平成２８年１月１７日

[流れ星]

　　　　　第330回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：1月17日〜2月14日＞

［素数に関して］

　今、高校で「数学A」にある整数の性質を教えています。６の約数は１、２、３、６で足すと１２になります。これは大変珍しいことです。

どんな数でも約数の総和が元の数字の２倍になるとは限りません。このような性質をもつ数をユークリッドは2300年も前に発見しています。

ユークリッド原論（第9巻命題36）によると、「もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ，それらの総和が素数になるようにされ，そして全体が最後の数にかけられてある数をつくるならば，その数は完全数であろう」と書いてあります。今風に書くと

１＋２＋４＋８＋・・・＋２^ｎ−１＝２^ｎ−１が素数となり、この数列の最後の項に掛けられる数が完全数ということです。

すなわち、ｎを正整数とするとき、ｎを正整数とするとき、２^ｎ−１が素数ならば、Ｎ_ｎ＝２^ｎ−１（２^ｎ−１）は完全数であろう。

では、Ｍ_ｎ＝２^ｎ−１に1から順に自然数を代入してそれが素数かどうかを考えて、完全数を見つけることにしょう。

Ｍ_１＝１素数でないね。Ｍ_２＝３は素数でＮ_２＝２×３＝６は完全数、Ｍ_３＝７は素数でＮ_３＝４×７＝２８は完全数。Ｍ_４＝１５は素数でないからＮ_４は完全数でない。Ｍ_５＝３１は素数だからＮ_５＝１６×３１＝４９６は完全数。・・・、わかった。ｎ＝２、３、５って素数ですね。このときＭ_ｎは全部素数です。だから、４番目の完全数はｎ＝７。５番目はｎ＝11のときに出てくるよね。そうかな？みんなどう思う。考えてみてくれないか。

ここで、問題です。

問題１：命題「ｎが素数のとき、Ｍ_ｎ＝２^ｎ−１は素数である」は真か偽か。真なら証明し、偽なら反例を挙げてよ。

問題２：逆に「ｎは２以上の整数とするとき、２^ｎ−１が素数ならば、ｎも素数である」は真か偽か。真なら証明し、偽なら反例を挙げてよ。

追加

問題３：ｎを正整数とする。ｎとｎ＋２はともに素数（双子素数という）で、その間のｎ＋１は６の倍数でないものとする。そのようなｎをすべて求めよ。多くは双子素数の間にある数は６の倍数ですが、例外を見つけてください。

注：40年以上前に「ユークリッド原論」（定価6800円）を購入して持っています。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。