平成29年10月1日

[流れ星]

     第352数学的な応募解答

      <解答募集期間:9月3日〜101日>

[2の累乗]

過去の近畿大学入試問題から出題します。

 集合SS={2|kは1から10までの整数}とする。

問1 Sの要素すべての積をMとおくとき、log2Mを求めよ。

問2 Sの要素a、bに対して実数logを考え、これらがとり得る値
全体の集合をTとく。Tの要素のうち、最小値と最大値を求めよ。

問3 問2のTの要素は全部で何個あるか求めよ。

問4 問2のTの要素すべての積をNとおくとき、log2Nを求めよ。

 

問3のヒント

既約分数の個数を数えてみます.分母と分子を制限しておいてから数えるのです。

分母も分子が(1 から)4 以下の既約な分数は,

 1 /1 , 1 /2 , 1/ 3 , 1 /4 , 2/ 1 , 2/ 3 , 3 /1 , 3 /2 , 3 /4, 4/ 1 , 4 /3 

11 個です.16 個の分数のうち 11 個が既約分数というわけです.

ここで、分母分子が 10 以下の既約分数は何個あるか数えてください。

 

参考に 分母と分子が自然数のとき、既約分数は無限にありますが、
このとき既約分数となる確率はご存知ですか。

NO1「早起きのおじさん」 09/05 1721分 受信  更新 10/1

 

1

 

2

対数関数は、底が1より大きいとき増加関数です。

Sの要素は、最低でも2なので増加関数です。

よって、最大値をMax、最小値をminとすると、

 

3

 の場合もあるとして考えます。

y

 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

要素の個数

1

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

10

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

3

2

4

6

7

4

1

2

3

4

5

5

5

2

4

8

6

1

2

3

3

7

2

9

8

1

2

5

9

2

7

10

1

2

4

 とします。

 

このxyに、1から10の値をいれて、計算し、表にします。

 

表は、縦にx横にyの値をとっています。

また、その値が上の欄にすでに出現しているものは、灰色で塗っています。

この表を数えると、T63個の要素があります。

 

4

3の表を用いて、縦に分子、分母ごとに素因数がいくつあるか数えます。

素因数は、{2357}の4種類を数えます。

灰色の部分は数えません。

因数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

分子

5

10

3

15

4

6

4

20

3

8

78

63

分母

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

15

3

分子

0

0

7

0

0

3

0

0

14

0

24

0

分母

4

3

0

3

4

0

4

3

0

3

24

5

分子

0

0

0

0

8

0

0

0

0

4

12

0

分母

2

1

2

1

0

1

2

1

2

0

12

7

分子

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

9

0

分母

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

9

Tの要素をすべて掛け合わせると、

 となります。

よって、

 

おまけ

22乗を消して  としてみます。

xy1から10までの値をとります。

xとしては横棒(−)の下に、yとしては横棒の上に、各数を10個ずつ計100個の数を置くわけです。

掛け合わせてTを考えるのですが、上下で各数は同じ個数あります。

だから、きれいに全部約せて1になります。

4の問題では、問2の問題で残った63個の数をそれぞれ2倍します。

だから263個約されずに残ります。

 

分母と分子が自然数のとき、既約分数は無限にあります。

自然数を10までに制限すると、既約分数の確率は、0.63です。

制限する数を大きくしていくと、含まれる素数の倍数が増えていくので、この値より小さくなると思われます。

これを出したら調べてみます。

 

 

NO2「二度漬け白菜」     09/09 0931分 受信  更新 10/1

1
S={2
2^22^3,…,2^10} であるので,
M=(2^1)*(2^2)*(2^3)*
*(2^10)=2^55
よって,log[2]M = log[2]2^55 = 55()


2
S
の元 ab a=2^kb=2^m (km 1km10 なる整数)とおける.
log[a]b^2 = log[2^k](2^m)^2 = log[2^k](2^k)^(2*m/k) = 2*m/k.
よって,集合 T は,2*m/k (km 1km10 なる整数)
という形にかけるような有理数全体の集合である.
T
の元のうち,最小値は 1/5,最大値は 20()


3
m/k (k
m 1km10 なる整数)
という形にかけるような有理数全体の集合を A とする.
|A| = |T|
である.(|A| A の元の個数という意味.|T|も同様.)
(
Aの元 m/k に対し,Tの元 2*m/k を対応させる写像は単射である.
また,Tの元 2*m/k に対し,Aの元 m/k を対応させる写像も単射である.)
よって,|A| を求めればよい.
A
の任意の元は既約分数で表すことが可能である.
よって,
|A| =
Σ[1km10GCD(k,m)=1]1 + Σ[1mk10GCD(k,m)=1]1 + 1
=2*
Σ[1km10GCD(k,m)=1]1 + 1
=2*
Σ[m=210]φ(m) + 1 (φはオイラーのφw)イ愎齷・・u梹琺シ讐ィφ(2)+φ(3)+ +φ(10)) + 1
=2*(1+2+2+4+2+6+4+6+4) + 1
=63

よって,|T|=63()


4
2
Tである.
2
以外の,Tの任意の元 2*m/kに対し,2*k/m もまた T の元になっており,
2*m/k
2*k/m である.
さらに,この写像 (2*m/k 2*k/m を対応させる写像) は単射である.
以上より次のようなことがいえる.
T
63個の元のうち,2以外の62個の元については,
2
組ずつのペア (2*m/k2*k/m) に分けることができる.
このペアの2元を掛け合わせれば,(2*m/k)*(2*k/m)=4
よって,
N=(4^(62/2))*2 = (4^31)*2 = 2^63

よって,
log[2]N = log[2]2^63 = 63
()

 

 

 

正整数全体の集合の中から, k 個の元をランダムに選び出すとき,
これら k 個の数の最大公約数が 1 になる確率は 1/ζ(k) です.
(
∵ある正整数が素数pの倍数である確率は1/pであるので, k個の正整数
が公約数pもつ確率は(1/p)^k
よってk個の正整数が公約数pをもたない確率は(1-(1/p)^k)
k
個の数の最大公約数が1になる確率は,
Π[p:素数](1-(1/p)^k)
=1/(
Π[p:素数]1/(1-(1/p)^k))
=1/
Π[p:素数](1+1/p^k+1/p^(2*k)+1/p^(3*k)+ )
=1/
Π[p:素数](1+1/p^k+1/(p^2)^k+1/(p^3)^k)+ )
=1/(
Σ[n=1,∞](1/n^k))
=1/
ζ(k))
従って全有理数に対する既約分数の比率は,
1/
ζ(2) = 6/π^2
であると考えられます.

 

 

 

NO3「にいばりZ12」   09/15 0000分 受信  更新 10/1

問1

 

M=21222324・・・・210=2(1+2+3+4+//+10) =255

log2= log2255=55 log22=55・・・・・・回答

 

問2

 

a=2l 、b=2m と置きます

Tの要素logは次式で表されます

log= log2m/ log2l=2m/l

最小値はm/lが最小の時でk1から10の整数なのでmが最小lが最大を考えればよい。よって

m/l =1/10のときlogは最小となります

最小値は21/101/5・・・・回答

同様に最大値はm/lが最大の時でk1から10の整数なのでmが最大lが最小を考えればよい。よって

m/l =10/1のときlogは最大となります

最大値は210/120・・・・回答

 

3

 

Tの要素は2m/lですがm/lが既約でなければそれより小さなmlの順列に被ります

よってmlの順列のうちm/lが既約のものを数え上げれば2m/lも被ることはありません

m/lが既約であるという事はmlが「互いに素」であるという事なのでそれらを数え上げます

先ず、mlの重複順列は102となり100通りです

上記の中から110の数字のなかで同じ約数を有する数字をはじけばよいことになります。

(ただしmlとも単位数の場合は除きます)

m=2

 l=2,4,6,8,10(素因数に2を有する数字)

m=3

 l=3,6,9(素因数に3を有する数字)

m=4

 l=2,4,6,8,10(素因数に2を有する数字)

m=5

 l=5 ,10(素因数に5を有する数字)

m=6

 l=2,3,4,6,8,9,10(素因数に23を有する数字)

m=7

 l=7(素因数に7を有する数字)

m=8

 l=2, 4,6,8,10(素因数に2を有する数字)

m=9

 l=3,6,9(素因数に3を有する数字)

m=10

 l=2,4,5,6,8,10(素因数に25を有する数字)

以上5+3+5+2+7+1+5+3+637通りをはじけば

 

Tの要素の個数は

100-3763個・・・・・回答

 

4

 

Nは問3で考えたmlすべての順列の積を互いに素ではない順列の積で割ってやればよい事になります。

全ての順列を掛け合わせたものをN1互いに素ではないmlを掛け合わせたものをN2とすると

N=N1/N2

N1= (1/1×1/2×1/3×1/4×1/5×1/6×1/7×1/8×1/9×1/10×210)

  ×(2/1×2/2×2/3×2/4×2/5×2/6×2/7×2/8×2/9×2/10×210)

  ×(3/1×3/2×3/3×3/4×3/5×3/6×3/7×3/8×3/9×3/10×210)

  ×・・・・・

  ×(10/1×10/2×10/3×10/4×10/5×10/6×10/7×10/8×10/9×10/10×210)

 =(10!×210)10/ (10!)102100

 

N2=  (2/2×2/4×2/6×2/8×2/10×25)

  ×(3/3×3/6×3/9×23)

  ×(4/2×4/4×4/6×4/8×4/10×25)

  ×(5/5×5/10×22)

  ×(6/2×6/3×6/4×6/6×6/8×6/9×6/10×27)

  ×(7/7×2)

  ×(8/2×8/4×8/6×8/8×8/10×25)

  ×(9/3×9/6×9/9×23)

  ×(10/2×10/4×10/5×10/6×10/8×10/10×23)

上式で2の累乗を除く分数は分子分母同数でない限りその逆数も必ず既約ではないので存在します。

よってそれらは全て約分され残るのは2の累乗だけです。

従って

N2= 237

N=N1/N2=263

log2 N =63 log2 2=63・・・・回答

 

 

参考

 

分子分母が自然数の時、その分数が既約になる為には分子と分母が互いに素であればいいことになります。

いま、そのような分数を

a/bとします

まずaがある素因数p1を持つという事はap1の倍数であるという事と同値です

自然数の十分大きな区間Dに対しpの倍数は区間D×1/p1個存在します

自然数全体を考えるためD→∞とすると

任意の自然数ap1を素因数とする確率は

lim D→∞(D×1/p1/D)1/p1

となります。

またbp1を素因数とする確率もまた同様に

1/p1

となります。したがってap1を素因数に持ち且つbp1を素因数に持つ確率は

(1/p1)2

となります

少なくともabどちらかがp1を素因数に持たない(p1に関して互いに素)確率は上記の余事象となるので

1-(1/p1)2

となります

また他の素因数に対しても同じことが言えるので

少なくともabどちらかがp2を素因数に持たない(p2に関して互いに素)確率は

1-(1/p2)2

abどちらかがp1を素因数に持たずかつ p2を素因数に持たない確率は

(1-(1/p1)2)(1-(1/p2)2)

同様に少なくともあらゆる素因数をabどちらかが持たない確率は

Πi=2〜∞(1-(1/pi)2)= Πi=2〜∞(1-pi-2) =(Πi=2〜∞1/(1-pi-2))-1

Πi=2〜∞1/(1-pi-2)はゼータ関数のオイラー積表現でζ(2)なので

(Πi=2〜∞1/(1-pi-2))-1=1/ζ(2)=6/π20.6079

 

因みに問題の自然数が10までの場合出現した既約分数は63個なので分数100個中63%=0.63

ほぼほぼ近い数字ではあります。

20まで計算してみましたが概ね近い数字は出ているようです。

 

A

B

C

D

D

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

10

100

5

3

5

2

7

1

5

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

0.63

11

121

5

3

5

2

7

1

5

3

6

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

0.69

12

144

6

4

6

2

8

1

6

4

6

1

8

 

 

 

 

 

 

 

 

52

0.64

13

169

6

4

6

2

8

1

6

4

6

1

8

1

 

 

 

 

 

 

 

53

0.69

14

196

7

4

7

2

9

2

7

4

6

1

9

1

9

 

 

 

 

 

 

68

0.65

15

225

7

5

7

3

10

2

7

5

6

1

10

1

9

7

 

 

 

 

 

80

0.64

16

256

8

5

8

3

11

2

8

5

6

1

11

1

10

7

8

 

 

 

 

94

0.63

17

289

8

5

8

3

11

2

8

5

6

1

11

1

10

7

8

1

 

 

 

95

0.67

18

324

9

6

9

3

12

2

9

6

6

1

12

1

11

8

8

1

12

 

 

116

0.64

19

361

9

6

9

3

12

2

9

6

6

1

12

1

11

8

8

1

12

1

 

117

0.68

20

400

10

6

10

4

13

2

10

6

6

1

13

1

12

9

8

1

13

1

12

138

0.66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

単位数を除く2Aの素因数

 

2

3

2

5

2

7

2

3

2

11

2

13

2

3

2

17

2

19

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

5

 

3

 

7

5

 

 

3

 

5

 

A:自然数の範囲

BAの範囲における分数の総数(A2

C2Aによって生成される既約ではない分数の個数の内下記素因数を持つ数の個数

DCの計

EB(分数の総数に対する既約分数の割合(B-D)/B

 

 

ところで、最初に述べましたが既約分数になるという事は分子分母が互いに素であるという事で

任意の自然数を2つ選んだ時に互いに素となる確率を計算したのと同じことです。

そう考えると3つ選んだ場合、4つ選んだ場合またはn個選んだ場合に興味がわきます。

これらは前述と同様の議論ができるので互いに素となる確率は

1/ζ(n)

となると思うのですが。

4個の任意の自然数が互いに素である確率は上記に従うと

1/ζ(4)90/π40.924

 

選ぶ自然数が増えると互いに素でない(共通の素因数を持つ)確率は下がるので

この結果は直感的にも妥当と考えられます。

 

 

「にいばりZ12」   09/18 0201分 受信  更新 10/1

351回の補足を考えました

 

任意のn個の自然数を選び、少なくとも1つが他の数と互いに素となる確率(少なくとも1つが共通の素因数を持たない)を考えます。

nを増やしていけば互いに素である確率は上がっていきます。

なぜなら、選ぶ自然数に素数が含まれると直ちに他の数と互いに素となるからです。

従って上記の関数を

P(n)とすると

Limn→∞P(n)1

よって

Limn→∞P(n)Limn→∞1/ζ(n)1

Limn→∞ζ(n)1

即ちゼータ関数のnを無限に近づけると同関数の極値は1になります。

ここで元のゼータ関数に立ち返ると

ζ(n)1/1n+1/2n+1/3n+1/4n+・・・・

なのでn→∞とした時右辺1項目の極値は1、以降はすべて0なので

当然の帰結となります。

色々考えて最後は当然の帰結に至るのはよくあることですが

発見したと思ったら当たり前だったというのも検算にはなりますが

ぐるぐる回って元に戻ったという印象を免れません・・・。

 

NO4「スモークマン」     09/17 1157分 受信  更新 10/1

   

集合SS={2|kは1から10までの整数}とする。

問1 Sの要素すべての積をMとおくとき、log2Mを求めよ。

 

1+2+3++10=55

so

log(2)M=55
 

問2 Sの要素a、bに対して実数logabを考え、これらがとり得る値全体の集合をTとく。Tの要素のうち、最小値と最大値を求めよ。
 Min{T}=log(2^10) 2^2=1/5 
Max{T}=log(2) 2^20=20 


 

 参考に 分母と分子が自然数のとき、既約分数は無限にあります

 が、このとき既約分数となる確率はご存知ですか。

 

 互いに素な2数になる確率P有名ですよね ^^

 P=(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/5^2)(1-1/7^2)

 

 ζ(2)=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+

     =(1/(1-1/2^2))(1/(1-1/3^2))(1/(1-1/5^2))

 からP=1/ζ(2)=6/π^2

 

 

NO5「浜田明巳」    09/30 1702分 受信  更新 10/1

問1

S={2,2,2,・・・,210}であるから

M=2・2・2・・・・・210

 ∴logM=1+2+3+・・・+10=1/2・10・11=55

問2

a=2,b=2(x,y=1,2,3,・・・,10)とすると,

loglog2ylog(2y)/x

最小値は,x=10,y=1のとき(xが最大,yが最小),
  (2・1)/10=1/5
 

最大値は,x=1,y=10のとき(xが最小,yが最大),
  (2・10)/1=20

問3,4
 データ処理にはうってつけのEXCELで解いた.
 問3は63個,問4は63である.
(マクロ)
Option Explicit
Sub Macro1()
   Dim x As Integer, y As Integer
   Dim bunshi As Integer, bumbo As Integer
   Dim g As Integer
   Dim deta As Integer
   Dim j As Integer, jj As Integer
   Cells(1, 1).Value = 0
   For x = 1 To 10
     For y = 1 To 10
       bunshi = 2 * y : bumbo = x
       g = Application.Gcd(bunshi, bumbo)
       bunshi = bunshi / g : bumbo = bumbo / g
       deta = 0 : j = 1
       While deta = 0 And j <= Cells(1, 1).Value
         If Cells(j, 2).Value = bunshi And Cells(j, 3).Value = bumbo Then
           deta = 1
         Else
           j = j + 1
         End If
       Wend
       If deta = 0 Then
         Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
         Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = bunshi
         Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = bumbo
         Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
       End If
     Next y
   Next x
   Range("A1").Select
   '
   For j = 1 To Cells(1, 1).Value
     Cells(j, 5).Value = Cells(j, 2).Value
     Cells(j, 6).Value = Cells(j, 3).Value
   Next j
   For j = 1 To Cells(1, 1).Value
     For jj = 1 To Cells(1, 1).Value
       g = Application.Gcd(Cells(j, 5).Value, Cells(jj, 6).Value)
       Cells(j, 5).Value = Cells(j, 5).Value / g
       Cells(jj, 6).Value = Cells(jj, 6).Value / g
     Next jj
   Next j
   Cells(1, 7).Value = 0
   For j = 5 To 6
     For jj = 1 To Cells(1, 1).Value
       While Cells(jj, j).Value > 1
         Cells(jj, j).Value = Cells(jj, j).Value / 2
         Cells(1, 7).Value = Cells(1, 7).Value + 1
       Wend
     Next jj
   Next j
   Range("G1").Select
End Sub

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。