kadai78

平成２９年８月６日

[流れ星]

　　　　　第349回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月９日～８月６日＞

［綺麗な数式］

Ａ～Ｊに０～９の数字を1回ずつうまく当てて、次の式を満たすようにしてください。答えは１つではありません。

問題１　ＡＢＣＤ＋ＥＦ＝ＧＨＩＪ

問題２　ＡＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ

問題３　Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ

＜出典：数に強くなろう　ピーター・フランクリン著（岩波ジュニア新書）＞

NO1「早起きのおじさん」 07/10 22時19分　受信更新 8/6

問題1

a,b,c,･･･,iが0～9までの数字として、abcd＋ef＝ghijが解ならば、

cとe、dとfを入れかえたものも解です。

つまり、

　abcf＋ed＝ghij、abed＋cf＝ghij、abef＋cd＝ghij

も解です。

　abcd＋ef＝(a×10³＋b×10²＋c×10＋d)＋(e×10＋f)

＝a×10³＋b×10²＋(c＋e)×10＋(d＋f)

下線部分が交換可能だからです。

ここでは、c＜e、d＜fのものを解とします。

abcd＋ef＝ghijで、4つのものを代表させることにします。

＋）

(A＋1)

繰り上がりと数字が全部異なることから、

　A＋1＝G、B＝9、H＝0

が分かります。

・

このパターンは、｛3,4,5,6,7,8｝

＋）

の配置を考えて、

1956＋78＝2034

1956＋87＝2043

1965＋78＝2043

・

このパターンは、｛1,4,5,6,7,8｝

＋）

の配置を考えて、

2947＋68＝3015

2964＋87＝3051

・

このパターンは、｛1,2,5,6,7,8｝

＋）

の配置を考えて、

適当なものがありませんでした。

・

このパターンは、｛1,2,3,6,7,8｝

＋）

の配置を考えて、

4926＋87＝5013

・

このパターンは、｛1,2,3,4,7,8｝

＋）

の配置を考えて、

5934＋78＝6012

5934＋87＝6021

・

このパターンは、｛1,2,3,4,5,8｝

＋）

の配置を考えて、

適当なものがありませんでした。

・

このパターンは、｛1,2,3,4,5,6｝

＋）

の配置を考えて、

適当なものがありませんでした。

問題2

a,b,c,･･･,iが0～9までの数字として、abc＋def＝ghijが解ならば、

aとd、bとe、cとfを入れかえたものも解です。

ここでは、a＜d、b＜e、c＜fのものを解とします。

2×2×2＝8なので、abc＋def＝ghijで8つのものを代表させることにします。

＋）

繰り上がりと数字が全部異なることから、

　G＝1、H＝0

が分かります。

・

このパターンは、｛3,4,5,6,8,9｝

＋）

の配置を考えて、

246＋789＝1035

264＋789＝1053

・

このパターンは、｛2,4,5,7,8,9｝

＋）

の配置を考えて、

適当なものがありませんでした。

・

このパターンは、｛2,3,6,7,8,9｝

＋）

の配置を考えて、

437＋589＝1026

473＋589＝1062

問題3

a,b,c,･･･,iが0～9までの数字として、a＋bc＋def＝ghijが解ならば、

aとcとf、bとeを入れかえたものも解です。

ここでは、a＜c＜f、b＜eのものを解とします。

3!×2＝12なので、a＋bc＋def＝ghijで12個ものを代表させることにします。

＋）

繰り上がりと数字が全部異なることから、

　G＝1、d＝9、H＝0

が分かります。

・

このパターンは、｛4,5,6,7｝

の配置を考えて、

＋）

適当なものがありませんでした。

・

このパターンは、｛3,5,6,8｝

の配置を考えて、

＋）

3＋45＋978＝1026

・

このパターンは、｛2,5,6,7｝

の配置を考えて、

＋）

2＋46＋987＝1035

・

このパターンは、｛3,4,7,8｝

の配置を考えて、

＋）

適当なものがありませんでした。

NO2「スモークマン」 07/13 14時47分　受信更新 8/6

こういうのはもう好きでなくなってしまいましたが考えてみましたっていうか…試行錯誤で…

1つ見つけられたらサーチ止めましたけど…Orz

問題１　ＡＢＣＤ＋ＥＦ＝ＧＨＩＪ

2964+87

2987+64

2967+84

2984+67=3051

問題２　ＡＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ

743+859

749+853

759+843

753+849=1602

問題３　Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ

7+64+982

7+62+984

7+84+962

4+67+982

4+62+987

4+82+967

4+87+962

2+64+987

2+87+964

2+84+967

2+67+984=1053

NO3「浜田明巳」　　07/18 11時51分　受信更新 8/6

覆面算は解が１個であるのが原則なので，解の個数が多いと大変でした．
　VBSCRIPTで計算しました．
問題１　ＡＢＣＤ＋ＥＦ＝ＧＨＩＪ
　Ｃ，ＥとＤ，Ｆはそれぞれ交換可能なので，Ｃ＜Ｅ，Ｄ＜Ｆとする．

　Ｃ，ＥとＤ，Ｆが交換可能なので，全部で
　　９×２！×２！＝３６（通り）
あります．
349_1
問題２　ＡＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ
　Ａ，ＤとＢ，ＥとＣ，Ｆはそれぞれ交換可能なので，Ａ＜Ｄ，Ｂ＜Ｅ，Ｃ＜Ｆとする．

　交換可能性を考えて，全部で
　　１２×２！×２！×２！＝９６（通り）
あります．
349_2
問題３　Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ
　Ａ，Ｃ，ＦとＢ，Ｅはそれぞれ交換可能なので，Ａ＜Ｃ＜Ｆ，Ｂ＜Ｅとする．

　交換可能性を考えて，全部で
　　５×３！×２！＝６０（通り）
あります

349_3

NO4「にいばりZ12」　　　07/23 01時56分　受信更新 8/6

にいばりZ12です

Ａ～Ｊに０～９の数字を1回ずつうまく当てて、次の式を満たすようにしてください。答えは１つではありません。

問題１　ＡＢＣＤ＋ＥＦ＝ＧＨＩＪ

問題２　ＡＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ

問題３　Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＝ＧＨＩＪ

問題１

D+F<10とします

D+F＝Jとなり

ＡＢＣ＋Ｅ＝ＧＨＩが成立します

そのうえで

C+E<10とします

ＡＢ＝ＧＨが成立します

これは

A=G,B=Hなのでout

そこで

C+E≧10とします

ＡＢ+1＝ＧＨが成立します

これは

B=9、H=0の時以外

A=Gとなる為

B=9、H=0は確定し

Ａ+1＝Ｇ(連続数)

この時

C+E=10ならば

I=0でout

よって

C+E≧11

(C,E)=(8,7), (8,6), (8,5), (8,4), (8,3),(7,6) ,(7,5) ,(7,4) ,(6,5)

I= 5, 4, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1

(C,E,I)=(8,7,5)の場合

残る数字は

1,2,3,4,6

AとGは連続数なので

(1,2),(2,3),(3,4)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(8,6,4)の場合

残る数字は

1,2,3,5,7

AとGは連続数なので

(1,2),(2,3)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(8,5,3)の場合

残る数字は

1,2,4,6,7

AとGは連続数なので

(1,2),(6,7)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(8,4,2)の場合

残る数字は

1,3,5,6,7

AとGは連続数なので

(5,6),(6,7)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(8,3,1)の場合

残る数字は

2,4,5,6,7

AとGは連続数なので

(4,5),(5,6) ,(6,7)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(7,6,3)の場合

残る数字は

1,2,4,5,8

AとGは連続数なので

(1,2),(4,5)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(7,5,2)の場合

残る数字は

1,3,4,6,8

AとGは連続数なので

(3,4)

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(7,4,1)の場合

残る数字は

2,3,4,5,8

AとGは連続数なので

(2,3),(3,4)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

(C,E,I)=(6,5,1)の場合

残る数字は

2,3,4,7,8

AとGは連続数なので

(2,3),(3,4) ,(7,8)

いずれの場合も

残る3つの数字の内少ない2数を足して一番大きな数とならない(D+F≠J)のでout

以上から

D+F≧10とします。1の位から10の位へ1繰り上がってくるので

D+F-10＝Jとなり

ＡＢＣ＋Ｅ＝ＧＨＩ-1が成立します

そのうえで

C+E<10とします

ＡＢ＝ＧＨが成立します

これは

A=G,B=Hなのでout

そこで

C+E≧10とします

ＡＢ+1＝ＧＨが成立します

これは

B=9、H=0の時以外

A=Gとなる為

B=9、H=0は確定し

Ａ+1＝Ｇ(連続数)

この時

(C,E)=(8,7), (8,6), (8,5), (8,4) , (8,3), (8,2),(7,6) ,(7,5) ,(7,4) ,(7,3) ,(6,5) ,(6,4)

I= 6, 5, 4, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 1

(C,E,I)=(8,7,6)の場合

残る数字は

1,2,3,4,5

AとGは連続数なので

(1,2),(2,3),(3,4) ,(4,5)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

よってout

(C,E,I)=(8,6,5)の場合

残る数字は

1,2,3,4,7

AとGは連続数なので

(1,2),(2,3)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(2,3)の時

残る数字は1,4,7

4+7-10＝1となり解の1つとなります

2984+67＝3051・・・・①

(C,E,I)=(8,5,4)の場合

残る数字は

1,2,3,6,7

AとGは連続数なので

(1,2), (2,3),(6,7)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(1,2)の時

残る数字は3,6,7

6+7-10＝3となりこれもまた解の1つとなります

1986+57＝2043・・・・②

(C,E,I)=(8,4,3)の場合

残る数字は

1,2,5,6,7

AとGは連続数なので

(1,2), (5,6),(6,7)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

よってout

(C,E,I)=(8,3,2)の場合

残る数字は

1,4,5,6,7

AとGは連続数なので

(4,5),(5,6) ,(6,7)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(5,6)の時

残る数字は1,4,7

4+7-10＝1となりこれもまた解の1つとなります

5984+37＝6021・・・・③

(C,E,I)=(8,2,1)の場合

残る数字は

3,4,5,6,7

AとGは連続数なので

(3,4),(4,5),(5,6) ,(6,7)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(4,5)の時

残る数字は3,6,7

6+7-10＝3となりこれもまた解の1つとなります

4986+27＝5013・・・・④

(C,E,I)=(7,6,4)の場合

残る数字は

1,2,3,5,8

AとGは連続数なので

(1,2), (2,3)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(1,2)の時

残る数字は3,5,8

5+8-10＝3となりこれもまた解の1つとなります

1975+68＝2043・・・・⑤

(C,E,I)=(7,5,3)の場合

残る数字は

1,2,4,6,8

AとGは連続数なので

(1,2), (4,6)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(1,2)の時

残る数字は4,6,8

6+8-10＝4となりこれもまた解の1つとなります

1976+58＝2034・・・・⑥

(C,E,I)=(7,4,2)の場合

残る数字は

1,3,5,6,8

AとGは連続数なので

(5,6)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(5,6)の時

残る数字は1,3,8

3+8-10＝1となりこれもまた解の1つとなります

5976+48＝6024・・・・⑦

(C,E,I)=(7,3,1)の場合

残る数字は

2,4,5,6,8

AとGは連続数なので

(4,5), (5,6)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(5,6)の時

残る数字は2,4,8

4+8-10＝2となりこれもまた解の1つとなります

5976+38＝6014・・・・⑧

(C,E,I)=(6,5,2)の場合

残る数字は

1,3,4,7,8

AとGは連続数なので

(3,4) , (7,8)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

よってout

(C,E,I)=(6,4,1)の場合

残る数字は

2,3,5,7,8

AとGは連続数なので

(2,3) , (7,8)

残る3つの数字の内2数(D,F)を足して11（10ならJ=0でout）以上（1の位がJ）且つ

1の位が残る三つ目の数にならなければなりません。

(A,G)＝(2,3)の時

残る数字は5,7,8

7+8-10＝5となりこれもまた解の1つとなります

2967+48＝3015・・・・⑨

ここで、CとE及びDとFは交換できるので①から⑧までの其々の解は4通りに変形できます。

① から

2984+67＝3051

2964+87＝3051

2987+64＝3051

2967+84＝3051

② から

1986+57＝2043

1956+87＝2043

1987+56＝2043

1957+86＝2043

③ から

5984+37＝6021

5934+87＝6021

5987+34＝6021

5937+84＝6021

④ から

4986+27＝5013

4926+87＝5013

4987+26＝5013

4927+86＝5013

⑤ から

1975+68＝2043

1965+78＝2043

1978+65＝2043

1968+75＝2043

⑥ から

1976+58＝2034

1956+78＝2034

1978+56＝2034

1958+76＝2034

⑦ から

5976+48＝6024

5946+78＝6024

5978+46＝6024

5948+76＝6024

⑧ から

　　5976+38＝6014

　　5936+78＝6014

　　5978+36＝6014

　　5938+76＝6014

⑨ から

2967+48＝3015

2947+68＝3015

2968+47＝3015

2948+67＝3015

・・・・・回答(以上の36通り)

問題２

AとD及びBとE並びにCとFは交換可能

よって1つの解が見つかるとＧＨＩＪを変えずに8通りの解が存在

ただし、AとDを交換すると左辺1項目と2項目を交換したことになるため実質的に同じ式になるので4通りの解とするのが妥当。

G=1は確定

∵左辺A+D≧10又はA+D+1≧10で無ければ(つまり100の位が繰り上がらないとき)G=0

　次のケースに分けケースごとに考えてみます

　　ケース1・・・左辺1の位、10の位は繰り上がらず100の位のみが繰り上がる

　　　　　　　　　（C+F<10、B+E<10、17≧A+D≧10）

　　　　　　　　　このケースは1の位と10の位を全ての項で交換しても成立するので

　　　　　　　　　1つ解が見つかると4×2＝8通りの解が存在

　ケース2・・・左辺1の位は繰り上がらず、10の位100の位が繰り上がる

　　　　　　　　　（C+F<10、B+E≧10、17≧A+D≧9）

　　ケース3・・・左辺1の位が繰り上がるが、10の位は繰り上がらず100の位が繰り上がる

　　　　　　　　　（C+F≧10、B+E<10、17≧A+D≧10）

　　ケース4・・・左辺1の位、10の位、100の位すべてが繰り上がる

　　　　　　　　　（C+F≧10、B+E≧10、17≧A+D≧9）

ケース1の場合

G=1

C≠0、F≠0、5≦J≦9　∵C=0⇔F=J、F=0⇔C =J、C≧2，F≧2，C≠F

B≠0、E≠0　5≦I≦9　∵B=0⇔E=I、E=0⇔B=I、B≧2，E≧2，B≠E

　　　17≧A+D≧10から

　　　　A≠0、D≠0（Hを除きA～J≠0）

　　　　　となる為H=0

　　　よって

　　　(A,D)＝(8,2),(7,3),(6,4)

(8,2)の場合の(C,F,J)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,2,8。残っている数字は

　　　3,4,5,6,7,9

　　　　上記数字の組み合わせでは(C,F,J)と(B,E,I)は構成できないのでout

(7,3)の場合の(C,F,J)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,3,7。残っている数字は

　　　2,4,5,6,8,9

　　　　(C,F,J)＝(2,4,6)

残る数字は5,8,9

(B,E,I)は構成できないのでout

(C,F,J)＝(2,6,8)

残る数字は4,5,9

(B,E,I)＝(4,5,9)・・・OK

742+356＝1098・・・①

(6,4)の場合の(C,F,J)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,4,6。残っている数字は

　　　2,3,5,7,8,9

　　　　(C,F,J)＝(2,3,5)

残る数字は7,8,9

(B,E,I)は構成できないのでout

　　　　(C,F,J)＝(2,5,7)

残る数字は3,8,9

(B,E,I)は構成できないのでout

(C,F,J)＝(2,7,9)

残る数字は3,5,8

(B,E,I)＝(3,5,8)・・・OK

632+457＝1089・・・②

ケース2の場合

G=1

C≠0、F≠0、5≦J≦9　∵C=0⇔F=J、F=0⇔C =J、C≧2，F≧2，C≠F

B≠0、E≠0　0≦I≦9　∵B=0⇔E=I、E=0⇔B=I、B≧2，E≧2，B≠E

　　　17≧A+D≧9から

　　　　A≠0、D≠0（H、Iを除きA～J≠0）

　　　　　となる為H=0 or I=0

　H=0 (I≠0) の場合

　　　(A,D)＝(7,2),(6,3),(5,4)

(7,2)の場合

　　　使われている数字は、0,1,2,7。残っている数字は

　　　3,4,5,6,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(C,F,J)は

　　　(3,5,8)

(B,E,I)は4,6,9で構成できないのでout

(3,6,9)

(B,E,I)は4,5,8で構成できないのでout

(4,5,9)

(B,E,I)は3,6,8で構成できないのでout

(6,3)の場合

　　　使われている数字は、0,1,3,6。残っている数字は

　　　2,4,5,7,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(C,F,J)は

　　　(2,5,7)

(B,E,I)は4,8,9で構成できないのでout

(2,7,9)

(B,E,I)は4,5,8で構成できないのでout

(4,5,9)

(B,E,I)は2,7,8で構成できないのでout

(5,4)の場合

　　　使われている数字は、0,1,4,5。残っている数字は

　　　2,3,6,7,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(C,F,J)は

　　　(2,6,8)

(B,E,I)は3,8,9で構成できないのでout

(2,7,9)

(B,E,I)は3,6,8で構成できないのでout

(3,6,9)

(B,E,I)は2,7,8で構成できないのでout

I=0 (H≠0)

(B,E)＝(8,2),(7,3),(6,4)

(8,2)の場合

　　　使われている数字は、0,1,2,8。残っている数字は

　　　3,4,5,6,7,9

　　　上記数字の組み合わせで(C,F,J)は

　　　(3,4,7)

(A,D,H) は5,6,9で構成できないのでout（A+D>10で1の位がH-1）

　　　(3,6,9)

(A,D,H) は4,5,7で構成できないのでout

(4,5,9)

(A,D,H) は3,6,7で構成できないのでout

(7,3)の場合

　　　使われている数字は、0,1,3,7。残っている数字は

　　　2,4,5,6,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(C,F,J)は

　　　(2,4,6)

(A,D,H) は5,8,9で構成できないのでout（A+D>10で1の位がH-1）

　　　(2,6,8)

(A,D,H) は4,5,9で構成できないのでout

(4,5,9)

(A,D,H) は2,6,8で構成できないのでout

(6,4)の場合

　　　使われている数字は、0,1,4,6。残っている数字は

　　　2,3,5,7,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(C,F,J)は

　　　(2,3,5)

(A,D,H) は7,8,9で構成できないのでout（A+D>10で1の位がH-1）

　　　(2,5,7)

(A,D,H) は3,8,9で構成できないのでout

(2,7,9)

(A,D,H) は3,5,8で構成できないのでout

(3,5,8)

(A,D,H) は2,7,9で構成できないのでout

ケース２の場合すべてoutとなります

ケース3の場合

G=1

C≠0、F≠0、0≦J≦7　∵C=0⇔F=J、F=0⇔C =J、C≧2，F≧2，C≠F

B≠0、E≠0　6≦I≦9　∵B=0⇔E=I、E=0⇔B=I、B≧2，E≧2，B≠E

　　　17≧A+D≧9から

　　　　A≠0、D≠0（H、Jを除きA～I≠0）

となる為H=0 or J=0

　H=0 (J≠0) の場合

　　　(A,D)＝(8,2), (7,3),(6,4)

(8,2)の場合の(C,F,J)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,2,8。残っている数字は

　　　3,4,5,6,7,9

　　　上記数字の組み合わせで(B,E,I)は

　　　　(3,4,6)・・・・・ (2数の和が他の数より1小さく且つ8以下)

　　　　(C,F,J)は5,7,9では構成できない(2数の和の一の位が残りの数に一致)のでout

　　　 (3,5,7)

　　　　(C,F,J)は4,6,9では構成できないのでout

(7,3)の場合の(C,F,J)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,3,7。残っている数字は

　　　2,4,5,6,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(B,E,I)は

　　　(2,4,5)

(C,F,J)は6,8,9では構成できないのでout

　　　(2,5,8)

(C,F,J)は4,6,9では構成できないのでout

　　　(2,6,9)

(C,F,J)は4,5,8では構成できないのでout

(6,4)の場合の(C,F,J)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,4,6。残っている数字は

　　　2,3,5,7,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(B,E,I)は

　　　(2,5,8)

(C,F,J)は3,7,9では構成できないのでout

　　　(2,8,9)

(C,F,J)は3,5,7では構成できないのでout

　　　(3,5,7)

(C,F,J)は2,8,9では構成できないのでout

J=0 (H≠0) の場合

　　　(C,F)＝(8,2), (7,3),(6,4)

(8,2)の場合の(A,D,H)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,2,8。残っている数字は

　　　3,4,5,6,7,9

　　　上記数字の組み合わせで(B,E,I)は

　　　　(3,4,6)・・・・・ (2数の和が他の数より1小さく且つ8以下)

(A,D,H)は5,7,9では構成できない(2数の和の一の位が残りの数に一致)のでout

　　　　(3,5,7)

(A,D,H)は4,6,9では構成できないのでout

　　　　(4,6,9)

(A,D,H)は3,5,7では構成できないのでout

(7,3)の場合の(A,D,H)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,3,7。残っている数字は

　　　2,4,5,6,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(B,E,I)は

　　　　(2,5,8)

(A,D,H)は4,6,9では構成できないのでout

　　　　(2,6,9)

(A,D,H)は4,5,8では構成できないのでout

(6,4)の場合の(A,D,H)と(B,E,I)

使われている数字は、0,1,4,6。残っている数字は

　　　2,3,5,7,8,9

　　　上記数字の組み合わせで(B,E,I)は

　　　　(2,5,8)

(A,D,H)は3,7,9では構成できないのでout

　　　　(3,5,9)

(A,D,H)は2,7,8では構成できないのでout

ケース3の場合もすべてoutとなります

ケース4の場合

G=1

C≠0、F≠0、0≦J≦7　∵C=0⇔F=J、F=0⇔C =J、C≧2，F≧2，C≠F

B≠0、E≠0　6≦I≦9　∵B=0⇔E=I、E=0⇔B=I、B≧2，E≧2，B≠E

　　　17≧A+D≧9から　　　　　　　　　　　

　　　　A≠0、D≠0（A～F≠0）

となる為H=0 or I=0 or J=0

　H=0 (I≠0、J≠0) の場合

　　　　　　(A,D)＝(7,2),(6,3),(5,4)

　　　　　(7,2)の場合

　　　使われている数字は、0,1,2,7。残っている数字は

　　　　　　　9,8,6,5,4,3

　　　上記数字の組み合わせで(C,F,J)は

(9,6,5)(C+Fの一の位がJ且つ2桁)

「2数の和の一の位が他の数より1小さく且つ2桁」と言う条件

「2数の和」の一方が9であれば他の一方と和の1の位が一致してしまう

よって全てout。I=0 (H≠0、J≠0)、J=0 (H≠0、I≠0) の場合も同様ですべてout。

結局

742+356＝1098・・・①

632+457＝1089・・・②

が解となります。冒頭で述べたとおり各々8通りの派生する解があるので

① より

742+356＝1098

752+346＝1098

746+352＝1098

756+342＝1098

724+365＝1089

725+364＝1089

764+325＝1089

765+324＝1089

② より

632+457＝1089

652+437＝1089

637+452＝1089

657+432＝1089

623+475＝1098

625+473＝1098

673+425＝1098

675+423＝1098　　・・・・・回答

問題３

AとCとFは交換可能。BとEも交換可能

よって1つの解が見つかるとＧＨＩＪを変えずに12通りの解が存在

G=1は確定

∵左辺100の位が繰り上がらないときG=0

　　A+BC+EFの最大値は右辺の数字の並びを考えなければ

5+97+86＝188（上記の通り左辺5.7,6及び9.8は交換可能）

　よって左辺の100の位に繰り上がるのは1

　Gを0にしないためには繰り上がる1とDの和が2桁にならなければならないので

D=9が確定さらにH=0も確定

　この時点で使われている数字は0,1,9

　残っている数字は2,3,4,5,6,7,8

　A+C+Fは

10の位に繰り上がらない。・・・①

1だけ繰り上がる。・・・・・・②

2繰り上がる。・・・・・・・・③

の3通りが考えられます

①の組み合わせは

（2,3,4）のみで和は9となりD=J=9となるのでout

③の組み合わせは

　　　(5,7,8)　和の一桁目が0(H=J=0)となるのでout

　　　(6,7,8)　和の一桁目が1(G=J=1)となるのでout

結局②のケースしか成立しません。

　このことを踏まえると残っている数字（2,3,4,5,6,7,8）を組み合わせて

　B+E+1が12以上になること

　一桁目(I)がB,Eとかぶらない且つ（2,3,4,5,6,7,8）で閉じていること

　（2,3,4,5,6,7,8）からB,E,Iを除いたとき①、③とならないこと

の組み合わせを考えればよい事になります

(B,E,I)

　(8,3,2) 残る数字は4,5,6,7。これでA,C,F,Jを構成するのは4通りですが

　　　　4+5+7＝16で成立します・・・（ア

(8,4,3)　残る数字は2,5,6,7。

　　　　2+6+7＝15で成立します・・・（イ

(8,5,4) 　残る数字は2,3,6,7。

　　　　4通りいずれも成立しません

(8,6,5) 　残る数字は2,3,4,7。

2+4+7＝13で成立します・・・（ウ

(8,7,6) 　残る数字は2,3,4,5。

3+4+5＝12で成立します・・・（エ

(7,4,2) 　残る数字は3,5,6,8。

3+5+8＝16で成立します・・・（オ

(7,5,3) 　残る数字は2,4,6,8。

　　　　4通りいずれも成立しません

(7,6,4) 　残る数字は2,3,5,8。

　　　　4通りいずれも成立しません

(6,5,2) 　残る数字は3,4,7,8。

　　　　4通りいずれも成立しません

結局

　　　　　4+85+937＝1026　　　　　　　・・・（ア

　2+86+947＝1035　　　　　　　・・・（イ

　2+84+967＝1053　　　　　　　・・・（ウ

　3+84+975＝1062　　　　　　　・・・（エ

　3+75+948＝1026　　　　　　　・・・（オ

が解となります。冒頭で述べたとおり各々12通りの派生する解があるので

ア）より

　　　4+85+937=1026

4+87+935=1026

5+84+937=1026

5+87+934=1026

7+84+935=1026

7+85+934=1026

4+35+987=1026

4+37+985=1026

5+34+987=1026

5+37+984=1026

7+34+985=1026

7+35+984=1026

（イ）～（オ）も同様で合計60通りが解となります・・・回答

感想

この問題の本質は、実は群論なのではないでしょうか。

交換できるという事は可換であり、ある集合について閉じているかどうかの判定であったり・・・。

私は全くわかりませんが群論を理解していればもっとシンプルに「out」を出せているような気がします。

勉強不足（と言うか力不足）で長々と回答を書いてしまいました。申し訳ありません。

NO5「二度漬け白菜」 08/03 02時49分　受信更新 8/6

今回の解答は全て，
覆面算ソルバー
http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/llp/crypt-jp.html
を使って求めました．

問題1： ABCD+EF=GHIJ

解は全部で36通りあり，このうち
C＜E かつ D＜F となるようなものは
以下の 9 通り．
残りの27通りの解は CとE，DとFを
それぞれ入れ替えたもの．

2947+68=3015
1956+78=2034
1956+87=2043
4926+87=5013
1965+78=2043
5934+78=6012
2964+87=3051
5934+87=6021
5943+78=6021

http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/cgi-bin/crypt.cgi?crypt=ABCD%2BEF%3DGHIJ&crypt1=llp%2Blinear%2Blogic%3Dprolog

問題2： ABC+DEF=GHIJ

解は全部で96通りあり，このうち
A＜D かつ B＜E かつ C＜F となるようなものは
以下の 12 通り．
残りの84通りの解は AとD，BとE，CとF
をそれぞれ入れ替えたもの．

347+859=1206
437+589=1026
246+789=1035
426+879=1305
264+789=1053
624+879=1503
324+765=1089
473+589=1062
743+859=1602
423+675=1098
432+657=1089
342+756=1098

http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/cgi-bin/crypt.cgi?crypt=ABC%2BDEF%3DGHIJ&crypt1=llp%2Blinear%2Blogic%3Dprolog

問題3： A+BC+DEF=GHIJ

解は全部で60通りあり，このうち
A＜C＜F かつ B＜E となるようなものは
以下の 5 通り．
残りの55通りの解は AとCとF および BとE
をそれぞれ入れ替えたもの．

4+35+987=1026
3+45+978=1026
3+74+985=1062
2+46+987=1035
2+64+987=1053

http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/cgi-bin/crypt.cgi?crypt=A%2BBC%2BDEF%3DGHIJ&crypt1=llp%2Blinear%2Blogic%3Dprolog