平成２９年９月３日

[流れ星]

　　　　　第351回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：９月３日〜10月1日＞

［２の累乗］

過去の近畿大学入試問題から出題します。

　集合SをS＝｛２^ｋ｜ｋは1から１０までの整数｝とする。

問１　Sの要素すべての積をＭとおくとき、log₂Ｍを求めよ。

問２　Sの要素ａ、ｂに対して実数log_ａｂ^２を考え、これらがとり得る値
全体の集合をＴとく。Ｔの要素のうち、最小値と最大値を求めよ。

問３　問２のＴの要素は全部で何個あるか求めよ。

問４　問２のＴの要素すべての積をＮとおくとき、log₂Ｎを求めよ。

問３のヒント

既約分数の個数を数えてみます．分母と分子を制限しておいてから数えるのです。

分母も分子が(1 から)4 以下の既約な分数は，

1 /1 , 1 /2 , 1/ 3 , 1 /4 , 2/ 1 , 2/ 3 , 3 /1 , 3 /2 , 3 /4, 4/ 1 , 4 /3

の 11 個です．16 個の分数のうち 11 個が既約分数というわけです．

ここで、分母分子が 10 以下の既約分数は何個あるか数えてください。

参考に　分母と分子が自然数のとき、既約分数は無限にありますが、
このとき既約分数となる確率はご存知ですか。

「皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。