平成29年6月11日

[流れ星]

     第347数学的な応募解答

      <解答募集期間:5月14日〜6月11日>

[ガウス記号2017

 zu347

追加の遊び問題 

1から6までの各数字を1回ずつ用いて、結果が2017となる式を作ってください。
使用できる演算は+、−。×、÷ と 括弧( )とします。
   例 201742×6×(3+5)+1

NO1uchinyan         05/14 1256分 受信  更新 6/11

a(n) = [n^2/2017]1 <= n <= 2017,において,

n^2/2017 の隣同士の差,n^2/2017 - (n-1)^2/2017 = (2n-1)/2017,を考えます。

隣同士の差が 1 未満,(2n-1)/2017 < 11 <= n <= 1008 < 1009,の場合

この場合は,a(n) の隣同士が同じ値か差が 1 なので,

a(n) a(1) = [1/2017] = 0 a(1008) = [1008^2/2017] = 503 のすべての整数の値を取ります。

つまり,0 503 504 種類の値を取ります。

隣同士の差が 1 以上,(2n-1)/2017 >= 11009 <= n <= 2017,の場合

この場合は,a(n) の隣同士の差が 1 以上なので,a(n) の値はすべて異なり,

a(n) の項数と同じ 2017 - 1008 = 1009 種類の整数の値を取ります。

以上ですべてなので,取り得る整数の値は,504 + 1009 = 1513 種類,になります。

 

追加の遊び問題

いろいろとできるのだろうなと思うものの,

あまり興味がそそられないので,ある意味美しいものを1つだけ。

2017=1+(2+34)×56。

 

(感想)

この問題は以前に類題を解いたことがあります。

2017 をもっと小さな値にし n = 1, 2, 3, ... として傾向を調べればいいですね。

 

NO2「早起きのおじさん」 05/18 1851分 受信  更新 6/11

 

 

ここで、  とおきます。

 

次の2次関数を考えます。

この2次関数の微分係数が1未満のところを調べます。

(つまり、yの増加が1より小さいところ見つけます)

とおくと、

つまり、n1008より小さいところは、数列の値の増加が多くても1です。

それ以降は、数列の増加は少なくても1です。

 

 

 

初項から第1008項まで、この数列は、50301504種類の値をとります。

1009項から第2017項まで、この数列は、2017100911009種類の値をとります。

よって、50410091513種類の整数があります。

 

 

追加の問題

2017は、素数です。

例えば、

 

NO3「スモークマン」     05/18 2003分 受信  更新 6/11

上手い方法思いつけず…^^;

 

n<=(m*2017)<n+1

m=1

44<2017<45

45<=(m*2017)<1009

m=1504・・・504

1009*2=2018>2017 ので、

たとえば

 [1010^2/2017]-[1009^2/2017]>2*1009/2017>1 なので

10092017までの2017-1008=1009個はすべて異なる

けっきょく

504+1009=1513種類

 

追加遊び問題

65*31+4÷2=2017

 

NO4「二度漬け白菜」     05/31 2131分 受信  更新 6/11

この数列の中には 1513 種類の整数が存在する.()


(n+1)^2/2017 - n^2/2017 = (2*n+1)/2017
である.
s(n)=(2*n+1)/2017
とおく.
n
1008を満たすような n に対しては,
s(n)
1 であるので,a(n+1)a(n)
よって,a(1008)a(1009)a(1010),…,a(2017)
は,全て異なる値をとる.
また,n1007を満たすような n に対しては,
s(n)
1 であるので,a(n+1)a(n)+1
よって,a(1)a(2)a(3),…,a(1008)
は全体として,a(1) 以上 a(1008)以下の全ての
整数値をとる.
よって,数列 a(1)a(2)a(3),…,a(2017)
に現れる数値の種類は,
(a(1008)-a(1)+1) + (2017-1008)
=(503-0+1) + 1009
=1513
種類.

 

 

追加の遊び問題:

 

和が2017となる式には次のような
ものがあります.

 

2017=1+(2+34)*56.

2017=1+(32+4)*56.

2017=1+(2+54)*36.

2017=1+(4+52)*36.

2017=4+61*(35-2).

2017=31*65+4-2.

2017=31*65+4/2.


和が2018,2019,2020となる式も
考えてみました.

 

2018=2+6*(341-5).

2019=4+(32-1)*65.

2020=4+3*12*56.

2020=4*(513-2-6).

 

 

ガウス記号に関する問題をひとつ紹介しておきます.
 
[
問題]
実数xに対して,xを超えない最大の整数を floor(x)
と表すことにします.
n
を正の整数とするとき,和
Σ[k=1n^2](floor((k/n)^2) + floor(n*k^(1/2)))
n の式で表すとどうなるか?

 

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。