1+4Σ_k=1〜∞k/2^k-1−Σ_k=1〜∞1/2^k-1

Σ_k=1〜∞k³/2^k=26・・・問3より

Σ_k=1〜∞k²/2^k=6・・・問2より

Σ_k=1〜∞k/2^k=2・・・問1より

Σ_k=1〜∞1/2^k=1・・・準備より

Σ_k=1〜∞k⁴/2^k　=2×（4×26−6×6+4×2−1）＝150・・・・・回答

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とりあえず1回目の回答をさせて頂きます

間に合えば

Σ_k=1〜∞kⁿ/2^k

さらに

Σ_k=1〜∞kⁿ/m^k

を考えてみたいと思います

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